fqit-r

If ^ — — .e , ou a

'/y + (/' + mi + ?7/')'^-^' = 0-

Lorsque /> = 0, on a rfy -j- {qy -f- ry-)dx = 0,

</c ^^ — ?• . e"-'''''' . dx, z = — fr . e'-'''''" . dx

et y = —

Telle est doue l'intégrale de l'équalion

Si dans l'équation luoposée on fait ^ = ^ = r, ou o!)tient

cdy 4- (c 4- 2ay + .y*)/>^/:r = 0,

donc / î-i^ = — f/nix,

•/ c + 2fl^ + ^'^ -^

y^+2a^+c 2v/(a"- — c) V^ + a— v/(a- — c) ^ + « + v/(fl'- — c) / '

donc

-//"^•^ = 2,/(.^-,.) D«s ( y + « — K(«-^ — '■))- loii ( y + « + K(«"- - <■))],

ou l)ien

et de là

^ + « — t/(rt'i c) -2v/(a--c)./p.a

»/ + fl + v/(«'- f)

et // r= — « -f- j/(«'^ — r) .

Dans ce cas, rérjiintion (2) devient

edz + (ce^'^""' + r'^-^""' . :^\dx = 0;

mais on a

V fqdx —fP''^

donc on aura

Si l'on hit p = i, ce qui ne diminue pas la généralité, on a fpdx=zx-\-k, et par là

Lorsqu'on connaît une valeur de y qui satisfait à l'équation

dy + (V + 'iy + rif)dx = 0 on pourra aisément trouver l'intégrale complète.

Soit y' cette valeur particulière. On fera y = y' -\- z et ou aura dz + dy + (j, + qy + ry'')d:c + {z{q + g^'^/') + rz^)rf.r = 0. Or par l'hypothèse on a dy' -\- (p -{- qy' -\- i'y''^)dx = 0; donc

dz + (iq + 2ry')z + rz^)dx = 0, d'où l'on tire en intégrant

mais y = ^ + ?/' 5 "loHC

Soit par exemple

dy + {-^ + f-+'-y'y = o.

Faisant y = — on trouvera

i | 1 } „ft } rfr = 0,

et (le lit

donc y = I ~" + }/ ( — ^-— -) ( • — 6St une intéiiole particulière, et

comme on a q ^ ^ , r^=c, l'intégrale complète de l'équ.ition proposée est

c .Jdx . e et en eflectuant les intégrations

yi-.x"'''^^'^*^""^'"*"]'

où A- et C sont les constantes arbitraires dues aux intégrations.

Quoiqu'on puisse, comme on vient de voir, résoudre plusieurs cas en employant des substitutions convenables, il semble pourtant plus commode pour rintégration des équations diflerentielles de cbercber le facteur par lequel l'é- (juation doit être multipliée pour devenir intégrable.

Soit z ce facteur, de sorte que l'éipiation soit une différentielle complète. On doit avoir, comme on sait,

dz ^ d{z{p + gy-^)] dx dy '

et en eflectuant la diflërentiation

Soit c = c', on aura

|:=(/> + yr).|r+2-7z^-^-

Ovoique cette équation en général ne soit pas moins difficile à résoudre que la proposée, elle peut néanmoins servir à découvrir plusieurs cas particuliers dans lesquels celle-ci est résoluble.

Supposons par exemple que ?■ r=: «.log(« -f- ,j^), où a est une quantité constante, et n et ,:? des fonctions de x seul. En substituant cette valeur de r on obtiendra Tome -secoml. t»0

OL + ^y a. + ^y ^^ '

où „' = — ^ et ,i' ^=-^ ■ En multipliant par a -{- ^y on aura f/x f/x

au' — atip + (ap' — a»^)^ — {arltj + 2(?5')y'' = 0, et par là

au' — afy) = 0, «;5' — 2c'.q = 0, a^^ç' + 2(?q = 0. La dernière équation donne « = — 2, et en substituant cette valeur dans les deux autres é(|uations, on obtiendra

f/' — ^ip = 0, /i' + «7 = 0. Si de ces deux équations on tirait « et ji en p et ç-, on parviendrait, à une

équation différentielle du second ordre; mais on trouve P = -^ etq^ — — ;

si donc ces deux conditions ont lieu, on a r = — 2 log(« -f A.y), et par suite Il suit de là que l'équation différentielle

peut être intégrée, et que le facteur qui la rend intégrable, est , ^„ .^ • L'intégrale sera donc

c'est-à-dire

Pour trouver />, il faut différentier, ce qui donnera

mais (ly = — -^ -gL^-±.dx;

d'où en réduisant L'intégrale de l'équation

sera donc

d'où l'on tire

' ^i^-fi."^

Supposons ,:-' = u= J^ , on aura

Voy. meuioric délia società Italiana T. III p. 2Ô6.

