K = COS X
xvin.
Résolution de quelques problèmes à l'aide d'intégrales définies.
La valeur de l'expression ç(x+yy'' — l) + ç(j — y^ — 1).
Lioi'Sque (p est une fonction algébrique, logarithmique, exponentielle ou circulaire, on peut, comme on sait, toujours exprimer la valeur réelle de (f{x -\- yY^ — 1) -|- (f{x — ]/ — 1) sous forme réelle et finie. Si au conti'aire f/) conserve sa généralité, on n'a pas que je sache, jusqu'à présent pu l'exprimer sous forme réelle et finie. On peut le faire à l'aide d^intégrales définies de la manière suivante.
Si on développe (f{x-\-yY — 1) et (f{x — yY — 1) d'après le théorème de Taylor, on obtient
donc
^(x+yV-\) + ^{x-yV-i)=2{ifX-^.y--{.-^^.y^^..). Pour trouver la somme de cette série, considérons la série
En multipliant les deux mend)res de cette équation par e""''', et prenant ensuite l'intégrale depuis i = — oo jusqu'à tz=i-\- oo, on aura
/*" cp{x+t).e-''''\dt=(f.'xf°°e-''''\dt+(p'x f°°e--''\tdt+yx /* V"'''.fV;+- Or f"^ e-''"'*\t-"+^.dt = 0; donc
^-oc »/ -« \.1J ^^ 1.2.3.4^oo
Considérons l'intégrale
1*°^ e-''''\e\dt.
Soit ^ = -^ , on a è--"-'' = e-^\ f" =^^, dt——i
donc
c'est-à-dire
re-''\f-".dt^ 1 .3.5.. .(2» -!)•:. V^^
Cette valeur étant substituée ci-dessus, donne
J-oo^^ ' ' V \y ~ '2 r* ~ 2.3.4 v* ~ /
En multipliant par c^'^'' .vdv, et prenant l'intégrale depuis v=. — co jusqu'à
V = oo, on obtiendra
-^f"vdv.e--'y\f°°cf{x+t)e-"'-'\dt=cFxf^e-'''y\dv+dArff^e'-'y''^^+--- Soit «y = /?, on a /'V''V-.^-s».e?^-2/*-i /•VP'./?-'"'.</,?.
donc f'"e-^"y\v-^".dv = (— ^)" V^-g^""' . et par suite
J„ /■ "e-"'»' . -y-^" . dv = (— 1)" . if"-^ . Y:x.
En substituant cette valeur, et divisant par -V^ , on obtiendra
Le second membre de cette étpiation est égal à
«f (^ + yV— 1) + qp(^ — 2/]/"— 1) ;
(/(.r+y|/— 1) + if{x — yY— 1) = ^ f°°vdv.e-^"-y'-. f" (f{x + l).e-'-''\dL
(t ^ -oo ^ -oc
Posant a: = 0, on a
Soit par exemple 9;? = e', on aura
9(3^1/-— 1)+ (f(— 2^1^— 1) = er^--' + ^-yv/-i = 2 cosy;
donc cosi/ = ^ f°° vdve-''"'-'"-. i'^'e'-"''"' .dt;
fe'-''"\di = ^
donc cos y = -^ /* rft' . e
Si l'on fait ?; = -^ , on aura
•' ^ iv-
cos « = /* dt .e ^^ '^
En donnant d'autres valeurs à q-t on en peut déduire la valeur d'autres intégrales définies, mais comme mon ])ut était seulement de déterminer la valeur de ff{x -\- Y — 1) + tC^ — yV — 1) je ne m'en occuperai pas.
Je remarquerai à la fin que de la même manière que de l'équation
^(«) = /*° ^ (voy. Tome I. pag. 27)
j'ai trouvé s, ainsi de l'équation
tp(a)=/^ (p{xa).fx.dx
j'ai trouvé la fonction (/, oii '^) et /"sont des fonctions données, l'intégrale étant prise entre des limites quelconques, mais la solution de ce problème est trop longue pour être donnée ici.
Les nombres de Bernoulli exprimés par des intégrales définies, d'où l'on a ensuite dé- ■ duit l'expression de l'intégrale finie Sçj.
Si l'on développe la fonction 1 — ^.cot-^ en série suivant les puissances entières de ?/, en posant
les coefficiens A^ , A^, A, etc. sont, comme on sait, les nombres de Bernoulli. (Voyez Euleri Institutiones cale. difl'. pag. 426).
On a
2 ■ 2 ■ V 47:2—^2 ' 4.47:2— m2 ~ QAk^—u"^ ' 16.471:*— a* i * * 7 '
(Voy. Euleii institut, cale. diff. pag. 423.) et en développant le second membre eu série:
l^.cot- = -^^(l + + + ..)
-I- "Wl I 1 I 1 I \
En comparant ce développement au précédent, on aura
yj. — ^ A -I ^ I ^ -I- "i 1.2.3 . . . 2« 2-"-> .7:"^» V • 22" "■" S*» ~"~ * " 7 "
On a ^^ = e-' + g-^' + e-" + . . .; donc
J*t^--^^ ^j^, ^2,.i ^^^ -l-ye-2' . ^2-1 . rf^ + . . . -j-/'-'^' . <*"-' .dt^... Or /•ng-A.^.„-i.^^^Ig«).
Cette expression se déduit de l'équation r{a) = é d.v(\og—j en y faisant a = 2n et x = e~^*.
mais d'après ce qui précède, on a
^ -i- 22;r -1- -p^ -T TâXïïl^ "~ r(2« + i) "'
donc /•^i!ri^= fw^.2--..-.j, -i!!:^.^„;
jo e«-i r(2« + i) 2«
et ptir conséquent
