Tome second
Si l'on fait ici a: = 0, log:r.log(l — .r) disparaît, et ou a
mais ^(1)=1+ J^-+ ^^ + J^ + ...= i^ (2)
On en conclut
t^.;r+ ^.(1— .^■) = ^ — Iog.r.Iog(l — J7) (.">)
Cette formule donne la valeur de la fonction nKV pour toutes les valeurs de X comprises entre ^ et 1, lorsqu'on connaît la valeur de la fonction pour les X qui sont compris entre 0 et i. Lorsque .v = ^, cette formule donne
^ih) = ^ - lO^s 2r (4)
Si dans l'expression de if-'x on met — .v au lieu de x, on obtient
V'(— •^•) = — -^ + 25- — 3^ + 4^ — *'**^donc i/.'(.r) + ni— x) = ^ (.r'^ + |1 -j- |!. -| . . .^ :
c'est-à-dire, puisque
t|ir)+V'(-.r) = lv(.r^) • • • G^)
Cette formule donne la fonction \px pour les valeurs négatives de x, lorsqu'on connaît la fonction pour les valeurs positives de la variable. Dans le cas particulier oii l'on fait x = 1, on obtient
c'est-à-dire
ce qui est connu.
Si dans l'équation (1) au lieu de x on met — — -- , il viendra
* (.^)=A~ - ^)'°^(' +-^=f^ log(l + ,,,/^lo„.+l). Or on a évidemment
y^ log(l + .r) = — iJ.(— x)
et f^ . log(l -f X) = i(log(l + x)y :
donc, cil remarquant que la eonstaute arbitraire due à l'intégration est zéro,
En éliminant la quantité 1/ ( — .1) des équatious (o) et (7) on obtiendra la suivante
rix) = Klojid + .r))^ + ^xpix^-) + <i{^) (8)
Par cette formule on peut exprimer une fonction donnée i;ix par d'autres fonctions dans lesquelles la variable est aussi petite qu'on voudra. Car lorsque X est positif et moindre que l'unité, on a .r'^ < x et < x. Si l'on
fait par exemple .r = ^ et .r = 1, la formule donne
^■a)=èaogir + iv'(i)4-f(^)-
En combinant ces deux équations avec celle-ci
-g-=^(ioo;2r + v'a),
on trouvera t(,(^) = -^ 1.(10-3)^ -f ^V(i)
ra) = |^+2log2.1og3-2(log2)^ — fOogSr — l.f'(^).
De cette manière les fonctions n{^) et y{^) sont exprimées par des quantités connues et la fonction V'(^). Si dans l'équation (8) on fait ;r = ^ on obtient
etc.
Toutes les formules démontrées ci-dessus se trouvent dans l'ouvrage cité de IMr. Legendre. Elles ne contiennent, comme on voit, qu'une seule quantité arbitraire. Je vais maintenant démontrer quelques autres qui contiennent deux quantités indépendantes entre elles, et desquelles les formules précédentes doivent être considérées comme des cas particuliers.
Si dans l'équation.
;x =: — /-^ log(l — x)
on met — — ^ — à la place de .r, on aura, en considérant // comme
nt:
constant :
c'est-à-dire
Toutes les intégrales du second membre de cette équation peuvent s'exprimer par la fonction ip. En effet, on a
/-f ■'»<'- Tir)— ''fc)>
fJ^Mf(l-y) =-niy);
HT^-TêF) = <ï^)-'''*-">S<*-">-'°«('-*'-/l^-'»»('-i^)-
Soit == z ou, ce qui revient au niéme, 1 — y ^ — , ihi ^ — -^ , on aura
donc l'équation ci-dessus donnera
Pour déterminer la constante arbitraire, soit ^ = 0, et l'on aura C ^ — "•/'(«)• On aura par conséquent en écrivant x au lieu de a:
^ ("1=^ • 1=^)= '''(li^) + V'(-p^)— Vy— V^— Iog(l— y) . log(l— a;) (9) Dans cette formule x et y doivent avoir de telles valeurs que les quantités \-Y— — •• Y"^ — ) 1 -^ — 5 7— — ' Vi ^' "^ surpassent pas l'unité. C'est ce
qui aura lieu lorsque x et y sont positifs, si ar-}-7/<l. Si y est négatif = — m, on doit avoir x -\- nK i; et si x et y sont tous deux négatifs, il suffit qu'aucune de ces quantités ne surpasse l'unité.
