Tome second. t

Pag. 205, 204. De l'équation

P'o -\-P'i^^+PV^ + • • • =^^0 + ^Pi«^ + • • • + w>.*^+ . . .

on tire en y substituant pour s'i^ sa valeur q^.sv-, en vertu du théorème I:

j donc en remettant s'^^ :

Si donc on fait ^^ = 1 et par suite p'^ = i, ce qu'on peut toujours faire (voy. tome I pag. 9 et iO), on aura

s' =z vv-s'.

* aura donc v valeurs différentes. Soient s^, s^, s^ . . .s^ ces valeurs. Soit de plus

*2*3 + *2*4 + • • • + .ÎM-l • *, = li^-3 '

on voit aisément que les quantités E^, R^, B^. . .R^^ sont des fonctions rationnelles de s et de quantités connues. Savoir ^^^-j-*,, R^^-\- sji^^, . . . s^Rç^ sont des fonctions symétriques de z^, z^, ^j . . . Zj^ , et par suite des fonctions rationnelles des coefficiens de l'équation proposée. Si l'on désigne par 9' une quelconque des quantités p^s, p^s . . . p^s et par q^, q^, qa, ■ ■ ■ q^ les * valeurs différentes que prendra ç» en y mettant pour s les valeurs s^ , s^ , *j . . . .v^ , si l'on fait de plus

9r< +qA + + q,s^ =a^ ) (B)

on voit que toutes les quantités a^, a^, a^...a.,^i sont symétriques eni^, z^, ^3 • • • 2|jL-i et par conséquent rationnelles en les quantités connues.

Les équations (B) donnent

En ajoutant et observant qu'en vertu des équations (A) on a

sr + R.-. .s^ + ^.-3 ....'- + ••• + «.^ + /^o = {s-sJ{s-s^Us-s,)

■vr + /?v-..*r-}- ^-y^^*^ + /^„ = o

on aura

On a donc q^ rationnel en s et en les quantités connues, tant que le dénominateur n'est pas égal à zéro. Or si s^ = s„, on aui-ait

donc extrayant la racine, mettant pour le premier membre sa valeur *i^, et dans le second membre au lieu de z^, 2.^, z^ . . . leurs valeurs, on aura — L 1.

+ etc.

donc 1 = 1-)- WjOj -|- w to'* •••-!- W|jL-i«'^~S

ce qui est impossible. 11 est donc impossible que s^ = s„, et par conséquent on a q^:=zp^s exprimé rationnellement en s et en les quantités connues. 11 suit de là que

JL — 1. t^-i

où p^, f^(s), f\{s) . . . f^^^{s) sont des fonctions rationnelles de * et de quantités connues.

Pag. 20S. Ayant

on a en divisant par sv-:

De cette équation on conclut que est un nombre entier, en remarquant

que les quantités Pa\ /*„ -* . ■ . Pi sont des fonctions rationnelles de * et de quantités connues.

m étant une racine primitive pour le module fi, les seules puissances de m qui divisées par ^i donnent le reste 1, sont de la forme »i(^î^~'^" où n est un

entier. Donc si est un nombre entier, on a ak=(fi — Ihi. Réci-

(ji

proquement si uk = (jn — 1))/, sera un entier. Si k est le moindre

nombre entier qui satisfasse à la condition — — — — é^al à un entier, k et n

léseront premiers entre eux dans l'équation ak:=:{^i — l)n. En effet si k = k'p,

nz=ti'p, on aurait ak'=:{^ — 1)«' et par là — — ^^ égal à un entier; mais

k' <.k et par suite k ne serait pas le moindre nombre entier satisfaisant à la

condition égal à un entier, ce qui est contre l'hypothèse. Donc n et

k sont premiers entre eux. Il suit de là que // — 1 est divisible par k. Soit

donc '^"7 = ,?, on a a = (^n.

Si toutes les racines de l'équation en s du degré i> ne sont pas comprises dans la série s, s^, s^, . . . *fc, , soit a = ^i^.*""" ^ une autre racine ; 0^=^0(^.0'"" en sera encore une. De ces deux équations on tire

OÙ «/j est rationnel en s.

Pag. 207. La première expression de z^ pag. 207 est une suite immédiate de la forme

en remarquîint que /li — 1 := va.

On sait que sj^ est de la forme f„{s).s h^ ; donc sy= ( /;.(*))»* . * 1^ ,

et de là /;(8) (*) .(/•„(*))-■»' . 5„i^ = /;(8)(jy) . S ^ = 9;g(*„) . ^,7", d'où l'on tire la seconde expression de z^ pag. 207.

Pag. 211. Si le degré de la fonction entière rp{x) est moindre que celui de la fonction entière /.(;r) ou a

Démonstration. Soit iivr = «^ -|- a^a; -\- «^x'^ -)-...-)- «„.r", on aura

donc

Or lorsque v<,u, on sait que ^^^ ( " j ^ 0. (Voy. la fonuule (28) p. 76). Donc

On aura par conséquent

<?(±Si + o,±.-- + M = ^'

C^est ce théorème que l'auteur a mentionné tom. I pag. 350.

Pag. 212. Ayant ,=£^-j!^, on aura

rfx ^T-^"'- -r 2.4" ~ 2.4.6 ~ ' 2.4.0. ..2h ~ '

donc en intégrant et remarquant que 9 s'évanouit en même temps que x:

, ^ fiil:5 f! ■ 1-3.5 jia . , 1.3.5... (27^—1) j-'"+^ ,

Cette équation fait voir qu'en désignant — -^ , lorsqu'on y fait x = 0, par ô/,''', on aura pour une valeur entière quelconque de n :

Maintenant

On voit par là que la fonction f/9 aura la forme

'^^ = ^+ 1.2.3.4.5 + T:y:r9- + ---+ 1.2.3.. .(4.^Ty + - ^«)

En développant la fonction y/t< . -^j suivant les puissances de « on obtiendra

^(«.|)=^ (- T^^l^- Y- XsV^; +•••+ 1.2.3. ..(2.^1) +•

, e2 ( TC 1 /5az\3, , ^ ^^"•^"" "V 2 / ,

etc.

Faisant 6==-—- dans l'équation («) ci-dessus et comparant les coefficiens des deux développements de (/i«.-^j, on trouvera les deux premières formules de !■ auteur. La troisième se trouve par un procédé semblable.

Puy. 224. y °°^'""'"- ^^^= ^ • ^*^-

Démonstration. On a

donc en multipliant par e~"''\r// et intégrant:

Je''-''\dt=ife--"-*\dt -\-fe-''''\tdt + ye-^"\t^dt -f . . .

Or r^^-\f-p^Kdt = 0 et /V""\^^^^=I:M:l-^4^fli^; donc /y.'.= .* = --^(l +^+i. ^+ ^. ^+ . . .);

c'est-à-dire f "e'-"''' . e/^ = -^ . f

Pag. 227. Voyez pag. 46.