Tome second
donc cpx = e^-'°^'.
c'est-à-dire (px = x".
Si l'on cherche la résultante R de deux forces égales P dont les directions font un angle égal à 2x, on trouvera que R = P.(fX, où cfx est une fonction qui satisfait à l'équation
(fx.cpi/ = (fix + y) + qix —y) (Voyez Poisson traité de mécanique Tome I pag li.)
Pour déterminer cette fonction, il faut différentier l'équation par rapport à X en supposant y -{- x = const. et on aura
ff'x.^y + (px.(f'y.^ = ^'{x — y){l— -^);
mais de l'équation x -\- y = c on tire -/- = — 1-
Substituant cette valeur on obtient
(f'x.(fy — (fx.fp'y = 2(f'{x — ij).
Différentiant maintenant par rapport à x en supposant x — y =. const. on aura
(p'x.(py-^(p'x.ff'y.~£ —(f'x.(f'y — (px.cf»y.-^ = 0;
or l'équation x — y = c donne -^ = 1,
donc q>"x. (fy — (fx.(f"y = 0.
La supposition de y constant donne
(f."x -\- c(px = 0,
d'où l'on tire en intégrant qx = u. cos(,ja: -)- ;-)
((, ^ et y étant des constantes. Eu déterminant celles-ci par les conditions du
problème, on trouvera
donc cpx = 2coiix, et par suite R = 2P.cosx.
2. Déterminer les trois fonctions q-, f et xp qui satisfont à l'équation V« = F{x, y, (fx, (f'x,... fy, fy, . . .) où a est une fonction donnée de x et de y, et F une fonction donnée des quantités entre les parenthèses.
Différentiant l'équation par rapport à .r en supposant « constant et écrivant
ensuite , f , au lieu de ~ , on obtiendra l'équation suivante
/ rta \ as
da.
dx F'x + F'{^x).<s^'x + ...
àa. ~ F-y+ F'{fy) J'y +...'
dy Si dans cette équation on fait y constant, on a une équation différentielle entre (fx et X d'où l'on peut tirer q)X, et si l'on fait x constant, on a une équation différentielle d'où l'on peut tirer fy, ces deux fonctions étant trouvées, la fonction i/'a se trouvera sans difficulté par l'équation proposée.
Exemple. Trouver les trois fonctions qui satisfont à l'équation
^{x + y)=^ fx.f'ij + fy . (f'x.
On a ici F{x, y, cpx, cp'x fy, f'y)=^q>x.f'y -{-fy.tp'x;
donc F<x = F'y == 0, F'(rf or) = f'y, F'{(p'x) =z fy,
F'ify) = <p'x,F'{f'y) = cpx;
de plus u = x -\- y,
j« « dot. . da. .
donc -y~ =1, — - = 1.
dx dy
Ces valeurs étant substituées, on aura
ou bien (px.f''y — fy.(p''x = 0.
Faisant y constant on trouvera
(fx = a. sin(bx -j- c), et si l'on fait x constant
fy = a'.sin{by-i-c').
On tire de là
(p'x^= ab.cos{bx-\- c), cp"x = — ab"^ .sia{bx -^ c) f'y = a'b . cos{bi/ 4- c'), f"y = — a'6^ . sin{by -|- C). Ces valeurs étant substituées dans la proposée, on obtiendra
ip{x + y) = aa'b(sin{bx + c) . cos{by -j- C) -{- sin{by -f- C) . cos{bx + c)) = aa'b.sin(^b{x-\-y) -\- c -{- f').
Les trois fonctions chercbées sont donc q)X = a . s'm{bx -|- c) fy = a: sm{by -f c') tpa = aa'b . sin(6a -|- c -(- c').
Si l'on fait a = a' = b=l et c = €' = 0, on aura
(fx = sin X, fy ■= siii y, i/'« = sin «, et par suite sin(a;-|- y) ■== sin .r.sin'y -\- sin ^. sin' x. Trouver les trois fonctions qui sont déterminées par l'écjpiation
^(^ + 2/) = fi^y) + ¥(*'— y)-
Différentiant par rapport à x en supposant x -{-y constant, on aura
0 = f'{xy) .{y — x) + 2'f'ix — y).
Maintenant pour trouver y, soit xy = i' at x — y = a, on aura
donc qu=zk' -\-~.(^.
Pour trouver f, soit xy=i§ et x — y = c, on aura
donc f^ = €"+€', 3.
Ces valeurs de (pu et f(i étant substituées dans l'équation donnée, on obtiendra
v^i^ + y) = '^" + f'•^■y + k' -{- -^ {x-yy.
Pour déterminer % soit x-\- y = ('., d'où l'on tire y = a — .r; donc
^a=c"-{-c'x{a—x)-{-k'-\- 1 (2x—af=c"-\- | «-+A-'+ar«(c'— 2Z")+(2A— r>-^
Pour que cette équation soit possible, il faut (jue x s'évanouisse ; donc on aura
2k — f ' = 0, et c' = 2k.
Cette valeur étant substituée donne
wa = k' + r" + A f<%
(fyr=k'-\- — .;'%
qui sont les trois fonctions chercbées.
Comme dernier exemple je prendrai le suivant: Déterminer les fonctions tp et f par l'écpiation
H^ + y) = (p^-fy + f^- vy-
En supposant x -\- y = c, et en différentiant, on obtiendra
0 = ^<x.fy — ffx.f>y + f>x.(py—fx.(f'y. Supposons de plus que /(0)r=l, et (;(0) = 0, et nous aurons en posant ^=0:
0 = ^'.*' — ifx.c -\- fx .c'; donc fx = A(/ X -f- k'^ 'x.
Substituant cette valeur de A et faisant y constant, „„ aura
^"^ + mp'x -\~ b(fx = 0,
et en intégrant
Connaissant ^^ „„ oonnait a„s.i A, et en substiluanl les ,alen,s de ces fonc
ce qui donnera
et /v -'"'-' + e-''^-^
