Trouver la fonction (jp qui satisfait à l'équation
(pa=f(x, y, (pfi, cpr) f étant une fonction quelconque donnée.
En différentiant cette équation par rapport à x en supposant « constant
on aura
o=/-..-+rï..f+/-w).r,<£+|.g)+rt*rt.,v(g+*.|).
or nous avons wl que
\dxJ
cette valeur étant substituée dans l'équation ci-dessus, on obtiendra après avoir
multiplié par — ^ :
dy
' \dy) ' !f dx ^' ^^"^' \dx dy dx dy^l ^'^ ' >-'f 'KdxTy dxTy)- Faisant maintenant ;' constant, déterminant x et y en (i par les deux équations Y=zc, ,? = ,? et substituant leur valeurs, on obtiendra entre (ffi et (i une équation différentielle du premier ordre, d'où l'on tirera la fonction (f(?.
Soit f{x, y, (fi% (pr) = V-/^ + <t>r,
on aura f'{^) = 0, f'iy) = 0, f'(rp^) = 1, fin) = 1-
L'équation deviendra donc
/d^ da. dcL d^\\„,^(d-i jh^ da. dy\^
«>u tire de là en intégrant
/da. dy da: dj dx dy du ds ,,
dx dy dx dy
On voit aisément que sans diminuer la généralité du problème on peut faire /^ = a.' et y = y, et on aura
rfp __ 4 d?> n '^1 —n EL 1
dx dy dx dy
Ayant donc 'f" = (fx -\- (fy,
on en conclut
/\dx) w
où y est supposé constant après la différentiation.
Appliquons cela à la recherche du logarithme.
On a log(a::y) = log.r + logy,
da dct.
donc « = ^i/. ^ = 2/' ~^ — ^'
substituant ces valeurs on obtient
q.x=<f'yf^.dx = cf^;
donc '*'S-^ = ^y^-
Si l'on veut trouver l'arc tang {x), on a
arc tangf ^ + ^ ) = arc tg. {x) + arc tg. {y), °V 1 — xy /
dx.
donc
et par suite
1—xy
da. 1 I y(j + y) __ i+y'' -d^— i-xy~^ (1-xî/)* 0^-^yY '
da. 1 , J^(y + ^) 1+-^' .
On lin; de là
\dx/ 1 + yi
par conséquent y .r = (/ '^ . / — — ^ . dx,
et de là
/* ilx P dx arc t». (;r) = c /- = /- en faisant c = 1.
Supposons Hiaintenant
A**^» y» ç»/^» fpy) = 9'(^-fpr=fx-9y
eu faisant (i = x et y = y.
On aura donc
/■'x = /''y = 0 f\(^x) = çy, fX^jj) = (par
dx dy dy dx
L'équation deviendra donc
(p'x ç'^ \dx y
donc
<pj ç^
\dxJ \dy)
Soit I ^^^^.dx=T,
et en iuté2;rant loa;œa.-= -?^ / ^^ — .</a:.
CT
on aura (px ■==. e .
Soit par exemple a-= x -{- y, on aura
da. , do. 1 rr /•/
-^— = 1 = —— , donc 1 z=z I dx z=. X,
dx dy *'
et (fx = e" .
Soit « = .ry, on aura
