Soit (px = sin «.i-, on aura

^ sin «a; = ^— : 2-^ , /sm ax.dx = .cos ax:

2 sin ^ a "^ «

donc

/h ^ ± c' — c * j, cos(«x — ia) ,1 11dt = \ . .. -\ • COS ax + i sm ax, e^tt 1 2 sin T^a a ' ■* .j

et en écrivant 2« au lieu de «, et réduisant

/ " = cot «

Jo e^'— 1 «

En supposant d'autres formes pour la fonction çx on pourra de la même raanièi"e trouver la valeur d'autres intégrales définies.

Sftv iéqiialioii dijfi'rrntii'lUi dy ^^(i> -\- t/tj -\- ry-).d.v=:0, où p, q, et r sont

des fonctions de x seid.

'Il peut toujours réduire l'équation di/ = (p -\- qy -\- ry-)dx=0, à une autre de la forme

di/ = {P + Qif)dx = 0.

Première méthode. Soit y ^t-\- ?•', on aura

dz + <//•' + (;; -f- qr' -f- 7-'"^?-)rfa;-f z{q + 1rr')dx-\-rz^dx^=Q. Pour que le ternie multiplié par z disparaisse, il faut poser q -\- 2rr' = 0, d'où

l'on tire ?•' = — -J— . Cette valeur étant substituée pour /•', donne 2r

donc dz + (P + Qz'')dx = 0

^ 4/ ds 2/- ~ ds 2/2 ^

Seconde méthode. Soit y^zr\ et par conséquent dy ^=r'dz-\- zdr', on aura r'dz-\-pdx -\- z{dr' -f- r'qdx) -\- z"r''rdx := 0.

Polir que z s'évanouisse, on fera dr' -\- r'qdx = 0, d'où l'on tire

En substituant cette valeur pour r' on aura

dz-\-(p.e^''''^ + r.e--^''''\z'')dx = 0 • • (2)

Si donc on peut résoudre les équations (1) ou (2), on peut aussi résoudre la proposée, et réciproquement.

L'équation (2) est résoluble dans le cas où l'on a

p.e-' car on a alors

,/î''^__^,.g-/9rfx

-^-=—JL.e^'"'\dx:

et de là

mais donc maintenant

c tansï ( -i— ) = — ftidx.tr''''^ :

" \ v/e / va "^

= — Y a . tang ( -fpd^ • e ** j ;

yz=.zr' = z.e ■

y = - l/«..--^"'^ tang(-L. .Jef-'^tnlr):

f'" = nr.e-f'^'; ,\mc e'^'" = ^ , eJ'"" = y(^),

/,.. = ^i„g(^> ,,/..= ii - 4^, î = è(|- ^-f ^J)-

<f>/ + ip + 11/ + ^'y'')dx = 0,

L'équation deviendra donc

"v + ^' + hi^-yQn -h ';'}'- = »,

et son intégrale

1/ = — 1/ — . tang(yV^(77>) . d.r; où bien, en mettant pour la tangente son expression exponentielle:

p2/rfT v/ (-pr

Soit par exemple 2^ = — '' ^=^ ~7 ' •'^ ""*'*

1 — e-' ' 1 — cj2

1 +cj:«

En supposant p = .r'" et r = x\ on aura — — = -- et -4- = ■ — ,

donc dij 4- (.i"' 4- ^{ii — m) . ^ + •^■" •Z/")'^-»-' = 0,

et '/ = — .*-^ • lang/t' + ■ '^-— . x à(>"+"+2)\

Soit w = — ;» — 2, on aura

^ = — .r*"+' . tant;(/. + l»)?*' .i) ^ — .ï'"+' . tan!ï(log(^'a-)), (loti l'on lire

Si dans l'équation (2) on met — — à la jilaoe de z, on aura

dz + (/•. e--^'"' + y> . r-^'"^ . z')(h- = 0, et lorsque