ExI rails de quelques lettres de l'auteur à Mr. Crellc.
I^i une ('quatioii du cinquième degré dont les coeiTiciens sont des nombres raliouitels, est résoluble algébriquciuciii, on peut donner aux racines la forme suivante :
x^c-\-A. a^.a\. «* . «^ + A^ . a\ . a| . «* . «* + J^. «| . o* . a*. «^ + ^3 . «* . «*. a^.a^, où a = m + nV{i + e') + V[h{\ + e' + K(l + .>"-))],
a, = m - nV{i + e') + l/[/.(l + e'- - |/(1 + ''•^))] , a, = «^ + uV{l + .'■^) ]/[/,(! + e"^ + K(l + e'))] ,
A ==K+K'a + A"V/., + A'"'«ff.„ J^ = A + A^ + A'X + A'"'"i«3 ^2 = Ar+ A'fl., + A'"rt + A'"V/«.,, ^3 = A^+ A'V/3 + A'V/i + A"'«i«3. Les quantités e, h, e, m, n, K, K', K", K'" sont des nombres rationnels.
Mais de cette manière l'équation .r* -(- ax -[- ^' = 0 n'est pas résoluble, tant que o et 6 sont des quantités quelconques. J'ai trouvé de pareils théorèmes pour les équations du 7'^"'', 11'""'", l.'î''™'' etc. degré. Friberg le 14 mars 1826.
Une propriété générale des fonctions dont la diiïérentielle est algébrique, consiste en ce que la somme d'un nombre quelconque de fonctions peut être exprimée par un nombre déterminé des mêmes fonctions. Savoir:
^{^1) + «^(-^î) + <;p(^3) + • • • + (f{^v) = r — (a (.-1) + (p{z^) + «^(23) + • • • + <;?(-"))• .Tj, x^,...x^ sont des quantités quelconques, z^, z.^, . . . z„ des fonctions algébriques de ces quantités, et v une fonction algébrique-logarithmique des mêmes
quantités, n est un nombre déterminé in(lé|ienilunt de /(. Si j)ar exemple <f est une fonction elliptique, on a, comme on sait, /?=1. Si la foncticni n'est pas elliptique, on n'en connaît jusqu'à présent aucune propriété. Comme un des cas les plus remarquables je vais rapporter le suivant: En désignant la fonction
(a + ^) . dx
par ifx, on a
où .r , .r , .Tj, sont trois quantités variables indépendantes, C une constante et ^j, y^ les deux racines de l'équation
■^ V 2c — «5 ' ^ sy^ 1 2c2— a. Les quantités f, Cj, c^ sont déterminées par les trois équations linéaires: c + c^X^ + c,^x\ + o:^ = ]/(« + «,.*•, + «.■< + «3-^1 + • • • + «0^:) ,. + c^;^^^ | c^xl + < = Y {a + «^.r^ + «,a;^ + + ««O
c + c^x^ + f.^.r^- + ^^ = ]/(« + «,^3 + «.-^1 + -^ + «Ta^D-
Toute la tbéorie de la fonction ^ est comprise dans l'équation (l), car la propriété exprimée par cette équation suffit, comme on peut démontrer, pour la détermination complète de cette fonction- Paris le 9 aotU 1820. «
J'ai trouvé la somme de la série suivante
^ l + « ' ^ 1+rt-* ' '^ 1 + rt* '
OÙ a et (/) sont des quantités réelles quelconques. Elle peut s'exprimer par des fonctions elliptiiiues.
