r = '>p{q)x-{-(fy), ou f{x,y) = ip {(fx -{- (py

Voila donc la forme, que doit avoir la fonction cherchée. Mais elle ne peut

pas dans toute sa généralité satisfaire à l'équation (4.). En eifet l'équation

(5.), qui donne la forme de la fonction f{x, y), est beaucoup plus générale que

l'équation (4.), à laquelle elle doit satisfaire. Il s'agit donc des restrictions

auxquelles l'équation générale est assujettie.

On a f{Zj r) = xp {(pz + fpr) •

Or r=:-ip {(px + cpy) , donc f{z, r) = yj {(pz -{- <p\p {'px -\- (py)) .

Cette expression doit être symétrique par rapport k x, y et z. Donc (pz -{-

(p\p((px -\- (py) z=z(px -\- (ptp (cpy -{- (pz). Soit (pz = 0 et <py = 0, on aura

ff V (f^) = ?>•*•+ VV (0) = y-r + '• . doue en faisant (fX=p,

(^xp {p) = p -\- c .

En désignant doue par (f^ la fonction inverse de celle exprimée par cp de sorte que

on trouvera

La forme générale de la fonction cherchée f{x^ y) sera donc

f{^' y) = fi{c + 'i-^- + 9^y)' et cette fonction a eu efl'et la propriété demandée.

On tire de là

ou en mettant i/\r — c à la place de (fx et par conséquent \fy — f à la place de (fy et \^{f{x,y)) — c à la place de ff{f{x,y)).

Cela donne le théorème suivant:

Lorsqu' une fonction f{x, y) de deux quantités variables indépendentes x et y a la propriété que f{<,f{-r^y)) est une fonction symétrique de x^ y et z^ il y aura toujours une fonction xp pour laquelle on a

W f{x, y) = xp (x) -\- ^p(i/).

La fonction f{x^ y) étant donnée ou trouvera aisément la fonction \f.'x. En effet on aura en différantiant l'équation ci-dessus suivant x et suivant y, et faisant pour abréger f{x,y) = r:

donc en éliminant \p'{r),

d' où

u'x = ip'y ■

Multipliant donc par dx et intégraut, on aura

Soit par exemple

il se trouvera donc une fonction xf, pour laquelle

xp [xy) = ^x-\-ip)/.

i^ -, dr dr

Or 7- = xy, donc -— = y, --— = x, ^ dx ^ dy

donc \\;x = xp'y l~ dx=:y\p'y log (cxj^

ou puisque la quantité y est supposée constante,

\j.'X = a log (ex) .

Cela donne ify = a log (cy), ^p (xy) = a log- (rxy) ; on doit donc avoir: a log (cxy) = a log {ex) -f- « log (fy); ce qui a effectivement lieu pour c= 1.

Par un procédé semblable au précédent on peut aussi trouver des fonctions de deux quantités variables, qui satisfont à des équations données à trois variables. Savoir on peut par des différentiations successives par rapport aux différentes quantités variables tromper des équations, desfpielles on peut éliminer autant de fonctions inconnues qu'on voudra, jusqu' à ce qu'on est parvenu à une équation qui ne contient qu'une seule fonction inconnue. Cette écjuation sera une équation différentielle partielle à deux variables indépendentes. L'expression, que donne cette équation, contiendra donc un certain nombre de fonctions arbitraires d'une seule quantité variable. Lorsque les É'onctions inconnues trouvées de cette manière seront substituées dans l'équation donnée, on trouvera une équation entre plusieurs fonctions d'une seule quantité variable. Pour trouver ces fonctions on doit différentier de nouveau et ou parviendra par là ;i des équations dilférentielles ordinaires, desquelles ou trouvera les fonctions, qui ne sont plus arbitraires. De cette manière on trouvera la forme de toutes les fonctions inconnues, à moins qu'il ne soit impossible de satisfaire à l'équation donnée.

Drmovsfrafio?i de V imjwsstbiUfô de la résolution ahjébriqne des équations générales qui passent le quatrième degré

On peut, coimiie on sait, résoudre les équations générales jusqu'au quatrième degré, mais les équations d'un degré plus élevé seulement dans des cas particuliers, et, si je ne me trompe, on n'a pas encore répondu d'une manière satisfaisante à la (piestion:

"Est-il possible de résoudre en général les équations ftlgébriques, qui

"passent le quatrième degré?" Ce mémoire a pour but de répondre à cette question.

Résoudre algébricpiement une équation ne veut dire autre chose, que d'exprimer ses racines par des fonctions algébriques des coeffîciens. D'abord il faut donc considérer la forme générale des fonctions algébriques, et chercher ensuite, s'il est possible de satisfaire à l'équation donnée en mettant l'expression d'une fonction algébrique au lieu de l'inconnu.

Sur la forme générale des fonctions algébriques. Soient x; .i", x"' . . . un nombre fini de (juantités quelconques. On dit que V est une fonction algébri([ue de ces quantités, s'il est possible d'exprimer v en x; X", .V" . . . à l'aide des opérations suivantes. 1. par l'addition; 2. par la multiplication soit des quantités dépendentes de x', x", x'" . . . soit des quantités, qui n'en dépendent pas; 5. par la division; 4. par l'extraction des racines avec des exposans premiers. Parmi ces opérations nous n'avons pas compté la soustraction, l'élévation à des puissances entières et l'extraction des racines avec des exposants composés, car elles sont évidemment comprises dans les quatre opérations mentionnées.

