IV
Démonstration de l' impossibilité de la résolution générale de l'équation du
cinquième degré.
En vertu des propositions trouvées plus baut on peut énoncer le théorème :
"Il est impossible de résoudre en général les équations du cinquième
"degré."
D'après §. II toutes les fonctions algébriques desquelles une expression
algébrique des racines est composée peuvent s'exprimer par des fonctions
rationnelles des racines de l'équation proposée.
Comme il est impossible en général d'exprimer la racine d'une équation par une fonction rationnelle des coefficiens, on doit avoir
où m est un nombre premier et R une fonction rationnelle des coefficiens de l'équation proposée, c'est-à-dire une fonction symétrique des racines; v est une fonction rationnelle des racines. On en conclut
En vertu du §. II il est impossible d'abaisser le degré de cette équation, la fonction v doit donc, d'après le dernier théorème du paragraphe précédent, avoir m valeurs différentes. Le nombre m devant être diviseur du produit 1.2.3.4.5 ce nombre peut être égal à 2 ou à 3 ou à 5. Or suivant (§. UI) il n'existe pas de fonction de cinq variables qui ait 3 valeurs: il faut donc
qu'on ait m=z 5 ou in = 2. Soit m = 5, on aura on vertu du paragraphe précédent,
et par là
Suivant (§. II) on en tire
où f/.®=zzl. Cette équation est impossible, attendu que le second membre ait 120 valeurs et que pourtant il doit être racine d'une équation du cinquième desré z^ — s,^R=0.
On doit donc avoir ?h = 2.
On aura donc d'après (§. II)
\^R =p -\- qs où p et q sont des fonctions symétricjues et
On en tire en échangeant x^ et x^ entre eux
— }/R ^p — qs d'où l'on trouve p=0 et yR=qs. On voit par là, que toute fonction algébrique du premier degré, qui se trouve dans l'expression de la racine, doit nécessairement avoir la forme a-\-^ys^ = a-\- ^s, où a et /5 sont des fonctions syniétri(fues. Or il est impossible d'exprimer les racines par une fonction de la forme «-|-/S|/J?, il doit donc y avoir une équation de la forme
OÙ « et /? ne sont pas nul, m est un nombre premier, a et /? sont des fonctions symétriques et v une fonction rationnelle des racines. Cela donne
Via-\-fis) = v^ 'et y{a — ffs) = v^,
où Vj^ et v^ sont des fonctions rationnelles. On aura en multipliant ^'^ par v^,
Or a^ — i ^s'^ est une fonction symétrique. Si maintenant l/(«* — />**') n'est pas une fonction symétrique le nombre m, d'après ce qui précède, doit être égal à deux. Mais dans ce cas v sera =z']/{u-{-i^ys^); v aura donc quatre valeurs différentes, ce qui est impossible.
11 faut donc que |/^(«' — /^V) soit une fonction symétrique. Soit y cette l'onction, on aura
«',v, = y et ^' = ~ , Soit
Désignons par /^j, p.^, p^ . . .7>„. les valeurs différentes de p qui résultent de la
substitution successive de «/?"', «'^, ft^^"" . . . ct^^R"" à la place de R"' où
a*^» -{-«"-*...+ « -f- 1 = 0, et faisons le produit
on voit sans peine que A, A^ etc. sont des fonctions rationnelles des coefficiens de l'équation proposée et par consé([uent des fonctions symétriques des racines. Cette é(piation est évidemment irréductible. Il faut donc d'après le dernier tbéorème du paragrapbe précédent que p, étant fonction des racines, ait m valeurs différentes. On en conclut que m = 5. 3Iais dans ce cas p sera de la forme (a.) du paragrapbe précédent. Donc on aura
YR + 1— ==?•„ + î-,:f + r^x^ + r^x'^ -\- r^x" = p , s/R
et par là
^ = *o + \p + *.,?'- + *3;^' + ^iP"
c'est-à-dire en mettant R^ -\- — j à la place de » ,
x = t,-\- tji^ + tj^" + tj( + t,é où ^o, t^, t^ etc. sont des fonctions rationnelles de R et des coefficiens de l'équation proposée. On en tire en vertu de (§. II)
t^El^ = \{x^ + a\v„ -f o?x^ + a\x; + «:rj =p\
De r équation p' z=tjii on trouve p'^=^t^R. Or ^ *^ étant de la forme u-\-v}Ys^ on aura />'*= ^/ -j- «'V^*^, ce qui donne
Cette écpiation donne p' par une équation du dixième degré dont tous les coef-
ficiens sont des fonctions symétriques, mais d'après le dernier théorème du paragraphe précédent cela est impossible; car
^' étant =^{x^-\- u\v^ + ic^x^ -f- u^x^ + «.rj aurait 120 valeurs différentes, ce qui est une contradiction. Nous concluons donc:
"Il est impossible de résoudre algébriquement l'équation générale du "cinquième degré." Il suit immédiatement de ce théorème, qu'il est de même impossible de résoudre algébriquement les équations générales des degré supérieurs au cinquième.
lîemarquc sur le mémoire Nr. 4, du premier cahier du journal de M. Crelle
Ëj' objet de ce mémoire est de trouver l'effet d'une force sur trois points donnés. Les résultats de l'auteur sont très justes, quand les trois points ne sont pas placés dans une même ligne droite; mais dans ce cas ils ne le sont pas. Les trois équations, par lescjuelles les trois inconnus Q, Q', Q" se déterminent, sont les suivantes
tP = Q + Q' + Q-
l. lQ'bsina = Q"cs'm^
\ Qa sin « = — Q"c sin (« + §).
