Tome second

sin — L(l-f)-L(l + JÎ-) = -^ + 42\.sia*-^.arc tang """,

mais nous avons vu auparavant que L(i — — ^ — //fl + — ') = :/r.cot^- — ;

on a par conséquent

. 1:tz a-l , sin-

cot— — = 2 2. A- sin .arc tang

En substituant cette valeur dans l'expressiou trouvée ci-dessus pour ^(l + ^), on aura

4l+£) = ï-'«S'^-('«§2±log2)-|cot^+2S.cos^.log(2sin^^> et puisque Z (l + ^) = Z (^') + — , on a aussi,

\ 2rt / V 2a / w«

z(.^)=-log«-(log2 + log2)— ^cot-'"^+2S.cos^.log('2siniî)

En faisant ici successivement »i=2, 4, 6, 8 . . . 2(a — 1) et ajoutant, on obtiendra:

n- (cot H cot h cot -4- . . + cot -^^ — )

+ 2 log(2 sin^) S-.cos ?^ + 2 log (2sin |^) 27. cosi^ +2log (2 sing) S + . . . + 2 log (2 sin <î^) V,. cos ^(^I^)^ .

Or cot J^ + cot^ + . . . -Lcot i^:!!^ = 0, et S.cos ^^ = — 1, donc

^(ï)+ ^ (~) + ^(1) +■• +i C^) = -(»-l)l«g«-21»g (2.in^^) — 2log(2sin?î)— 2log(2sin|î^)... — 2Iog(âsm<î^)

6A-TC fcCOS —

donc

= — (a— l)loga— 2(a— l)log2— 2log (siu -A. . sin -|l. . .sin^""^^^V mais ( sm — — .sm--— . . . sm '■ , ' ) = -— — — , et on aura par suite

V 2rt la la / 220-2 ^

On peut encore trouver d'autres propriétés de la fonction L{pc) comme il suit. On a

mettant 1x au lieu de x, il vient

i(2.) = c-K4-+ir+^ + --)-K^+ir + ---)

or LK.) = C- (4-+ -1-+ ^ +■ .) et XCr+è) = ^- Ci^+ .4l+ • •)' ^«-

Pour déterminer C on fera o^'r^l, et on aura 0 = C'4-^^(j) or Z(^) = — 2 log 2, donc O = log 2 et

2Z(2.r) = 2log2 + Z(.r) + Z(x + ^) ., . . (F)

ou, en remarquant que //(l + 2.r) = Z/(2^)-j- — — et que Z(l+.r)=:Z(a-)4- — ,

2Z(l + 2.r) = 2log2 + /.(l+.r) + Z(^ + .r)

de plus, ayant L{\-\-a:)^=L{\-\-x) — , on aura

^(|+-r) = 2i>(l+2a:)-Z.(l+a:) + ^-2log2. Mettant 1 — a: à la place de x dans l'équation (F) on obtiendra 2L(2— 2ar)=2log2+Z.(l— ^)4-/.(|— ar), et à cause de L(\—x)=L{2—x)—:^

i>(| — a-) = 2 Z,(2 — 2j:) — Z(2 — a:) + ^ — 2 log 2. Cette formule facilite beaucoup le calcul de la fonction L{x). Si par

exemple on devait calculer la valeur de Z(l,498), on ferait 1,498 := | — x, et par suite .r— 0,002, 2 — 2.r=l,996 2— .r= 1,998.

Revenons à la formule: L{x) = C — ( 1 — -j- — - -]-•••)

Si l'on met nx au lieu de x, on aura:

H:nx) = C-{±+^ + ^ + ... + -^^)

\ n+)/s ii+l+nx n+2+nj; 'Àn-l + nx/

\'in+>ix 2«+l+HJ 2«+2+nj ' ' ' ~f~ ^n-\ + 7ix/

— etc.

ou bien

ix-^ — 1 + xH 2+j:+ — 1

n Or on a en général

Il n n

Pour déterminer C" faisons .r=0; il en résulte, à cause de /.(?/. 0)=- i.(0), ornons avons vu que— \j^\~)'^^'\')~^'''~^^\n/^^ log «,

donc

Posant donc successivement w = l, 2, 3, 4 etc. on aura

L{2x) = log 2 + ^{L{x) + L{x+^))

lA^x) = log 3 + ^ {L{x) + L{x + \) + L{x+f))

etc.

Les fonctions transcendantes 2! -^, 2J —fi 2! ^-y - • • 2^-^ exprimées par

des intégrales définies.

J^i l'on différentie successivement la fonction S — , on aura

da da

« __ ^«^ __ I 2^ JL

da"^ da^ ' «a

a Vb /

da^ da^

etc.

d"^ — 2rf" f— )

« Va/

lûï" da^ — «"+'

oii le signe + a lieu, lorsque n est pair, et le signe — lorsque n est impair. On en conclut réciproquement

rf2— , rf^'S— , t/^sl

«2 da ' '^ «* "*" 2.rfa2 ' «4 2.3da3

y 1 I a , rf"-'i^(«) .

c» — 1.2.3..(w-l)rfa"-i — 2.3...(«-l)rfa'»-i

Or nous avons trouvé que S — = /Aa)^g — dx.

On en tire donc en différentiant par rapport à a: da «/ o X — 1

■etc.

rf«2 —

rfa' «/ o .r — l

etc.

da"-^ •/ o X — 1

En substituant ces valeurs, on aura