Lorsque la fonction v peut se former par les trois premières des opéralions ci-dessus, elle est dite rationnelle; et si les deux premières opérations

sont seules nécessaires, elle est dite raiiomieUe et entière, ou seulement etitièt'e

Soit f'{x', .r", x'" . . .) une fonction quelconque, qui peut s' exprimer par une somme d'un nombre fini de ternies de la forme

Ax"'\ . x""i

où A est une quantité indépendente de x', x" etc. et ??*,, m^ etc. signifient des nombres entiers positifs; il est clair, que l'opération désignée par f{x',x",x"'...) est un cas particulier des deux premières opérations ci-dessus. On peut donc considérer les fonctions entières suivant leur définition comme résultantes d'un nombre limité de répétitions de cette opération. Donc en désignant par v', v", v'" etc. plusieurs fonctions des quantités x', ,r", x'" . . . . , de la même forme que f{x', x", . . .), la fonction f{v', v", . . .) sera évidemment de la même forme que f{x',x" . . .). Or f{v',v" ...) est l'expression générale des fonctions résultantes par r opération /'(.i', a", .. .) deux fois répétée. On trouvera donc toujours le même résultat en répétant cette opération autant de fois qu'on voudra. Il

suit de là, que toute fonction entière de plusieurs quantités x\ x" peut

être exprimée par une somme de plusieurs termes de la forme ^.r""i . x"'\

Considérons maintenant les fonctions rationnelles. Lorsque f{x', x" . . .) et

(f){x\ x" . . .) sont deux fonctions entières, il est évident, que le quotient

est un cas particulier du résultat des trois premières opérations, qui donnent des fonctions rationnelles. On peut donc considérer une fonction rationnelle comme le résultat de la répétition de cette opération. Si l'on désigne par

v\ v", v'" etc. plusieurs fonctions de la forme '-^^-^ — '-^ , on voit aisément, que

la fonction •^y ' " " '' peut être réduite à la même forme. Il suit de là, que

toute fonction rationnelle de plusieurs quantités .r', x" peut toujours être

réduite à la forme

/(■^', X"... ■) cp {x', X" . . . .) où le numérateur et le dénominateur sont des fonctions entières.

Nous allons ensuite clierclier la forme générale des fonctions algébriques.

Désignons par f{x',x"...) une fonction rationnelle quelcon([ue, il est

clair que toute fonction algébrique peut être composée à l'aide de l'opération

désignée par f\x', x" . . .) combinée avec l' opération y r, où m est un nombre premier. Donc, si p', p" . . . sont des fonctions rationnelles de x', x" . . .

p^=f{x;.i"... Vp', Vp".. ) sera la forme générale des fonctions algébriques de x', x" . . . dans lesquelles

r opération exprimée par y^i' affecte seulement des fonctions rationnelles. Les fonctions de la forme ;y, seront dites fonctions algébriques d/t jjremier ordre. En désignant par p^', p^" plusieurs quantités de la forme /y,, 1' expression,

P^ = f{x; x« ... Vp', Vp" . . . Vpx\ Vp," ■ ■ •)

sera la forme générale des fonctions algébriques de x', x"..., dans lesquelles

r opération ^A' affecte seulement des fonctions rationnelles et des fonctions algébriques du premier ordre. Les fonctions de la forme p^ seront dites fonctions algébriques du deuxième ordre. De la même manière l'expression

P, = f{x; X" . . . Vp', Vp" ■ ■ ■ Vih\ Vp,", ■ ■ ■ V>.', Vp^' ■ ■ •)

dans laquelle p„', p^' sont des fonctions du deuxième ordre, sera la forme

générale des fonctions algébriques de .r', .r" . . . dans lesquelles 1' opération V^ n affecte que des fonctions rationnelles, et des fonctions algébriques du premier et du deuxième ordre.

En continuant de cette manière, on obtiendra des fonctions algébriques du troisième, du quatrième . . du /('^""^ ordi'e , et il est clair, que l' expression des fonctions du //'^'"« ordre sera l'expression générale des fonctions algébriques.

Donc en désignant par /n l'ordre d'une fonction algébrique quelconque et par o la fonction même, on aura

v = f{r;r"...Vp', Vp"---)

où p', p" sont des fonctions de l'ordre /u — 1: ?■', ?■"... des fonctions de l'ordre

/< — 1 ou des ordres moins élèves, et ?i',n"... des nombres premiers. /' slgui-

fie toujours une fonction rationnelle des quantités comprises entre les parenthèses.

