Si tous les coefficiens dune équation

y» + A„,.y"-^ + A'^.y"-^- + . . . = 0, sont des expressions algébriques de l'ordre m, nous dirons que cette équation est de l'ordre ?n. Nous désignerons son premier membre par (p{y,m), et le degré de cette équation par ô(f{y,m).

Cela posé, nous allons successivement étal)lir les théorèmes suivants: Théorème I. Une équation telle que

<o + ^i-y/' + '.3/i'^' + --- + ^^,-i-yj "■' =0' («)

OH t , ^^,...^a,-i sont exprimés rationnellement en to, w étant une racine imaoinaire de l'équation wH-i — 1 = 0, les quantités connues et les radicaux

^2*^-» y^'i---^ donnera séparément:

Dcmousfration. Soit ^^i^' =z, on aura les deux équations

Cf^,=y, = 0, (y)

Si donc les coefficiens t^^, t^, etc. ne sont pas égaux à zéro, z sera une racine de l'équation {(\). Supposons que l'équation:

0 = *, + V* + . .. + *,,. c^-'+i^soit une équation irréductible à laquelle puisse satisfaire -:, s^, s^, etc. étant des quantités de la même nature que f^, t^, ■ ■ .t^i j, et k un nombre qui est nécessairement moindre que ii ^. Toutes les racines de cette équation doivent se trouver parmi celles de l'équation

Or si z est une racine, une autre quelconque pourra être représentée par w''.z: donc, si k est plus grand que l'unité, l'équation doit être encore satisfaite en mettant tù'.z au lieu de z. Cela donne:

d'où l'on tire en la combinant avec la précédente

Maintenant cette équation, qui n'est que du degré k — 1, ne peut subsister, à moins que tous ses coefficiens ne soient séparément égaux à zéro. Il faut donc qu'on ait

w^' —1=0, ou o/^ = 1, ce qui est impossible en remarquant que fi ^ est un nombre premier. Il faut donc que k=i, or cela donne

(il d'où z = Vy^ = — s^.

ce qui est de même impossible. Les équations (,?) auront donc lien. Théorème 11. Si une équation,

est satisfaite par une expression algébrique

de l'ordre w, où n est plus grand que m, elle sera encore satisfaite en niettant au lieu de Vyi toutes les valeurs onyi/i, fa^.y y^ etc.

Théorème III. Si les deux équations:

(p{y,7n) = 0 et (p^{y,7t) = 0, (*)

desquelles la première est irréductible, et w = ou < ?«, ont une racine commune, il faut que

fpi{y,fi) =fiy, m).(fiy,m).

En effet, quel que soit (p^{y,n), nous pourrons faire

<Pi{y, n) = fiy, m) . (F{7j,m) + F(7j,m), où le degré de F{y,m) est moindre que celui de (f{y,m). Il faut donc, à cause des équations (^), qu'on ait en même temps

F{y,m) = 0, ce qui ne peut subsister, à moins que tous les coefficiens de cette équation ne soient séparément égaux à zéro. Donc, quel que soit y, on a F{y, m) = 0 et par suite,

(Pi{y,n)=f{y,m).(p{y,m).

Théoi'ème IV. Si l'on a

(p,iy,») = f{y,f'i)-<fiy,»f), (0

on doit avoir encore

En effet, en changeant dans l'équation (Ç) le radical extérieur ]/^ suc-

cessivement en w|/î/^, i')'^}^y^ etc., elle sera encore satisfaite. En désignant les valeurs correspondantes de (f(y,m) par (f'{y,m). (f"{y, //i) . . . rf^i^~^)(y,m), la fonction <f\{y,n) sera divisible par toutes ces fonctions; donc aussi par leur produit, si elles n'ont point de facteurs communs. Or si Ion suppose par exemple que les deux équations q'(y,m) = 0, (f"(y,m) ^=0 aient lieu en mniw temps, on en tirera:

y + A'^y'-' + Ji-„.y''^ + . . . = 0. Or si elles ont une racine commune, elles doivent être identiques. Donc les fonctions (f{y,m), (f'{y,m) etc. n'ont pas de facteurs communs, par suite la fonction (f^{y,n) sera divisible par le produit

(f{y,m).cp'{y,i») . . . if(v--^^{y,m), c'est-à-dire par n(p{y,m). Donc.

