Tome second

En mettîïnt ti au lieu de /, on obtiendra enfin

. 'in /»^t-"-'^.at

Ainsi les nombres de BernouUi peuvent être exprimés d'une manière très simple par des intégrales définies.

De l'autre côté ou voit aussi, lorsque n est un nombre entier, que l'expression /*'' '- — est toujours rationnelle et éijale à . ^„, ce qui est

assez remarquable. Ainsi on aura par exemple en faisant « = 1, 2, 3 etc.

TT ' "t t 2 3 1

f — TF

etc.

Maintenant à l'aide de ce qui précède, on pourra très facilement exprimer la fonction S(px par une intégrale définie.

On a

En substituant les valeurs de A^, A^, A^, etc. on aura

f jr ^^ ^1.2X, e^'l 1.2.3.23 y „ ^ixt iT^ 1.2.3.4.5.2* Jo e^'-l

c'est-à-dire

^çx=rcpx.dx-yx+ f^^J^^(^'x.i--r:^'L.lL-L.j^.Jl^...).

f JT ï-f ~Jo e^t jV^ 2 1.2.3. 23 "^ 1.2.3.4.5 2* ~ /

On tire de l;i

■■4-S 4- + Tlïb-^ - • = ^M'+ïV^-O-^C-ïi^-O]-

Cette valeur étant substituée dans l'expression de ^(f.v, donne

Cette expression de l'intégrale finie d'une fonction quelconque me paraît très remarquable, et je ne crois pas qu'elle ait été trouvée auparavant. De l'équation précédente on tire

JJ—— __ __ = ^çx —JcfX.dx + l(fx.

On a ainsi l'expression d'une intégrale définie très générale. Je vais faire voir l'application à quelques cas particuliers.