Celles-ci ont lieu pour des valeurs quelconques de P, a, h, c, u et p. Elles donnent en général comme l'auteur l'a trouvé,
Q &r si» (g + [^) , p I
OÙ
r = ab sin « -\- ac sin /? — bc sin (« -1- /5). Or les équations (2) cessent d'être déterminées, lorsque l'une ou l'autre des quantités Q, Q', Q" prend la forme %, ce qui a lieu, comme on voit aisément pour la valeur.
Dans ce cas il faut recourir aux équations fondamentales (L), qui donnent alors
(p'^i sin 180" = )QV sin 180", Qa sin 180" = — Q"c sin 360".
Or les deux dernières équations sont identiques puisque
sinl80'* = sin360''=0.
Donc dans le cas où
«=/5= 180", il n'existe qu'une seule équation, savoir
et par suite les valeurs de Q, Q', Q" ne peuvent pas alors se tirer des équations établies par l'auteur.
Résohitioji d'un problème mécaîiiqitp.
Se
>oit JJDMA une courbe quelconque. La lig;ne BC soit horizon- ^ (aie et CA verticale. Supposons qu'un point mis en mouvement m par l'action de la gravité se meuve sur cette courbe, un point quelconque D étant son point de départ. Soit t le temps qui s'est écoulé quand le mobile est parvenu à un point donné A, et soit a la hauteur EA. La quantité t sera donc une certaine fonction de a qui dépendra de la forme de la courbe. Réciproquement la forme de la courbe dépendra de cette fonction. Nous allons examiner comment à l'aide d'une intégrale définie on peut trouver l'équation de la courbe pour laquelle t est une fonction continue donnée de a.
Soit AM^s, AP-=j:, et t le temps que le mobile emploie à parcourir lare n31.
D'après les règles de la mécanique on a
-r-~y(a-x), donc dt~ ; r.
11 suit de là, lorsqu'on prend l'intégrale depuis .r = r/ jusqu'à .c = 0:
ds /»a ds
/>" ds /»« ds
I désignant que les limites de l'intégrale sont xz:=.u et x = (i. Soit maintenant
la fonction donnée, et on aura
/'" ds
équation par laquelle s doit être trouvé en .r. Au lieu de cette équation nous allons considérer cette autre plus générale
/'« ds
de laquelle nous chercherons s en x.
Désignons par /][«) la fonction
on a comme on sait
où ce et /9 doivent être supérieurs à zéro.
Soit /? = 1 — n, on trouvera
/.i y'^-'^dy r(a).r(l — //) J^-y)" ~ Ticc + l-n) '
d' où r on tire en faisant z = ai/
En multipliant par — — et prenant l'intégrîile depuis a = 0 jusqu'à
a = x, on trouvera:
/.v da /-.a s«-if/3 r(a).r(î— 7?) rt" a"--" . da
^ {s-ay-" ■ J ^{a-zY ~~ r(a + 1 — «) • J ^ (x — fl)i-"
En faisant « = .ry^ on aura
donc
Or d'après une propriété connue de la fonction F, on a
on îiura donc en substituant:
p" da p"z'^-^.dz j» „, , ^... -
En multipliant par « .(f{u).du, et intégrant par rapport à «, on trouve: r'd^__ r{f9{'^).rLz'^-^dr^)dz ^ ^,. . ^.j .r ^a ^/^
Soit /t(") • ^*'^« = A^)5
on tire de là en différentiant
f(f{a).u.x'^^da=f'{x),
donc /cp{a).a ■z'^'dc'.=p{z);
par conséquent:
OU, puisque
r(n).ril—n) = -J^,
Slll HTC
A Taille de cette équation il sera facile de tirer la valeur de s de l'équation
Qu'on multiplie cette équation par ^'""^ . - — ^ttt 5 et qu'on prenne l'intégrale depuis (1 = 0 jusqu' à a = x, on aura
sin niz P'' ça . da sin m: P'^ da /*" ds
TC t/ o (x - «)'"" 71: J ^ (s - «)' " t/ Q (a - xY '
donc en vertu de l'éijuation (1)
sin wx /" ç(a!) . ffe
Soit maintenant «=i, on obtiendra
cf{a) =.f
ds
0 V(a-x) et
1 r''c;,(a).da
Cette équation donne l'arc s par l'abscisse .1; et par suite la courbe est entièrement déterminée.
Nous allons appliquer l'expression trouvée à quelques exemples. I. Soit
et la valeur de s sera
Si r on fait a = xy, on aura
donc
, r(l) ^ar(uL + 1) ^.g + i TC *- r(;j. + i)
ou puistjue r{^) = y^n
•^ = ^ VxJn r(ii;Tî) ^ + "» f (H +1) "^ +••. + «". r(^„+3)J •
Si l'on suppose p. ex. que m=0, fi„=0, c'est-à-dire que la courbe clierchée soit isochrone, on trouve
or \ = — "-j/.r est l'équation connue de la cycloide.
