II

Propriétés des fonctions algébriques, qui satisfont à une équation donnée.

Soit

Co + c{y-\ f^y' . . . + c-i2/'-' + 2^- = 0 1.

une étjuation quelconque du degré r, où c^, r^ . . . sont des fonctions rationnelles de .r', .r"..., ;r', x"... étant des (juantités indépendantes quelconques. Supposons, qu'on peut satisfaire à cette équation en mettant au lieu de y une fonction algébrique de x', x" . . . Soit

cette fonotion. En substituant cette expression de y dans l'équation proposée, on obtiendra, en vertu de ce qui précède, une expression de la forme

»V + r,p- 4- ■>\I>'' ■■■ + r„-xP " = 0 3.

oii ?•„ , î'i , ?'2 ? • • 5 ''"-1 sont des fonctions rationnelles des quantités /^, <ir„, <jr,...y„i. Or je dis, que l'équation (3) ne peut avoir lieu à moins qu'on n'ait séparément 7-<, = 0, ?-i = 0 . . . ?■„, = 0. En eflet dans le cas contraire, on aurait en posant ju" = z, les deux équations

r» — ii=^0, et

qui auraient une ou plusieurs racines communes. Soit k le nombre de ces racines, on peut, comme on sait, trouver une équation, qui a pour racines les k racines mentionnées, et dont les coefllciens sont des fonctions rationnelles de p, i'„, i\... r„^. Soit

s,-\-s,z + s^z-'...-\-s,,z''-' + z'' = 0 cette équation, et

un facteur de son premier membre, où f„, tj etc. sont des fonctions rationnelles de p, ?'o , î\ . . . r„j , on aura de même

'o + t,: + f,z- ... 4- t^.zV-^ + ^^ = 0, et il est clair, tpi'on peut supposer, qu'il est impossible de trouver une équation de la même forme d'un degré moins élevé. Cette équation a ses /<- racines communes avec réejuation c" — ;^ = 0. Or toutes les racines de l'équation ;" — p = 0, sont de la forme uz^ où a est une racine quelconque de l'unité. Donc en remartpant, que fi ne peut pas être moindre que 2, parce qu'il est impossible d'exprimer z en fonction rationnelle des quantités p^ ?•(,, 7\ . . . r„j, il s'ensuit, que deux équations de la forme

^o + f^^ + f.^ -■■ + fl>.-r^^' + ^^ = 0 ^i f. + <'t,Z + «%- . . . + a^-'t^-.Z^-' + a^Z^ = 0 doivent avoir lieu. De ces équations on tire en éliminant z^

ai - «>") + t,ia - aV-)z . . . + t^.,ia^-^- a.^)z^^ = 0. Mais cette écjuation étant du degré /t — 1, et l'écjuation z\>- -j- f\i.-iZ . . . = 0 étant irréductible et que par consécjuent t^ ne peut être égal à zéro, on doit avoir «!J- — 1 = 0, ce qui ne peut pas avoir lieu. On doit donc avoir

?- = 0, ?\=0... ?Vj = 0. ,^

Maintenant, ces équations ayant lieu, il est clair qu'on satisfera à l'équation pro-

posée en attribuant à ji" toutes les valeurs ap", u^p" . . . u"-^p'\ On voit aisé- // ment, que toutes ces valeurs de y seront différentes entre elles; car dans le cas contraire on auiait une équation de la même forme (jue (3), mais une telle équation conduit, comme on vient de voii-, à des contradictions.

En désignant donc par y^, y^---y,t les n racines de l'équation (1), on aura

De ces n équations on tirera sans peine

-Zo = ^ (î/i + Z/2 + + 2^")

On voit par là, que toutes les quantités /)", q^^, fit- ■ ■ 7""' î*o»t des fonctions rationnelles des racines de l'équation proposée. En effet on a

Considérons maintenant l'équation générale du degré m et supposons qu'elle soit résoluble algébriquement. Soit

En vertu de ce qui précède les quantités v, s^, s^ etc. peuvent s'exprimer

rationnellement en x^, .r^ . . . x„, en désignant par .Tj, x^ . . . x^ les racines de r équation proposée.

