cos

« = 1 donne Z(2) = l: « = 3 et îw = 1 donne

Z(l + i) = 3 — log3+cos |L.log(2 — 2cos-|^) — 2sinÇ.arctg

or cos-|^=^, sin^=^, donc /.(l + ^)=3-| logS- -J 1/(3)

«=3 et «^=2 donne Z.(l + f) = | — | log 3+ -J K(3). La formule (D) a seulement lieu, lorsque a est impair. Lorscfue a est pair, on aura:

lU + i^) = -«— losa+log2 + ^ vfcos^.log (2-2cos^)^

;\ — ^kT

I l-cos

— 2 y, sin arc tang

Le terme + log 2 doit être pris avec le signe -|- si m est pair; et avec le signe — tlaiis le cas contraire.

« = 2 et m=l donne Z.(l-f-^) = 2 — log 2.

« = 4 et ?«=1 donne //(14-^) = 4 — 3log2— -|

ff=4 et ?« — 3 donne Z(l + 3) = | — 3log2 + ^.

Les deux dernières équations donnent //(|^) — L{^)-:^n — §, ce que nous avons déjà trouvé plus haut.

La formule (E) comprend aussi le cas de a impair, car

Z ( 1 + . '" , ) = Z 1 -j- {--'^ — r ). Mettant donc 2a au lieu de a ou aura V ' 2a' + l/ ' v2(2«' + l)/

Z(l + ^^ ) = ^ - log a — (log2± log2) + ir,cos^. log (2 sin |^)'

sink siu . arc laug

a-i , sm —

ktm: . a

— 2 2^k sin "-^^ . arc tan

en remarquant que 1 — cosr=2 (sin -^)-

Si l'on met ici 2a — m à la place de m, il vient:

i(l,?gL')=i(2-£)=.Jl^,„„„,(,og2+io.^).ï.c„s*-^M„g(.si„gy

. kr.

a-l SI" —

+ 2^/r. sm • . arc tan g — ; — r--

vrmz

( . kii\

2 ( sm — I

V 2ff/

en remarquant que cos ii?^:!^ = 00s i^ , et que sin ^•(^"-"')^ = sin i^

Ajoutant ces expressions de 2/(2 — ^) et Z ( 1 4- -;^), on obtient:

+ 4 2'„cos^^log(2sin4^) 2 a \ 2a/

et en retranchant l'une de l'autre, on obtient V'^'è/zy ^^U+.i-J = ^, h^-TiSm — ^.arc tang