Christiania, le 15 novembre 1827.
Théorèmes sur les éqiiaf ions.
A. Soient x^,x^,...x„ des quantités inconnues quelconques et (^{x^, x^...x„) une fonction entière de ces quantités du degré m, m étant un nombre premier quelconque; si l'on suppose entre x^, x^, . . . x„ les n équations suivantes:
<fp\, -^4' • • ■•'■'o -i',. r.^) = 0,
(f{.r,„ a\, .r.^, . . . x„^) = 0, ou en pourra ^énéi-alemciit éliniiaer ?^ — 1 quautités, et une quelconque x sera déterminée à l'aide d'une équation du degré m". Il est clair que le premier membre de cette équation sera divisible par la fonction (p{x, x, x, . . . x) qui est du degré «/. On aura donc luu! équation en x du degré m" — ?«.
^ , ... . . 1 . Il tii" — fn .
Cela pose, je dis que cette équation sera deconiposable en etpia-
tions, chacune du degré w, et dont les coefliciens sont déterminés à l'aide d'une équation du degré "' ~"' . En supposant connues les racines de cette équa-
tion, les équations du degré n seront résolubles <tly(''hriqiiemeiit.
Par exemple si l'on suppose it = 2, m = 3, on aura une équation eu x du degré 3' — 3 ^ 6. Cette équation du sixième degré sera résoluble algébri([uement, car en vertu du théorème, on pourra la décomposer en trois équations du second degré. Pareillement si Ion cherche les valeurs inégales de Xj, x^, .Tj propres à satisfaire aux équations
« + ôj-, + cx,^ a + bx., + ex.? a + bx„ + cx^
on aura pour déterminer x^, x.^, x^ une équation du sixième degré, mais elle sera deconiposable en deux équations du troisième degré, les coefficiens de ces équations étant déterminés par une équation du second degré.
B. Si trois racines d'une équation quelcouqiie irréductible dont le degré est un nombre premier, sont liées entre elles de sorte que l'une de ces racines peut être exprimée rationnellement j)ar les deux autres, l'équation en question sera toujours résoluble à laide de radicaux.
C. Si deux racines d'une équation irréductible dont le degré est un nombre premier, ont entre elles un rapport tel qu'on peut exprimer une des deux racines rationnellement par l'autre, cette équation sera toujours résoluble à laide de radicaux.
Christiania, le 18 octobre 1828.
Lettre de l'auteur à Mr. Legevdre.
ijMonsieur. La lettre que Vous avez bieu voulu m'adresser en date du 2j octobre m'a causé la plus vive joie. Je compte parmi les momens les plus heureux de ma vie celui où j'ai vu mes essais mériter l'attention de l'un des plus grands géomètres de notre siècle. Cela a porté au plus haut degré mon zèle pour mes études. Je les continuerai avec ardeur, mais si je serai assez heureux pour faire quelques découvertes, je les attribuerai à Vous plutôt qu'à moi, car certainement je n'aurais rien fait sans avoir été guidé par Vos lumières.
J'accepte avec reconnaissance l'exemplaire de Votre traité des fonctions elliptiques que Vous voulez bien ni'oiîrir.
Je m'empresserai de Vous donner les éclaircissements que Vous m'avez
fait l'honneur de me demander. Lorsque je dis que le nombre de tranforma-
tions différentes correspondantes à un nombre premier n est 6(h + 1), j'entends
par cela qu'on ])eut trouver Q{ti -f- 1) valeurs différentes pour le module <•', en
supposant l'équation différentielle
dy dx
t/[(i-3/^)(i-c'-V)] ~'' A/Ki-^-^Xi-t^^^'^)] et en mettant pour y une fonction rationnelle de la forme :
C'est ce qui a en effet lieu; mais- parmi les valeurs de c' il y eu aura n -\- 1
qui répondent à la forme suivante de y.
y 1 + B.^x"^ + B^x* + ... + 5,,-iJr"-^
Ce sont ces ?/ -f 1 modules dont parle M. Jacobi. Us sont en effet racines
d'une même équation du degré n-\-l. Ces n -\- \ valeurs étant supposées
connues, il est facile d'avoir les 5{n-\- 1) autres.