Considérons une de ces quantités quelconque v, ^„, s^ etc. par exemple r. Soient y.'i, v^...Vni les valeurs dift'érentes de v, qu'on trouve lorsqu'on échange entre elle les racines x^, x^...x„ de toutes les manières possibles, on peut donc former une équation du degré n'j dont les coeffîciens, sont des fonctions rationnelles de a^ a^ . . . «,„j et dont les racines sont les quantités i\, v^ . . . i\i qui sont des foutions rationnelles des quantités x■^, x^. . . x„,.

Donc si l'on pose

v = f^,-j- ir' + t^ii> . . . + ?v-iM V

toutes les quantités ii'> , t^, t^....t^^ seront des fonctions rationnelles de i\ , î'2 . . . . v„i , et par conséquent de x^, x^. . . . .r,„ . En traitant les quantités II, tf,, t^ etc. de la même manière oh en conclut:

Si une équation est résoluble algébriquement, on peut toujours donner à la racine une telle forme, que toutes les fonctions algébriques, dont elle est composée peuvent s'exprimer par des fonctions rationnelles des racines de l'équation proposée.

Sur le nombre des valeurs différentes, qu'une fonction de plusieurs quantités peut acquérir, lorsqu' on y échange entre elles les quantités qu'elle renferme.

Soit V une fonction rationnelle de plusiem'S quantités indépendantes a-, x^ . . . x„. Le nombre des valeurs différentes, dont cette fonction est susceptible par la permutation des quantités, dont elle dépende, ne peut pas surpasser le produit 1 . 2 . 3 . . . w. Soit // ce produit.

Soit maintenant

\a 0 c a . . . .J la valeur, qu'une fonction quelconque v reçoit lorsqu' on y substitue Xa, x,,, a-„ Xj etc. au lieu de Xa., x^, Xy, x^ etc. il est clair qu'en désignant par A^, A^...A^ les diverses permutations au nombre de /« que l'on peut former avec les indices 1, 2, 3,...n, les valeurs différentes de v pourront être exprimées par

Supposons qvie le nombre des valeurs diflférentes de v soit moincb'e que fi, il faut que plusieurs valeurs de v soient égales entre elles en sorte qu'on ait par exemple

Si l'on fait subir à ces quantités la permutation désignée par f'^^ V on aura cette nouvelle série de valeurs égales

valeurs qui sont différentes des premières mais en même nombre. En clian-

geant de nouveau ces quantités par la pernmtation désignée par (^i Y on

aura un nouveau système de quantités égales mais différentes des précédentes. En continuant ce procédé jusqu'à ce qu'on ait achevé toutes les permutations possibles, les valeurs de ?' au nombre de // seront partagées en plusieurs groupes, dont chacun contiendra un nombre de m valeurs équivalentes. Il suit de là que si l'on représente le nombre des valeurs différentes de v par q, nombre égal à celui des groupes, on aura

cm = 1 . 2 . 3 . . . w c'est-à-dire:

Le nomJ)re des valeurs différentes, qu'une fonction de ii quantités peut acquérir par toutes les permutations possibles de ces quantités est nécessairement un diviseur du produit 1.2.3...??. Cela est connu.

Soit maintenant f^^ ) une permutation quelconque. Supposons qu'en ap-

plicant celle-ci plusieurs fois de suite à la fonction v on obtient la suite des valeurs

il est clair que v sera nécessîiirement répété plusieurs fois. Lorsque v revient après un nombre p de changements, nous dirons que ?' est une permutation récurrente de l'ordre p. On a donc cette série périodique

ou bien, si l'on représente par v (^^Y la valeur de v qui résulte après avoir répété r fois de suite la permutation désignée par f^^^ j on a la série

lô

Il suit de là

Or, soit p le plus grand nombre premier contenu dans 71, et le nombre des valeurs difterentes de v soit moindre que p^ il faut que d'un nombre jf de valeurs quelconques de v deux soient nécessairement égales entre elles. 11 faut donc que deux des p valeurs

''(±y'"(±)'"'ao'-;''(:i.r"

soient égales entre elles. Soit par exemple

on en conclut

Ecrivant r au lieu de r' -\- p — r et remarquant que v (^^ Y=?'j on en tire

cil r évidemment n'est pas multiple de p. La valeur de v n'est donc pas changée par la substitution ( "^i Y ni par conséquent non plus par la répétition de la même substitution. On a donc

u étant un nombre entier. Maintenant si p est un nombre premier, on pourra évidemment toujours trouver un nombre entier ^ de la sorte que ♦

ra=p,^+i donc

et puisque v = ?' /^i V^

on aura v = v (^i \ .

