i^).,fa+,.fl

où le signe à se rapporte seulement aux quantités ff^? «^ • • • ^'o? ^, • • •; inais

(5i2 = IpÔp — Iqëq (1 — c'x'') (1 + e^r^)

= <îipàp — 2qèq iffif . {FOf.

Donc en mettant pour p sa valeur +q.fO.F% et pour q sa valeur +-j~j^,

dR = ± S/e . F9(y tîj» — pâq).

L'équatiou (3) deviendra donc

Or .j ■:= f;0, donc dx = (l<}.f^.F^; par suite ,

Lo numérateur -4- 2{fi(f// — qdp) est une fonction entière de x; en la désignant par i/'(.r) et faisant (-j- ) = '^i^), on aura.

Soit pour abréger (f^„, = .v„, l'équation précédente donnera:

Donc

3Iaintenant le degré de la fonction entière ^(x) est nécessairement moindre que celui de /(x); donc, d'après un théorème connu, le second nombre de l'équation précédente s'évanouira. On aura par conséquent:

De là on tire en intégrant:

et par suite:

Le signe des quantités 0, , ôj . . . n'est pas arbitraire. II est le même que celui de l'équation,

Je suis parvenu à ces deux formules: (Voyez Tome l pag. 220)

^ u 3:c 5tc

<Pl«.-ïr) = ^ — ■<sm(— - ) sini oa. — ) \- sini oa.—-)—- ...>,

■z 3tc 5it

où |-=y^*-7(ï3^' K'''^)~Vb ~~ '^^ (""ï)]' ®* '^ fonction y déteriniaée par la formule,

en faisant a? = 98.

Si l'on développe la fonction qp6 suivant les puissances de 0, il est clair ([u'on aura un résultat de la forme:

,po — e-h j 2 3^5 -f- 1.2.3. ..9 ^■■■^ 1.2.3... (4« + i) ^•••' oxi A , A^. . .A„. . . sont des nombres rationnels et même entiers. On aura de même, en développant la fonction /"O:

'^ — ^ ^^ + 1.2.3.4 — 1.2. ..6 +--± 1.2. ..2« +•• En vertu de ces formules les deux équations (1) donneront, en développant suivant les puissances de a:

f! 34,.-! 1! l 54n-l.lJ ...=0.

Tt 3rç

La première de ces formules a été trouvée par M. Caiichy dans ses exercises de Mathématiques T. II pag 267.

xvn.

Méthode générale de trouver des fonctions d'une seule quantité variable lorsqu'une propriété de ces fonctions est exprimée par une équation entre

deux 7>ariables indépendantes.

Croient X et y deux quautités variables iiulépeiuiautes, «, (i, y, à etc. des fonctions dounées de x et y, et tp, f, F etc. des fonctions cherchées entre lesquelles une relation est exprimée par une équation V = 0, comprenant d'une manière (fuelconque les quantités .r, y, (pu, fi, Fy etc. et leurs différentielles. On pourra en général à l'aide de cette seule écpiation trouver toutes les fonctions inconnues dans les cas où le problème est possible.

Pour trouver lune des fonctions il est clair qu'on doit chercher une équation où cette fonction est la seule inconnue et par conséquent chasser toutes les autres. Cherchons donc d'abord à chasser une fonction inconnue par exemple (fu et ses différentielles. Les quantités x et y étant indépendantes ou en peut regarder l'une, ou une fonction donnée des deux, comme constante. On peut donc différentier l'équation F = 0 par rapport à l'une des variables x, en considérant « comme constant, et dans ce cas l'autre variable y doit être considéré comme fonction de x et de «. Or en différentiant l'équation F = 0 plusieurs fois de suite en supposant c. constant, il ne se trouvera pas dans les équations résultantes d'autres fonctions de « que celles qui sont comprises dans l'équation F = 0, savoir (pu et ses différentielles. Donc si la fonction F contient

(pu, d(pu, d'(fu, . . . d"(p«, on obtiendra, en différentiant l'équation F=0 n -\- 1 fois de suite dans la supposition de u constant, les w -|- 2 équations suivantes:

V=0, dV=0, (t-V=: 0, . . . d"+' F = 0.

Eliminant de ces n -\- 2, équations les '' -f- 1 quantités inconnues

(pu, d(pu, d^u, etc.

il en résultera une équation V^=.0 qui ne contiendra ni la fonction (pa ni ses différentielles, mais seulement les fonctions f(i, Fy, etc. et leurs différentielles.

Cette équation F^ == 0 poui'ra maintenant être traitée de la même manière par rapport à l'une des autres fonctions inconnues //?, et on obtiendra une équalion V^-=0 (jui ne contiendra ni <pu ou ses différentielles, ni /"/? ou ses différentielles, mais seulement Fy etc. et les différentielles de ces fonctions.

De cette manière on peut continuer l'élimination des fonctions inconnues jusqu'à ce qu'on est parvenu à une équation qui ne contient qu'une seule fonction inconnue avec ses différentielles, et eu regardant maintenant l'une des quantités variables comme constante, on a une équation différentielle entre la fonction inconnue et l'autre variable d'où l'on pourra donc tirer cette fonction pai* intégration.

On peut observer qu'il suffit d'éliminer jusqu'à ce qu'on aura obtenu une «équation qui ne contient que deux fonctions inconnues et leurs différentielles, (;ar, si par exemple ces fonctions sont (pa et f[j, on pourra, en supposant ci constant, exprimer x et y en fonctions de « à l'aide des deux équations a^=.a et (i z=.c et parvenir de cette manière à une équation différentielle entre (fa et « d'où l'on pourra par conséquent trouver (fa. De la même manière on trouvera une équation entre f[] et /? en déterminant x eiy par les équations u=.c et ^ ■=(}. Ces fonctions étant ainsi trouvées, on trouvera aisément les autres fonctions à l'aide des équations restantes.

De cette manière on pourra donc en général trouver toutes les fonctions inconnues, tant que le problème est possible. Pour examiner cela, il faut substituer les valeurs trouvées dans l'équation donnée, et voir si elle est satisfaite.

Ce qui précède dépend, comme nous venons de voir, de la différentiatiou d'une fonction de x et y par rapport à x, en supposant constante une fonction donnée de .r et y; y est donc fonction de .r et dans les différentielles se trouvent

les expressions — ^ , -— ^ , — ^ , etc. Ces expressions se trouvent aisément

en différentiant l'équation a = c par rapport à x et en supposant y fonction de