On peut évidemment supposer, qu'il est impossible d'exprimer une des

quantités Vp', Vp" - - ■ P^r une fonction rationnelle des autres et des quantités r', r" ... ; car dans le cas contraire la fonction v aui'ait cette forme plus simple,

V = /■(?•', ;•»... Vp; Vp" - ■ )

où le nombre des quantités Y^p', Y^p"' . . . serait diminué au moins d' une unité. En réduisant de cette manière l'expression de v autant que possible, on parviendrait ensuite ou à une expression irréductible, ou à une expression de la forme

2) = f{r' r", r'" . . .) mais cette fonction serait seulement du (f( — 1)'""= ordre, tandis que v doit être du /,''^'"^ ordre, ce qui est une contradiction.

Si dans l'expression de r le nombre des quantités ]//)', ]/"p" . . . est égal à in, nous dirons, que la fonction v est du //'^""' 07'fh'e et du m""""^ degré. On voit donc, (ju'une fonction de l'ordre // et du degré 0 est la même chose (pi'une fonction de l'ordre // — 1, et qu'une fonction de l'ordre 0 est la même chose qu'une fonction rationnelle.

Il suit de IcJ, qu'on peut poser

où p est une fonction du (/t — 1)"" ordre, mais ?■', r" . . . des fonctions du ^""

ordie et tout au plus du {m — 1)"" degré, et on peut toujours supposer qu'il

est impossible d'exprimer Yp par une fonction rationnelle de ces quantités.

Dans ce (jui précède nous avons vu, qu'une fonction rationnelle de plusieurs quantités peut toujours être réduite à la forme

T où * et ? sont des fonctions entières des mêmes quantités varialiles. On conclut de là, que v peut toujours être exprimée comme il suit,

__ 9(/', /' . ■ . Vp)

où y et T signifient des fonctions entières des quantités r', r" ... et Y'P- En vertu de ce, que nous avons trouvé plus haut, toute fonction entière de plusieurs quantités s, r', r" . . . peut s'exprimer par la forme

fo + ^1* + ^2*" H- • • • '...*"'

tç^, t^ ...tn étant des fonctions entières de ?■', r", r'".. . sans *. On peut donc poser

12 jn

fp + t,p'^ + t^p'^ .... Up^ __ T^

— Z ï "il. — ^

Z)q + r ip " + v.^p " . . . . Vm'p »'

oix tç,, t^. . . tn et v^, v^. . . v„„ sont des fonctions entières de r', r", r'" etc.

Soient F^, V^.. . F„, les n — 1 valeurs de V, qu' on trouve en mettant

successivement «/>" , a^p" , a^p'^ . . . «""'/tf" au lieu de p^, a étant une racine différente de l'unité de 1" équation «" — 1 = 0: on trouvera en multipliant la

fraction -— en haut et en bas par Fj. F^. F^. . . F„,

r. F^. Fa... r„-i Le produit F. F^ . . . F^^ peut, comme on sait, s'exprimer par une fonction entière de p et des quantités r', r" . . . , et le produit T. F^. . . F„i est, comme

on voit, une fonction entière de ]//> et de ?•', r" ... En posant ce produit égal à

on trouvera

ou en écrivant </„, //,, «/»... au lieu de -2- -L -A etc.

OÙ y<,> ?! • • ■ 5'* ^^^^ ^^^ fonctions rationnelles des quantités p, r', r" etc. Soit f.1 un nombre entier quelconcjue, on peut toujours poser

/i = mi -\- a n et a étant deux nombres entiers et « < ?i. Il suit de là, que

[J. an+J. a

En mettant donc cette expression au lieu de />" dans l'expression de r, on

obtiendra ,

«^ = C'a + ÇiP" + fhP" ■•■ + 9'^iP " > foi 9ii Hz <^tant encore des fonctions rationnelles de p, r', r" . . . et par conséquent des fonctions du /i'"' ordre et au plus du (?« — l)"" degré et liées entre

j elles de manière qu'il soit impossible d'exprimer />" rationnellement par ces

quantités.

Dans l'expression de v ci-dessus, on peut toujours faire qy = \. Car si ^/, n'est pas nul, on obtiendra en faisant p^=zp .q^

i» = — et M" = ^-^ , donc

Il 1\

expression de la même forme que la précédente, seulement que q^=l. Si

«j = 0, soit q une des quantités q^, Q-t, ■ ■ • qrv-\-> qui n'est pas nulle, et soit

atj. a

q .p^ ■=p^. On conclut de là, q„-p" =Pi"- Donc en prenant deux nombres entiers « et /?, qui satisfont à l'équation u/u • — (]n = fx', fi' étant un nombre entier, on aura

q^P '* = i>i" et ;; " = ç'jj^-^' . p-^ . /?,'• .

En vertu de cela et en remarquant que q p^ z=ip^\ v aura la forme

?' = -Zo + ;^i" + -Zs;»!" • • • Qn-iVi' •

De tout ce qui précède on conclut:

Si V est une fonction algébrique de l'ordi'e fi et du degré m, on peut toujours poser :

»' = «Zo + />" + q^P" + C'a;*" • • • 9n-iP " ; où n est un nombre premier, q^, q^- ■ • q,i-i sont des fonctions algébriques de

l'ordre fi et du degré /« — 1 au plus, p est une fonction algébrique de l'ordre

i fi — 1, et p" ne peut s'exprimer rationnellement en q,^, ç, . . . q„-y