La valeur de v ne sera donc pas changée par la permutation récurrente (^^ j du degré p.

Or, il est clair que

sont des permutations récurrentes du degré p, lorsque p est le nombre des indices a, fi, y . . . i,- La valeur de v ne sera donc changée non plus par la combinaison de ces deux permutations. Ces deux permutations sont évidemment équivalentes à cette unique

et celle-ci aux deux suivantes appli(piées successivement

La valeur de v ne sera donc pas changée par la combinaison de ces deux permutations.

Donc , = ,(aJ)(Ç,>)

de même v = v (Çj) Q'^,)

d'où l'on tire , ^ («p^j (^jSy

On voit par là que la fonction v n'est pas changée par deux permutations successives de la forme { ? ^ ) j a et fi étant deux indices quelconques. Si

l'on désigne une telle permutation sous le nom de transposition, on peut conclure fpi'une valeur quelconque de v ne sera pas changée par un nombre pair de transpositions, et que par conséquent toutes les valeurs de v qui résultent d'un nombre impair de transpositions sont égales. Toute permutation des éleraens d'une fonction peut s'opérer à l'aide d'un certain nombre de transpositions ; donc la fonction v ne peut avoir plus que deux valeurs différentes. De là on tire le théorème suivant:

Le nombre des valeurs différentes que peut obtenir une fonction de n quantités ou ne peut être abaissé au dessous du plus grand nombre premier f*^' compris entre les facteurs de n, ou seulement à 2 ou à \.

Il est donc impossible de trouver une fonction de S quantités qui ait 5 ou 4 valeurs différentes.

La démonstration de ce théorème est prise d'un mémoire de M. Canchy inséré dans le 17"" cahier du Journal de l'école polytechnique pag. 1 etc.

Soient v et v' deux fonctions, dont chacune aura deux valeurs différentes, il suit de ce qui précède qu'en désignant par v^, t\ et ??,', ?■„' ces doubles valeurs, les deux expressions

Ty -\-t\ et %\v^ -\-i\v^

seront des fonctious symétriques. Soit

Vi + Vz = t et ?v^' + «'2^s' = ^>

on en tire v^ = — f r-

Soit maintenant le nombre des quantités x^, x^,...x^ égal à cinq, le produit

ç = {x^-X.^ (ir-'a) {^\-^ù (-n-^-s) (•'••2--^-3) (•^•^-•^J (-î-î-'^-s) (^3-^4) (-î-a-'^s) G^i-'^'ô) sera évidemment une fonction qui a deux valeurs difl'érentes; la seconde valeur étant la même fonction avec le signe opposé. Donc en posant v^ = ç, on aura ^'a' = — ç. L'expression de z\ sera donc

^ li + P^, ou bien

où ^f^ est une fonction symétrique; ç a deux valeurs qui ne diffèrent que par rapport au signe de sorte que -^ soit également une fonction symétrique.

Donc en posant ^t^ = p et —l^ = q il s'ensuit

que toute fonction de cinq quantités, qui a deux valeurs différentes, pourra être mise sous la forme, ]> -^ q . Q, où p et q sont deux fonctions symétriques et p = {x^ — .rj (a-, — x^) . . . (.r^ — x^).

Pour notre but nous avons encore besoin de la forme générale des fonctions de cinq quantités, qui ont cinq valeurs différentes. On peut la trouver comme il suit.