En effet, en désignant par c' un quelconque des modules, on aura encore ceux-ci :
c' ' Vl+V'c'/' VI — v/c/' Vl+^z — c'/' Vl — v/— c'/' auxquelles répondent les valeurs suivantes de y:
^' 1— /c' ■ l+?^Vc' ' l + /c' ■ l^ly'^/c' ' 1— v/— c' ■ IZp^'^/— c' ' 1— V' — ç' 1 +y'\/—c'
ce qui est facile à vérifier, en faisant la substitution dans l'équation différentielle.
Toutes les 6(« -f- 1) valeuis du module c' sont différentes entre elles, exepté pour quelques valeurs particulières de c. Dans ce qui précède, n est supposé impair et plus grand que l'unité. Si tt est égal à deux, c' aura encore 6(w + 1) = 18 valeurs différentes. De ces 18 valeurs il y aura six, qui répondent à une valeur de y de la forme:
a H- ôx^
•^ a' + b'j:'^ ils sont :
g, ^ 1±JL l + t/(l-c^) c+t/(c^-l)
1+c' l + ^(l-fi) ' c+v(c2 — ])■
Il y en aura quatre qui répondent à une valeur de y de la forme y = y — ,
savoir :
Enfin pour les huit autres modules, y aura la forme:
-1 + Bx + Cs^ A—Bx+ Cx2 ■ Ces huit modules seront
Vl+cip v^(2/+c)/ ■
J'ai donné des développements plus étendus sur cet objet dans un mémoire imprimé dans le cahier 4. tome III. du journal de Mr. Crelle"). Peut-être vous en aurez déjà connaissance.
Les fonctions elliptiques jouissent d'une certaine propriété bien remarquable et que je crois nouvelle. Savoir si l'on fait pour abréger:
*) Le mémoire XVII*""* Tome I de cette e'dition. Tome second. 33
x'^-dx
on aura toujours:
°o(-^i) + ^0(^2) + • • • + C5o(*V) =*-'+/'' où // est uue quantité ali^ébrique, et
„(..) + «(..,) + . . . + /7(.v) = C- ^ '««(f^^) • si l'on suppose les varial)les x^, x^, . . . x^^ liées entre elles de la manière à satisfaire à une équation de la forme:
(^fa;f-(cfx)\{l-x'){l-e\z-) = A.ix''-xl){x^-xl)...ix^-xiy, fx et q)X étant deux fonctions entières quelconques de l'indéterminée x, mais dont l'une est paire l'autre impaire. Celte propriété me parait d'autant plus remarquable qu'elle appartiendra à toute fonction transcendente
/ax , en supposant (Aa)^ fonction entière quelconque de (1
dx
x"^. J'en ai donné la démonstration dans un petit mémoire inséré dans le cahier 4. du tome 111. du journal de Mr. Crelle'% Vous verrez que rien n'est plus simple que d'établir cette propriété générîile. Elle m'a été fort utile dans mes recherches sur les fonctions elliptiques. En effet j'ai fondé sur elle toute la théorie de ces fonctions. Les circonstances ne me permettent point de publier un ouvrage de quelque étendue que j'ai composé depuis peu, car ici je ne trouverai personne qui fera l'imprimer à ses Irais. C'est pourquoi j'en ai fait un extrait, qui paraîtra dans le journal de Mr. Crelle""). La premièie partie, dans laquelle j'ai considéré les fonctions elliptiques en général, doit paraître dans le cahier prochain. 11 me serait infiniment intéressant de savoir votre jugement sur ma méthode. Je me suis surtout attaché à donner de la généralité à mes recherches. Je ne sais si j'ai pu y réussir. La seconde partie qui suivra incessament la première, traitera principalement les fonctions avec des modules réels et moindres que l'unité. Cest surtout la fonction inverse de la
♦) Le mémoire XV^"* Tome I de cette e'dition. »♦) Le mémoire XXP""* T. 1 «1. c. éd.