Théorème V. Si l'équation

est irréductible, celle-ci,

imy,m) ^Qz=(p^{y, m'), le sera de inèoie.

Eu effet, si elle ne l'était pas, supposons que

soit une telle équation. Alors les deux équations (/'2(^,?w') = 0 et (f{y,m)z=Q auraient une racine coninume, et par suite

TaCy. »*') = fin) • n(f{y, m) = f{y) . (p^{y, m'), ce qui est impossible, car le degré de (p.J^y,m') est moindre que celui de (pi{y,»i'). Donc etc.

Cela posé, rien n'est plus facile que de trouver l'équation la moins élevée à laquelle puisse satisfaire une expression algébrique.

Soit ff„, l'expression dont il s'agit, et

(',n — f \yJ", y,n-i^"-\ •■•),.

et xpiy) = 0,

l'équation irréductible à laquelle elle doit satisfaire.

La fonction doit d'abord être divisible par y — «„,. Or, si elle est divisible par y — ff„,, elle est encore divisible par //(^ — «,„) = ^(y, wîJ. Mais (f{y,m^) est irréductible, donc n{y) est de même divisible par

n(f{y,nh) = 'n{y,»h\ ensuite par rLp ^{y, m^) = (f.J,y, m^),

etc.

Maintenant les nombres m, m^, m^, . . . forment une suite décroissante, on doit donc enfin parvenir à une fonction

(p,iy,m,+j), où m^^i t= 0. Alors les coefficiens de cette fonction seront rationnels, et comme elle doit diviser la fonction ^'{y), l'équation

fMy,o) = o,

sera précisément l'équation chercbée.

Le degré de cette équation se trouve aisément. En effet on a successivement:

^'f^ii/^^h) = ^ncf, {y, »g = //„.//„, ./i„^

d(p.,{y,m,,+^ = dn(f,,j{y,m^)=zj.i,,.f,„...H^^. Donc le degré de l'équation

est /i„..^„^.^„,^ .../<„^,

dans le cas où w^+j i= 0.

De ce qui précède on peut maintenant déduire plusieurs conséquences importantes :

1. Le. degré de l'équation irréductible à laquelle satisfait une expression algébrique, est le produit d'un certain nombre d'exposans radicaux qui se trouvent dans l'expression algébrique dont il s'agit. Parmi ces exposans se trouve toujours celui du radical extérieur.

2. L'exposant du radical extérieur est toujours un diviseur du degré de l'équation irréductible à latfuelle satisfait une expression algébrique.

5. Si une équation irréductible peut être satisfaite algébriquement, elle est

en même temps résoluble algébriquement. En elfet, on aura toutes les

racines en attribuant dans a„, aux radicaux y^!^", ym^"', ■ ym^'"' toutes

les valeurs dont ils sont susceptibles.

4. Une expression algébrique qui peut satisfaire à une équation irréductible du degré //, est susceptible d'un nombre de // valeurs différentes entre elles, et pas davantage.

Sur la forme de l'expression algébrique qui peut satisfaire à une équation irréductible

d'un degré donné.

Supposons maintenant que le degré de léquation

V'iy) = 0,

à laquelle satisfait l'expression algébrique «„, soit exprimé par f.i ; on doit avoir, comme nous avons vu.

Premier eas: si /t esf un nombre j)remier. Si /< est un nombre premier, on doit avoir

et par suite,

Les autres racines se trouvent en mettant au lieu de yj^, les valeurs iûyj>;

fo*y„.!^, . . . cdï^-^y„.(^. On aura ainsi en désignant par z^, z^,. . . ^^ les racines

de l'quation, et en faisant pour abréger y„. = ,y:

Maintenant pour que ces quantités soient en effet des racines, il faut qu'on n'ait aucune nouvelle valeur en attribuant à tous les radicaux qui se trouvent dans les quantités p^, p^, p^ . . . p^-i et s, les valeurs dont ces radicaux sont susceptibles.

Soient />'„, p\, //.,, .. .2>'v-\- *' "» système de valeurs ainsi formées, on doit avoir

et à une valeur différente de w' il répond une valeur différente de w. En faisant donc i<i' = 1, M, w^, . . . WM--1, on aura en désignant les valeurs correspondantes de « jiar (o^, w^, a^ . . . «^j:

Po +;\«i ■s^+p„y^.sv--j-. . . =p'^ +p'jOj*'l^ +/>'^coV7+ . . .