Soit V une fonction rationnelle des quantités x^, x^, x^, x^, x^ qui a la propriété d'être invariable lorsqu'on écbange entre elles quatre des cinq quantités quelconques par exemple x^, x^, x^, x^. Sous cette condition v sera évidemment symétrique par rapport à x„, x^, x^, x^. On peut donc exprimer V par une fonction rationnelle Aex^ et par des fonctions symétriques de x^, x^, x^, x^. Mais toute fonction symétrique de ces quantités peut s'exprimer par une fonction rationnelle des coefllciens d'une équation du quatrième degré, dont les racines sont x^, x^, x^, x^. Donc en posant

{x—x^ (x^x,) (x—x^ i-v—a;) = x^—px' + qx^ — rx -^ s la fonction v peut s'exprimer rationnellement en x^, p, q, r, s. Mais si l'on pose (x—x^) {x—x^ i^—^ù i^—^'ù (•»•• — *-s) = :»*— «^*+ bx^ — cx^+ dx — e, on aura

(.1- — Xj) (x* — px' + qx^ — r.v -\-s) = x^ — ax* -}- bx' — cx^ -\-dx — 6 = .^.6 — {p-\- x^) x^ + (q +px^) x^ — (?• + qx,) x''-\-{s-\-rx^) x—sx^, d'où l'on tire

p = a — x^ q^b — «.i-j -j- x^ r ^ c — bx -j- ax^ — x^ s = d — cx^ -|- bx^'^ — ax^^ -\- x*, la fonction v peut donc s' exprimer rationnellement en .r j , a, b, c, d et e.

Il suit de là, que la fonction v peut être mise sous la forme

OÙ t et (f{x^ sont deux fonctions entières de x^, a, b, c, d et e. En multipliant cette fonction en haut et en bas par (f{x^ . (f{x^ . (f{x^ . (f{x^, on aura

y-— ^•<P(-^2)-9(-^3)-9(j'4)-9(-'^5) ç(j:i).ç(x2).ç(x3).ç(x4).9(tJ "

Or, (f{x^ . (f{x^ . (p(x^) ■ (f{x^) est, comme on voit, une fonction entière et symétrique de x^, x^, x^, Xg. On peut donc exprimer ce produit en fonction entière àe p, q, r, s et par suite en fonction entière de x^, a, b, c, d, e Le numérateur de la fraction ci-dessus est donc une fonction entière des mêmes quantités: le dénominateur est une fonction symétrique de x^, x^, x^, x^, x^ et par conséquent il peut s'exprimer en fonction rationnelle de a, b, c, d, e. On peut donc poser

En multipliant l'écpiation

.r^' = ax^* — bx^^ -j- cx^ — dx^ -\- e successivement par x , .r * . . . x^~^, il est clair qu' on obtiendra un nombre de m — 4 é(juatious, des(pielles on tirera les valeurs de x^, x^ . . . x^"- en des fonctions de la forme

où «, 1*7, J», (V, é sont des fonctions rationnelles de a, b, c, d, e.

On peut donc réduire v à la forme

V = r„ + r^x^ + 7vr,^ + r^x^^ + ?v^'i* ('>)

où >•„, ?'j, r^ etc. sont des fonctions rationnelles de o, b, c, d, e, c'est-à-dire des fonctions symétriques de x^, a^, .Tj, .t^, x^.

Voilà la forme générale des fonctions qui ne sont pas altérées lorsqu'on

y «'cliange entre elles les quantités .r^, .i\, .r^, .r^. Ou elles ont cinq valeurs différentes entre elles ou elles sont symétriques.

Soit maintenant v une fonction rationnelle de x^, x^, x^^ x^, x^, qui a les cinq valeurs suivantes i\, t\, 2\, i\, v^. Considérons la fonction x^"r. En y échangeant entre elles de toutes les manières possibles les quatre quantités x^, x^, x\, x^ la fonction x^v aura toujours une des valeurs suivantes A•l'"^^. x^^v^, .r^'"/;,, x^^i}^, x^^v^.

Or je dis, que le nombre des valeurs différentes de x^'o résultantes par ces changements sera moindre que cinq. En effet, si toutes les cinq valeurs avaient lieu, on tirerait de ces valeurs en échangeant x^ successivement avec x^, Xj, ar^, jTg, 20 valeurs nouvelles, qui seraient nécessairement difiérentes entre elles et des précédentes. La fonction aurait donc en tout 2o valeurs ditférentes, ce qui est impossible, cai"2o n'est pas diviseur du produit 1.2.3.4.5. En désignant donc par « le nombre des valeurs que peut prendre v lorsqu'on y échange entre elles les quantités .Tj, x^, x^, x^ de toutes les manières possibles, fi doit avoir l'une des quatre valeurs suivantes 1, 2, 3, 4.