première espèce qui est l'objet de mes reclierclies dans cette seconde partie. Cette fonction, dont j'ai démontré quelques unes des propriétés les plus simples dans mes recherches sur les l'onctions elliptiques, est généralement d'un usage infini dans cette théorie. Elle facilite à un degré inespéré la théorie de la transformation. Un premier essai sur cet objet est contenu dans le mémoire inséré dans le No. 15N. du journal de Mr. Schiimnvht'r% mais actuellement je puis rendre cette théorie beaucoup plus simple.
La théorie des fonctions elliptiques ma conduil à considérer deux nouvelles fonctions qui jouissent de plusieurs propriétés remarqu;il»les. Si l'on fait
"J dy
ou X :
A(.r) sera la fonction inverse de la première espèce. J'ai trouvé qu'on peut développer cette fonction de la manière suivante:
1 + B^x* + «3 x« + «^.r» + . . . ' OÙ le numérateur et le dénominateur sont des séries toujours convergentes quelles que soient les valeurs de la variable x et du module c, réelles ou imaginaires. Les coefficiens A^, A^, . . . B^, B^, . . . sont des fonctions entières de c'-. Si l'on fait
(^x = .*• + ^i-r' + A^x^ + . . . , fx = l+B,x*+B,x'-\-..., où (px et f'x sont les deux fonctions en question, elles auront la propriété exprimée par les deux équations:
<f(x -]-y).(f{x — y) = {(fx. fyf — {cfy . fxf :
n^ + y).f{x-y) = {fx.fyf - c^icpx.<pyr, X et y étant des quantités quelconques. On pourra représenter ces fonctions de beaucoup de manières. Par exemple on a:
(f(x ^^=A.e"\smx.{l—2cos2x.q^+q*){l—2cos2x.q*-{-q^)(i—2cos2x.q^-{-q^'^)..., <f Çr -^)r=^'.e''''(e'— P-) (1— />^e*')(l— ;>*.e-^)(l— ;>«.e'^)(l— ^*.e-«')..., f(x ^^=B.e'"'\l — 2coii2x.q-\-q-)(l — 2cos2x.q^-\-q^)..., f(x ~^=B'.e-''{l ^,.p-2-)(l —p.e^){l —p\e-'^){i — pKe^')...,
*) Le mémoire XIII^""^ T. I d. c. éd.
OU
A, A', B, B', a, a' sont des quantités indépendantes de .r, y = e " ,
.^ __ ^ o ^ . iL et — enfin sont fonctions complètes correspondantes aux modules 6 = K(1 -C") et c.
Outre les fonctions elliptiques il y a deux autres branches de l'analyse, dont je me suis beaucoup occupé, savoir la tliéorie de l'intégration des formules différentielles algébriques et la théorie des équations. A l'aide d'une méthode particulière j'ai trouvé beaucoup de résultats nouveaux, qui surtout jouissent d'une très grande généralité. Je suis parti du problème suivant de la théorie de l'intégration:
"Etant proposé un noml>re quelconque d'intégrales Jydx,Jij^dx,Jy^dx etc , o» y» y\-> Z/"' • • • *^"*^ ^^'^ fonctions algébriques quelconques de x, trouver toutes les relations possibles entre elles qui pourront s'exprimer par des fonctions algébriques et logarithmiques."