Sur Veqiiathn (UféreulieUe {y + *)</// + (p + (jy + rif)dx = 0.

t^ette équation peut toujours être réHuite ;i la Ibiiue

2rf2 -\-{P-\- Qz)(/^v = 0.

Pour cet effet je pose y r= c -\- ^z; ilonc (ly = du -\- tj'dz -\- zdi3; donc en substituant:

(« | A- -f ,-;-) (rf« 4- zd^ + r^rf;) + (/? + 9« + q,^^ H- ^-f'- + 2?-«,?c + ?-,S^î^)r/A- = 0,

ou bien

/ , a + s\ , , (« + a)</a + (/! + ça + / a-)rfjr

, , / (g + s)d^ + g[rf« + (y + 2/-a)rfx] \ j /^^ ^ ^\ ,., ^

Pour que cette équation soit de la forme zdz -\- {P -]^ Qz)dx z= 0, on doit avoir les deux équations suivantes:

.^ = Oet.Y/.r+-'^^-- = 0,

donc « = — s et p^e-' ,

p = (p — qs-]- rs") . e^''^ Q = ({q — 2rs)dx — ds) . e^''^ Si donc dans l'équation (y + s)dy -\- (p -\- qy -\- iY)dx = 0, au lieu de y on met « + [iz = — * -f" ^ • f ''\ o» obtieut

^dz + \{p-qs+rs"-).f'^"''+ (q-2rs- -^). /^"^ i]</:i' = 0.

Donc, si cette équation est résoluble, celle-là l'est de même. Cela a lieu si

p — qs -\- rs- = 0, ou bien si

Dans le premier cas on a

à: + (q-2rs- ^^.r''"'\,Lv = 0, Ami : =f(2r^-{-''^^^- ~ .i).e^'-"}à:c^'

et dans le second cas

zdz -f (/> — qs + rs-) . i?^'"' . f/.r = 0, .loi. ; = V(2fi<is — // — rs^). g^/"" . dxj. L'équation din'ércnfielle

(.'/ + •*)'/y + ('/•*■ — '••*'' 4- 9,'/ + ry^)da: = 0 a donc |)(»iir intégrale

,,= „. + „-/-/[(2,.,+ *„).„/-],,.,^ et celle-ci

(y + *)'<y + [/' + (^r.s- + ^i)y + ry^y^ = 0 a ponr intéi^rale

On peut aussi donner une autre lonne à l'équation

zdz + (P + Qz)dx =.0.

Eu mettant y -f- « «'»u lieu de ; on a

(.'/ + 'OK'/ + '^") + {1* + .(?(// + 'O'/-^- = 0; c'est-à-dire

En posant maintenant

Qdx -\- du ^= 0, ou « = — J Qdx\ on aura

et en faisant — fQd.v r= R et par conséquent Q = — — — , "^ ' dx

( 1/ + Ii)d>/ -\- Pdx = 0, d'où du -I ^ . */.i- = 0.

Si l'on tait Pdx = dr, on a

Je vais maintenant chercher le facteur qui fasse l'équation

y'i>/ + ip + iy)<i'i' = o

une ditférentielle complète.

Soit i ce facteur, on aura

— j — — j 5 ■^^rrial auC otfN

ux dy / •

on bien

Soit ? = c', on aura

dz dr . dz ^ dr

dx dx dy dy

Donc y.^(p + çy).g.^0.

Supposons >• = «-}- [ly, on aura

c'est-à-dire

On en tire

et par conséquent

(5 =: — c, « = — cjqdx, — c^ -|- ^ = 0.