1. Soit /t = 1, d'après ce qui précède v sera de la forme (a)

2. Soit 1.1 = 4, la somme r^ -\- v^ -\- v^ -\- v^ sera une fonction de la forme (a). Or on a

*'s= («'i + «'2+«^3+«^4+«^'5) — (^^ + «'a+«^3+«^^4)= à une foncrion sj-métrique moins {i^>^-\-v^-\-i\-{-Vj^; donc t\ est de la forme (a).

3. Soit /< = 2, donc v^ -\- v^ sera une fonction de la forme (a). Soit donc v^ + ?'2 = r^ + r^x^-\-r^x^^ + r,x^^-\-r^x* = (f{x^) .

Eu échangeant successivement x^ avec x^, x^, x^, x^ on aura

«'i + «'a = Vi'^\) ?'2 +?'3 ='/W

où ?w est un des nombres 2, 3, 4, 5. Pour /h = 2, on aura ff (.r J = (p (x^), ce qui est impossible, car le nombre des valeurs de cf(x^) doit être cinq. Pour ?M ^ 3 on aura

«'. + *'2 = «P i^i), t>^ + ^'3 = 9^ (-^2)? V3 + «'1 = 9 (-^^3) d'«ù l'on tire

Mais le second membre de cette équation a plus de 5 valeurs, savoir elle en

a 30. On prouvera de la même manière que m ne peut être égal à 4 ni à 5. Il suit de là que // n'est pas égal à 2,

4. Soit /< = 3. Dans ce cas 'v^-\-v^-\- v^ et par conséquent v^ + v^ = {v^ -f- *'", + '^'3 + ^4 + '^s) — (^1 + ^'2 + ^'3) fiui-a cinq valeurs. Mais on vient de voir que cette supposition n'a pas lieu. Donc fi ne peut pas non plus être égal à 3.

De tout cela on conclut le Théorème:

Toute fonction rationnelle de cinq quantités, qui a cinq valeurs différentes,

aura nécessairement la forme

OÙ 7*0, r^, i\ etc. sont des fonctions symétriques, et x une des cinq quantités quelconque.

De l'équation

on trouvera aisément, en faisant usage de l'équation proposée, pour la valeur de X la forme suivante

X = *„ -j-s^v + s^v'^ -f- s^v^ + s^v* où s^, s^, s^ etc. de même que r^, 7'^, r^ etc. sont des fonctions symétriques.

Soit V une fonction rationnelle qui a tn valeurs différentes v^, v^, v^ . . . z\,. En posant

{v — v^) {v — i\) {v — v^) ...(?; — Vr,)

= '/o + 9'i«^ + qi^'"" • • • 4- Qm-^v"-^ + ^^'" == 0

on sait que q„, q^, q^. . . sont des fonctions symétriques, et les m racines de l'équation vSont v^, v.^, v^...v^. Or je dis, qu'il est impossible d'exprimer la valeur de v en racine d'une équation de la même forme mais d'un degré moins élevé. En effet soit

^o + t,v + t^v" . . . -f ^ij.,?;!^-i + v^ = 0 ime telle équation où t^,, t^ etc. sont des fonctions symétriques, et soit v^ une valeur de v qui satisfait à cette écpiation, on aura

v"^ + t^^iv^~' ... = (v — v,)P^ .

En échangeant entre eux les élémens de la fonction, on trouvera la série suivante d'équations:

v^ — t^^iv^^ ... = (y— ?'„.) P™.

On en conclut que v — v^, v — v.^, v — v^.-.v — v,^ seront toutes ensemble

des facteurs de v^ + f\i^if^^ ... et que par conséquent (i doit nécessairement être égal à ?«. On en tire le théorème suivant:

Lors(ju' une fonction de plusieurs quantités a m valeurs différentes, on peut toujours trouver une équation du degré m^, dont les coefficiens sont des fonctions symétriques, et qui ont ces valeurs pour racines; mais il est impossible de trouver une équation de la même forme d'un degré moins élevé qui ait une ou plusieurs de ces valeurs pour racines.