J'ai trouvé d'abord qu'une relation quelconque doit avoir la forme suivante :
Afydx+Ajy,dx-{-Ajy^dx+ . . . =// + />'. \o»r^ + B^\o^v^-\- ..., où A, A,, A^,...B^, B^,... etc. sont des constantes, et m, z\, r\, . . . des fonctions algébriques de x. Ce théorème facilite extrêmement la solution du problème; mais le plus important est le suivant:
"Si une intégrale fydx, où y est lié à x par une équation algébrique quelconque, peut être exprimée d'une manière quelconque explicitement ou implicitement à l'aide de fonctions algébriques et logarithmiques, on pourra toujours supposer:
fydx = u -f J, log i\ + A^ log Va + . . . + ^m log ?',„, où ^1, A^,... sont des constantes, et u, i\, i\, . . . r.» des fondions rationnelles de X et yT
P fx si « — '' où 7* et /2 sont des fonctions rationnelles, on aura
dans tous les cas oùj^-^ est intégrable:
nii n n n fi o . . . sout dcs fouctious rationnelles de x.
tlU p, //j, //jj • • • '715 72 3 •
J'ai réduit de cette manière au plus petit nom!)re possible les fonctions transcendantes contenues dans l'expression:
/rd
rdx
où R est une fonction entière, et r une fonction rationnelle. J'ai découvert «le même des propriétés s^énérales de ces fonctions. Savoir:
Soient /;<,, p^, p„, . . ./*„! des fonctions entières quelcontjues dune quantité indéterminée .r, et regardons les coefficiens des puissances de x dans ces fonctions comme des variables. Soient de même «*', «*, lî^, . . . «"■-' les racines de l'équation «"' = 1, m étant premier ou non, et faisons:
.Vfc = p^^ -(- a'-p^R"' -f c'^'-fK^R"' j . . . j «("-»)*ft •» .
Cela posé, en formant le produit:
Sq.S^.S.^ , , , S^^ I r ,
F sera comme vous voyez une fonction entière de .r. Maintenant si Ion désigne par .i\, .fj, . . . .r^ les racines de léquatiou V=0, la fonction transcen dante
(x —a)R^ OU — < 1, et a une quantité quelconque, aura la propriété suivante:
u(.r,) + .'•(.r^) + . . . + ?(^(.) = C+ -L (log(*'„) 4- a" log(*',) + «-'■log(*'„) + . . . -f «""-'>' log(*',„,)),
C étant une constante, et
les valeurs, que prendront respectivement les fonctions
en écrivant simplement a au lieu de a^.
Rien n'est plus facile que la démonstration de ce théorème. Je le ilonnerai dans un de mes mémoires prochains dans le journal de Mr. Crelle. \]n corollaire hien remarquable du théorème précédent est le suivant.
Si l'on fait xs{x) = / 1^ ^ où ?• est une fonction quelconque entièi'e de J R^ X, dont le degré est moindre que — .v — 1, où v est le degré de R, la fonc-
tion is{x) est (elle que
0(0;,) + ts(.r^) + . . . + C3(.r^) = coust. Si par exemple m =2, n=zî, j/ = 4, on aura 7- = 1, donc
/'dx — et ra(:rj + m{x^) + . . . + a(.xv) = C.
C'est le cas des fonctions elliptiques de la première espèce.
Les belles applications que vous avez donné des fonctions elliptiques à l'intégration des formules différentielles, m'ont engagé à considérer un problème très général à cet égard, savoir:
Exprimer, s'il est possible, une intégrale de la forme fydx, où y est une fonction algébrique quelconque pai- des fonctions algébriques, logaritlimiques et elliptiques de la manière suivante:
fydx — fonct. algéb. de {x, log v^ , log v^, log v^,... n^{z^), n^{z^), n^iz^), . . .), î'i, Vj, v^, . . . z^, z^, ^3, . . . étant des fonctions algébriques de x les plus générales possibles, et /7^, /Zj, 7/3 etc. désignant des fonctions elliptiques quelconques en nombre fini. J'ai fait le premier pas vers la solution de ce problème, en démontrant le théorème suivant:
"S'il est possible d'exprimer y^</.r comme on vient de le dire, on pourra toujours donner à son expression la forme suivante:
fydx=t+J,\ost,-^A,lost,-\-...-\-B,n^iy,) + B,n,{y,)-\-B,n,{y,)-\-..., où t, ?j, t^, ■ ■ .yi, y^, y,, . . . sont toutes des fonctions rationnelles de x et y; mais en conservant à la fonction y toute sa généralité, j'ai été arrêté là par des difficultés qui surpassent mes forces et que je ne vaincrai jamais. Je me suis donc contenté de quelques cas particuliers, surtout de celui où y est de là
forme - , r et R étant deux fonctions rationnelles quelconques de x. Cela
est déjà très général. J'ai reconnu qu'on pourra mettre l'intégrale l-^-^- SOUS cette forme:
• • • + B,n,{y,)+B,n.j,y.,)Jrn,n,{y,)+ . . .
