Tome second
En ajoutant il viendra,
t'Po = f'P'o > c'est-à-dire p'^ = p^.
On trouvera de même,
fip'^.s<\^=p^.sv-{a^-\-(>)^.io-^-\-(o^.(.r'^-\-...-\-(o^i. co-t^+')
+ etc.
L L 2. jtzL
Donc s'i^= q^-si^ + q^-s^^^ . ..^}-q^,l.s y- ,
et de là s' =\^q^.si^-\-q^.si'-\-...-^q^,^.sy■ ) ,
d'où 5- =;^4-#^.^^4-i^.^7+... + ^^i.5 (x (a)
Or je dis qu'on doit avoir ^^ z= 0, ^^ ^ 0, . . . ^^i = 0.
En eifet, dans le cas contraire on aurait s^ égal à une fonction rationnelle de s, s', p^, p' ^ . . .p^^-l, p'^-i, et par là z^ égal à une fonction rationnelle de ces mêmes quantités.
Cela posé, on ne peut pas exprimer s\ j)\, p\-- • l'ationnellement *, p^. Pj^,.--; car cela donnerait *h- en fonction rationnelle de s, p^, p^ . . ., ce qui est impossible. Mais si l'on cherche l'équation irréductible à laquelle pourra satisfaire z^ , on trouvera que son degré doit être un nombre composé, ce qui n'a pas lieu. Donc l'équation («) ne peut avoir lieu à moins qu'on u^ait 1^=0, t^ = 0... t^^ = 0.
Cela donne:
(1 2 jX-ï y |J-
qy.s^-\- q^co\î^-\- . . . + y^, .«!^-^* (^ ) = *'
etc.
On conclut de là:
q^o)sV--{-q^io^s^ +• •• -\-qii-i-fov--Ks y- zrz a' .s'v-;
mais <y^w\^!x j y^(^'»..ç!x{ j ^^j„v jf y. -f,j» ,y.|i.
donc
et par suite
î'i = 0' «/î = 0» •• • 9'x-i = 0, <^,+, = 0 . . . ç'^x = 0. Ou aura donc
s'v-z=q^.sv-, s'V- = qli.sv- , etc.
Or nous avons
donc on en tire
et de là />'Ç..v' =:/>/,*''
Maintenant puisque v ne peut avoir que l'une des valeurs, 2, 3, . . . fi — 1, il s'ensuit que pf^.s n'aura qu'un nombre de |U — 1 valeurs différentes, p^.s doit donc satisfaire à une équation qui est tout au plus du degré fi — 1.
On peut faire p^ = 1, et alors on aura
2i=n+ si' + p^ ■ s^ + '-'+Pv-i-s*" ♦%= n + '"*•'+/>,«*•*'' + •••+ ^,.-1 •«''-'•* '^
Je dis maintenant qu'on pourra exprimer les quantités p^, Pa, • • ■ p^x-i rationnellement en s et les quantités connues.
On a
/>(, = — (îj + ^2 + + 2^(1) = une quantité connue
p,^.sV=l.(,^ + "''"'•-. + • • • + «%)
De là on tire :
;,^* = (iy-\ (^^+ 0,-^ .^, + . . . + co-c^-0 . z,)(^^ + «-^ ^^+ . . . + o,-(^-o. .^^^^^^^
p^s = (^y-" . (c,+ co-3 ..,+ ... + co-3(.-) . z^){z^ + 0)- . ^,+ . . . + a>-(^-^ ). ^,)^-3
(La suite de ce mémoire qui, ce qui est bien à regretter, n'est pas termine', consiste seulement dans les notices abre'gées ci-dessous, dont il m'est bien réussi, comme on verra dans les notes, de démêler une partie, mais jusqu'à présent non pas tout.
Note de l'éditeur.)
fi, +12 +--- + Q^ =% 9'i*i+ 9 2^2 + • • • + 9'v*v = «1
c'est-à-dire tant que non
Or soit
*1 =Sn
1 + to^to -\- a^u)^ + . . . + co^i . 0)1^-* = 1,
ce qui est impossible; donc
q =p„,.s rationnel en * et en les quantités connues.
Donc
Soit P = 0 l'écpiaf ion la moins élevée en * au degré v, les v racines de cette équation seront de la tonne
m', m", . . . 7m(^-*) se trouvant parmi celles-ci 2, 3, 4, . . . // — 1.
s = p^ 1 . A- V i=Pk-X •P'^k-l. •p^\-z . • . pçT''' . .î'"\
= entier, k = facteur de .// — 1,
k:=: i; OU k <. V.
Soit m une racine primitive pour le module //, on pourra représenter -, par
Soient s^, s^, s,, . . . s., les valeurs de s, on doit avoir
wi»*— 1
= entier,
A: = facteur de fi — 1, uk = {a — l)n.
Soit q.x 1^ une autre racine
en sera encore une.
Il faut donc que
k"(n^ -\- n'§') == 7^"(// — 1) li = a/î" ^' = u'ti" fi — 1 = eaw'/9" k"{)ict -\- n'n')^" = ?i"e(tu'ji" k"{na -f- n'u') = n"eaa' k" = (((('. k'" k"'{nu + n'u') = n"e
^(na+ii'a')P"
nu + ii'W = 1
fi—l = k<(i'
^i — \= k"iS", (
mais /5"</?, /5"</5'; donc k" > k, k" > k', ce qui est contre l'hypothèse; donc les racines de l'équation
pourront être représentées par
où s =(f{s,t)y.s^"\,
Le degré de l'équation P = 0 doit donc être un facteur de // — 1 .
Désignons (/'(•î))'^ ••?'"" par 6*5 les racines deviendront
s, 0*5 ^'^s, O^s, . . . 0''~'.v où O^v^: s.
On a encore
n'ï -.mîa
1 m* in«a m("'-i)a
mf-i m«l-> ni3a-l m'Ja-i
1 mOa
-il 1
ni^ m2 7n2 ^2
ma-1
+ Ta-l(4* ^ +ffa-lKK f^ -|-<^a-.(-y,K'^ +---+?'a-l(*.-lK-l »*
1 1 m» m^a mf-*-!)»
1 md m^a msa 1
*^ = ^1.«M. .«^ M- .«^ H ...«V, 1 m!a m3a 1 ma
s^ = J^.a 1^ .«7^...«Vi.o,iT
1 m(v-i)a 1 m» mN-Oa
— lo^s = \osA -} lo";«+ — — loç c, 4- — — losr «, 4- . . .
— .los*. = los:.^, H lo2:«H '02; «, -\ los: o, + . . .
*K :*^=:(^"'':^j).rt,i H-
Ay>*x» Cl) — O5 Ay.*2» (^2) =0.
*^i, s^2, *v-3 5 • • • *£ fonctions rationnelles de s, Sj, *2, . . . *c i , e, ^1 , î>2 • • • C^-i • F(y, *, *j, *2, . . . *;i, f}, ç^, Ç2, . . . Çt-i) sera facteur de xp{y) pour toutes les valeurs de s, s^, s^, . . .
Donc le degré de if'(y) est divisible par /t^ Il y a deux cas:
