Tome second. ol

donc ~'=0, a~ — a(ïq — pq=zO, apP + «<y = 0;

ax dx

donc

^,, , i^ J,jda:, acp + i^ .ry/^^^=0, et /, = - -^^ y//./:r.

L'équation deviendra donc

y% — ( "^. '^ifl'^^ — 11/ /^^' = Oj et le facteur

Soit ^ = 1, on aura

ydy — (^ (^ + 6) — y)^/.î^ = 0 et le facteur (-^^^ (*• + *) + y)" ;

mais l'équatiou étant homogène la résolution n'en présente aucune difficulté.

Soit ensuite r = a log(y + ") + '^'' ^QSty + "') 5

a. —r- a' ■ —7— , dr dx , dx dr a , a'

donc en réduisant

f/.r «/4-a »/ + a' ' ^/(/ y+OLy+a.'^

d'y. , dt' s

y + iy,~y+a.'i ^' ^ '-^'yy+a. ' i^+a'/ ^-

— p{(H'.' -\- (l'a) — qicc' = 0.

On aura donc les trois équations suivantes

no' . -^ + «■« ."f (o + «> — <,(««■ + «■,< + .< + „') = 0,

dx (IX

]f{au' -\- ii'i') -j- qc.n' ■= 0.

La première équation donne

au -\- a' a' = {fi + a' -\- \)fqdx;

(a + a' + \) fqdx — aa / 1 1 ^ + « \ r / «

donc «' = i ^ = {i + ^r)M^- - ^ • «•

Eu substituant cette valeur dans la seconde et la troisième équation ou obtiendra

[(" + «T (1 + ^))Mr - Ç"]^ + '<((«' + « + 1)'/ - « è) - («+«')/'

- (« + .,');> - '/(('^ + 1) + ^^^^)fqdx = 0, et

Soit « -f- o' = 0 ou «' = — a, on aura -^/^./.f + ../ - {;^)qfqd.v = 0, donc -g- + « ■ ;^ -(-^)5' = »'

et en intégrant

« = -^ . /~f^f/^ qdx ; or /:i$l = los( fqâx) ; donc . = (» + l)-/(/?^-r)?^/x

c'est-à-dire

a./çf/a- 'la J ^ ^ ~^ fqdx '

OU bien a = ^(l + l.)Mv + -^ ,

maintenant on a

'^ an' + a'a. 4fqdx IK-^ ^ ' fqdx y «2 V / -' y

11 suit de là que l'équation

devient intégralile en la multipliant par le facteur

Faisant (7 = 1, i'éqiiation deviendra

et le facteur

Soit enfin r — « + iiy + « log (^ + y), on aura

rfj rfx "'^^ rfj- ^ («/ + ï)rf-ï" ' «^^ 2^ + 7

et en réduisant

On tire de là ,-^ = r, a = ijqdx; «• -^ — «'/ — «7> = 0, />(« + <■;)+ 9^= 0.

Tjniip -^=«-1-—. w, y = ^^^ — En supposant «== 1, on aura

-Il = v + ep : mais q-\- cp = — ^ ; donc --I =— i^ , ou yrf/ = — /></;r, di T ""^ Y

d'où y^ = A" — 2//>f/.r, et y = y{k — 2fpdx); mais >- =^fqdx + ^;//></.f: donc ,^,V(i:^MïAi,^ „„ k„„ , = ,,,__JL, et ,1e là

En substituant ces valeurs on aura

ydy + [v - .y('7> + vô^z^z;)-)]^'^ = «,

où le facteur est

Si l'on fait /* = 1, on a

et le facteur

{y + V{k — 2.1-)) .e'î'-«''+''v' (*-**), et en faisant c z=. k = Q, on a

et le facteur

Détermination d'une fonction au moyen d'ime équation qui ne contient qu'une

seule variable.

ija fonction fx étant donnée, trouver la fonction (fx par l'équation

(fX-\-\=i (f{fx).

Soit X = '^)y et fx ^= ^{y -j- l)? on aura

- ^ + ^^y = ffHy + ^);

ou bien f^{y "h 1) — ?'^7/ = 1 ;

c'est-à-dire ^^^'^y = 1 ;

donc en intégrant (f^iy ■=y -\- yy,

où yy signifie une fonction périodique quelconque de y, de sorte que

Maintenant ify = x, d'où l'on tire y = '\px, et par conséquent

q,x = 'ii'X-\-xi'^^) (*)

Il S'agit maintenant de trouver la fonction 'if'x. Cela se fait comme suit. On a X = ^y et fx = vi{y -{- 1) ; donc

Voilà une équation aux différences finies, d'où l'on tire y-iy, et cette fonction étant connue, on a

X = '^l'y et de là y = 'if'x.

De ce qui précède, on voit que le pro])lèine est toujours résoluble, et qu'il a même une infinité de solutions.

Supposons par exemple fv = .r", l'équation (2) deviendra

^'(2/ + 1) = {xpy)".

En mettant ici successivement y -^ 1, y -\- 2, etc. à la place de y, on aura

■ n'iy + ^) = (Hiy + i))" = in)""'

et en général V'(y + •»•) = (V^)"'-

Faisant 1/ =zO et t^'(O) = a, on a

<^vr = «"', et par suite ipy = a"' ;

or n'i/ = x; donc o"' = .r, et de là n^ = '"^-^ ,

logn

et 7/ ^:: loglogJ — loglog» .

■^ log « '

donc '^'0!= loglog^-log'og« .

log n

L'équation (1) deviendra doue

„y. log log j — log log fl . / log log X— log log g \

^' logra '^ ^\ log7^ /'

qui est la fonction cherchée.

Si l'on met x" au lieu de x, on aura

q(x^) = *°g *"g •^" ~ '"g '"g « I . /log log J" — log log a\ log« ^V log« /

__ log n + log log X — log log a , / log n + log log x — log log a \ log w V log H / 1 i log log X — log log « t /, , log logx— log logo \ . .

La fonction a donc la propriété demandée. Le cas le plus simple est celui

où x^=0 et fl :=! e, !og<? étant = 1; on aura donc

. __ 'ogl»g-r gj 'og'ogJ 1 J __ log log J" log« logn "*" logw

Considérons en général l'équation

F{x,,f(fx\(f{^i'x)) = 0, où F, f et U' sont des fonctions données, et où l'on cherche la fonction (f. Soit fx = y, et ux = y,+^ , l'équation devient

P{^, fP^t, (fy.+i) = 0.

Soit (fyt = iu, on aura (fy,^^^ t(,^^, et par conséquent

F{x, Ut, Ut+^^Q.

De l'équation fx = yt on trouve .r = '/y,; donc en substituant cette valeur dans léquation it.r = î/,^^ , on obtient

l/'+i = H'fy>) (I)

De cette équation on tire yt et par conséquent aussi x = 'fi/, en fonction de t. Cette valeur étaut substituée dans l'équation F{x, ?/,, w,^j) = 0, donne

Fi'fyt, n„ M,+i) = 0 . . . . • (2)

De cette équation on tire u, = U = <f{yt)- Faisant y, = z, on trouvera t-='y:,\ donc enfin

Exemple. Trouver la fonction y déterminée par l'équation

{ifxf = (f{2x) + 2.

Soit (fx = u, = (Fy, et (p{2x) = u,j^i = (fiy,+i), on aura

On en tire u,+^ = u^ — 2.

Supposons ti^=za -\-

donc «„ = «^ H ^

et en général n, = «'*''-] — ■

Ayant xz=y^ et 2j;=2^,+i, on a y,+j = 2y,, d'où l'on tire

donc 2'-» = - •

Cette valeur étant substituée dans l'équation

donne 9)0; = a ' + « ' = (« V +(" / '

ou bien (fx=¥ -^ b^.

Donc (6-+è-f = 6^ + 6-'- + 2.

Note .sur la fonction

Ëj;i fonction i/(a:) ^x-\-~-\- |i4-...-|-f!.-f-... jouit de plusieurs propriétés remarquables, que je vais déduire dans cette note. On trouve quelquesunes de ces propriétés dans Legendre exerc. de cale. int. Toni. I pa»-. 244 et suiv. Les autres, si je ne me trompe, sont nouvelles. Comme la série

•^" + -^F + "â^ + ■ • • n PiSt convergente que lorsque x ne surpasse pas l'unité, il s'ensuit que la fonction 'ip{x) n'a de valeur que pour les x compris entre les limites — 1 et -f 1. Pour toute autre valeur de x, la fonction n'existe pas, parce qu'elle est exprimée par une série divergente. Nous supposons donc toujours x compris entre les limites — 1 et -|-1- Eu ditTérentiant on obtient

c'est-à-dire dxvx == — log (1 — .r):

donc if'.r = — /fL.log(l — x) (|)

l'intégrale étant prise depuis x ■=. 0.

De cette expression de i,i'.r il est facile de déduire les propriétés de cette fonction.

En mettant 1 — :r au lieu de x, on obtient

et par suite i/.r -|- i! (1 — x) = — / (— log(l — x) — ^ ^ogxj ; donc MX + 1^(1 — x) = C — log X. log(l — .r).