où toutes les quantités y^, y.^, y^, . . . p, p\ p'\ . . . sont des fonctions rationnelles de la variable a:."
J'ai démontré ce théorème dans le mémoire sur les fonctions elliptiques qui va être imprimé dans le journal de Mr. Crelle*). 11 m'a été extrêmement
*) Le dernier mémoire du tome 1 d. c. éd.
utile pour donner la i>;<^nérali(é la plus granile possible à In théorie de la transtormation. Savoir, j'ai no» seulement eoniparé entre elles deux fonctions, mais uu nombre quelconque d(; fonctions. Je suis conduit à ce résultat remarquable :
Si l'on a entre un nombre quelconque de fonctions elli[)tiques des trois espèces avec les modules c, r', r", c'", . . . une relation ({uelconque de la forme :
J/7(.r) + A'n,(x,) + AHUx.,) + A-n,{x,) + . . . + A("Hl.,{x„) = v, où oTj, .r^, x^, . . . .r„ sont des variables liées entre elles par un nombre quelconque d'équation algébriques, et v une expression al<!,ébrique et loi>arithniique: les modules c', c", c'",... doivent être tels qu'on puisse satisfaire aux équations:
dx , dx' ,, dx"
a" — =- TT- — —^etc.
en mettant pour x', x", x'", . . . des fonctions rationnelles de x; a', a", . • . étant des constantes. Ce théorème réduit la théorie générale des fonction elliptiques à celle de la transformation d'une fonction en une antre.
Ne soyez pas fâché, Monsieur, qm* jai osé vous présenter encore une fois quelques unes de mes découvertes. Si vous me permettrez de vous écrire, je désirerais bien de vous communiquer un bon nombre d'autres, tant sur les fonctions elliptiques et les fonctions plus générales, (pie sur la théorie des équations algébriques. J'ai été assez heureux de trouver une règle sûre à l'aide de laquelle on pourra reconnaître si une équation quelconque; proposée est résoluble a l'aide de radicuKX ou non. Un corollaire de ma théorie fait voir que généralement il est impossible de résoudre les équations supérieures au quatrième degré.
Agréez etc.
Christiania, le 25 novembre 1828.
Extraits de quelques lettres de l'auteur à l'éditeur.
Copenhague le 24 juin 1823 *).
tP ai clierché à démontrer l'impossibilité de l'équation
a" = 6» -f- f " en nombres entiers, lorsque vi est plus grand que 2, mais je ne suis parvenu qu'aux théorèmes suivants, qui sont assez-curieux.
T h é or è m e I.
L'écpiation o" = b" -\- c", où n est un nombre premier, est impossible,
lorsqu'une ou plusieurs des quantités a, b, c, n -\- b, a -\- r, b — c, ]/«, Yb,
Y^c sont des nombres premiers.
T h é or è m e 11.
Si on a «" = b" + <•",
chacune des quantités a, b, c sera toujours résoluble en deux facteurs, premiers entre eux, de manière qu'en posant a = u.a', b = ii.b', r = y.r', l'un des
S cas suivants aura lieu :