Le facteur cherché sera donc Soit maintenant r = a -\- ^y -\- yy'^, on aura

donc en développant

On en conclut

et de là

j/ = f, ^ = 2cJ(/dx, q -\- 2cpjqdx = 0, a = 2,cf(/dx{J'qdx -\- p)

= 2cfqdxfqdx -fj^ ■ L'équation deviendra donc

y'^y-^^-^iy'^''^^^

et le facteur

Faisant y = 1 et écrivant — c au lieu de 2c on a AJL. =^

fqds x+a

et le facteur deviendra

JC+ a

Lorsque a = 0, on a ydi/ -f- f y -|- —jdx = 0, et le facteur sera

L'intégrale sera donc

ou bien

fy.e-^^''^'^\dy + F{x) = 0.

Supposons en général

r = i'.-\- i'.^y + «2^2 + «3^' + . . . + any'^: on aura en différentiant successivement par rapport à a: et à y:

-d^—^^-d^-y^-dV-y +^^-^+--+^y^

^ = «1 + 2'<2y 4- 3«3,y' + • ■ • + ««»r"'- En substituant ces valeurs dans l'équation

et réduisant, o» obtiendra do.. „i , ( rfa.-i

On a donc les équations

-j— = 0, — - — — vq(i.„ = 0, — ^— (y/ — 1 )r/«„i — ?//>«„ = 0 etc.

as flx iix

^ - Iqa^ — 5pa^ = 0, -^ — r/«, — 2p«, == 0, f/ + jm^ = 0. '• '

Voilà n -\- 2 équations, mais comme le nombre des quantités inconnues n'est que ?^ -j- 1 , il restera après Télimination de celles-ci, entre petq une équation de condition qui par conséquent doit avoir lieu pour que le facteur puisse avoir la forme supposée.

En intégrant on aura «„ = c, «,.! =: nfa„qdx, o.,,^^ = (« — 1 )/^,-l • qdx -f. nfu„pflx,

«„3 = {n — 2) .Ji'n^qdx + (>/ — \)fun-iVdx, . . . a„y = („—p-\-l}fa„^j,+^qdx -|- {?i —j) -f 2)fa,^p^^pdx, . . . «j = 2fc(^qdx -\- Sfu^pdx, a z=Ja^qdx -\- 2f('.^pdx, q -\- pu^ = 0, ou bien «„ = c, «„j = nrfqdx, «„^ = n{n — lyfqdxfqdx + iirjpdx,

a„^z=ti{n — l)(w — Tjcfqdxfqdxfqdx -\- n{n — 2)cfpdxfqdx-\-ii{i/ — \)ifpdxfqdx

Soit par exemple n = 3, on aura «3 = c, «^ = Srjqdx u^ = Qrjqdxftidx -|- Scfpdx, a = Qcfqdxfqdxjqdx -|- Qrfpdxfqdx. L'équation de condition deviendra donc

q -j- 6cpfqdxfqdx -j- Srpfpdx = 0.

dru d^

1 dr ~dx '^^'~dx dr S

Soit r r=z . — - on a — — — ; — ^ ,, , , — , „ ^o ;

o. + ^y' dx {'3. + M- <iy {^ + ?'y)-

oa aura donc

/ rfo^ d^ \

~y\dx ^ dx '^y . ^(p + qy) 0

et de là en réduisant

,f (^ + fq) + y{^- H + 2«PV) + «^!/ - PV^ = 0 :

donc -^ + ii'q = 0, -^ — (iq + 2^?q = 0, u^q — C'P = 0 :

Jonc ,= ^, " = n^). ^=il/(^)-"(^s)^

et par suite

y \ ;j J' KtifiidxJ fadx ~ t \i,rudx/' fadx

Si l'on fait q z= — -r^.— , "» aura

^4.JL—2u -^ — 0 dx ~ [idx Pf/x '

d'où l'on tire successivement

L'équation y,hf -\- [{jj^^ + ^J'ï/O'^"-' + */.'/] ^^•^' = 0

deviendra donc intégTal)le en la niulUpliant par le facteur e^"'"''* , où u -j- (iy

(fgdx)- - fqdx Faisant ^ = 1 on aura

dx z= 0,

et le facteur deviendra fi (''+'')' Si « = 0 et r = a, on a

et !e facteur sera t'-'"' ^ •

Supposons maintenant r = a \os:(u -\- ^]y), on aura

da. di

n 1- «Il -

dr

dx par conséquent

drt

dx dx

dx " dx

rt + ^y

dr a^ dy rt+^y

ip+9y)--~^ — fi = o,

cc + ^y { ^'^ ' ^^' 'x. + ^y

et en réduisant