II. Soit
çrt depuis « = 0 jusqu'à a = a^, égal à çi^a
(fa depuis a = a„ jusqu'à a = ai, égal à (p^a
(fa depuis a = «, jusqu' à a = a^, égal à ç», a
(fa depuis « = fl„,j jusqu'à a = a„„ égal à (f„,a, on aura
TTs = I ^"" ' " , depuis X = 0, jusqu' à .r = «„ ,
./ 0 \/(a-j) J a. Via -s)
-Zi! 4- / -XJ -4- / -1^ -, depuis ;r=:«,, lusqu a .i—r/.
ns
/'"'Çf^a.da . f"' ç^a .da , | /^"'"' (p,ia . rf« , Z^' (^..a.da
depuis .r = «m j, jusqu'à a: = ff„,
oii il faut remarquer que les fonctions (ff,a, cf^a, (f^a (f„/i doivent être
telles que
<Po(«o) = 9i(«o)- <Pi(«i) = 9'2(«i). y2K) = 'ir3(«a)^ etc. car la fonction (fa doit nécessairement être continue.
Démonstration d'une expression de laquelle la formule hinome est un cas particulier.
luette expression est la suivante:
a% « et j? sont des quantités (juelconcfues, n est un nombre entier positif. Lorsque n = 0, l' expression donne
(.r+«)'' = .r% connue il faut. Or on peut, comme il suit, démontrer que si l'expression subsiste pour n = m, elle doit aussi subsister pour iiz=.m-{- 1, c'est-à-dire elle est vraie en général.
Soit (.r + «)-=.z-+ ^ ^{x+tT-'+ ""^^ « (« - 2/5) (.r + 2,5)-^
... + Ç «(«—(,« 1 ) ^)'"-* (.r + (m — 1 ),^) + a (« — 7«,^)— En multipliant par (tn -j- l)rfa7 et intégrant, on trouvera :
(.f+ «)-+» = .t-^» + '-"±1 « (.r + /5)-+ i^^i^ « (a-2^S)ix + 2,i)'-^
C étant la constante arbitraire. Pour trouver sa valeur soit
x = — (m + l)/5, et les deux dernières équations donneront:
(« (,„ | i),9)"= ( !)"• hm -I- 1)-5'" — m'"«,5— 1 + ^ (;« — 1)'"-V< (« — 2/?),^'"-- m(m-l) ^^ ^^^ 3^^^2 ^^^ 2^„.., 5„3 1
31ulti{)liant la première de ces équations par {m -\- 1)^ et ajoutant le produit à la seconde, on trouve:
C =(« — (/«+ l)p')"'+^ + (/« + !),? (« — (m4- l)r?)" , ou bien C=«(« — (?«-|- i)/?)" .
Il suit de là que l'éfpation proposée subsiste de même pour ■nz=m-\- \. Or elle a lieu pour n=Q; donc elle aura lieu pour w = 0, 1, 2, 3 etc. c'està-dire pour toute valeur entière et positive de n.
Si l'on fait /j=0, on obtient la formule binôme.
Si l'on fait a = — x, on trouve
0 = .r" - 1 .r(;. + pr- + '4^^ x{x+Vr' - ^^^:^^ ^ (a: + 3,^)- . . . ou en divisant par x
ce qui est d'ailleurs connu; car le second membre de cette équation n'est autre chose que
en faisant la différence constante égale à (j.
Sur l'intégration de la formule différentielle ^-^ , R et q étant des
fonctions entières.
l^i l'on différentie par rapport à x l'expression
OÙ j}, q et R sont des Ibuctions entières d'une quantité variable x; on obtiendra
ff. dp + diqVS) dp-d{q^R)
où (p-qVR) {dp + d\q^R))-{p + q^R) {dp-d{qVR))
c'est-à-dire
,/. 'ip.diqs/R) - Upq^R p-^ — q^R
Or d{qVR) = dq.VR + h%
donc par substitution
, pq . dR + ^{pdq - qdp) . R
' ^ ~ Iv^'S) ■ VR par conséquent en faisant
\etp'^ — q'^.R = N
m\ , M dx
on aura o) '^' = n7R'
où, comme on voit aisément, M et N sont des fonctions entières de x. Or z étant = log (^ii^- — ) on aura en intégrant.
"' \p-qy R/ ^ J N^R~^'=\p-q^Rj
11 suit (le là que dans la différentielle -^--- on peut trouver une infinité
de formes différentes pour la fonction rationnelle q qui rendent cette différentielle intégrable par des logarithmes, et même par une expression de la forme
log |c "*" ^ ^ j . La fonction q contient, comme on voit par les équations (2)
outre R encore deux fonctions indéterminées ^ et 5» et c'est par ces fonctions qu'elle sera déterminée.
On peut renverser la question et demander, s'il est possible de supposer
les fonctions p et q telles, (pie q ou prenne une forme déterminée donnée.
La solution de ce problème conduit à une foule de résultats intérressants, que l'on doit considérer comme autant de propriétés des fonctions de la forme
/^-^.. Dans ce mémoire je me bornerai au cas où-^ est une fonction en-
tière de .r, en essayant de résoudre ce problème général:
"Trouver toutes les différentielles de la forme -^^ on ç et R sont des
"fonctions entières de .r, dont les intégrales puissent s'exprimer par une
"fonction de la forme log ( ^ "*" ^ ^ „ ) .
■" ^p - g Y II''
En différentiant l'équation
N = p^--ffR, on obtient
(IN = 2pdp — 2qdqR — q^dR, donc en multipliant par p
pdN= 2p'^dp — 2pq(/q . R — pq^ . (IR^ c'est-à-dire, lorsqu'on remet à la place de ^y^ sa valeur N -\- q^R, pdN=z 2Ndp -j- 2q'^dp .R— 2 pqdq . R — pq^ ■ dR , ou
pdN= 2Ndp — q (2(pdq — q(/p)R -\- pqdR), donc, puisque
2 {pdq —qdp)R + pqdR = Mdx {2), pdN^ 2Ndp — qMdx
ou bien qM=z 2N . -^ — p . -j-
•* dx dx
donc
Maintenant —-doit être une fonction entière de.i-,- donc en désisiiant cette fonc-
tion par q on aura
^dp dN
FI suit de là que p . -- — doit être une fonction entière de x. En faisant
' Nds
N= {.V + «)"' (x + ff J-. . . . (.r +r/„)"'^
dlV m . nii 711,
Ndx x-^ a ' x+Ci'"' ' J + a.
donc
doit de même être une fonction entière, ce qui ne peut pas avoir lieu à moins que le produit {x •\- a) . . . (r -f- «,,) ne soit facteur de j). 11 faut donc que
/? = (.r4-«)...(.r+r/„)./;^ où /)j est une fonction entière.
Or - N=f — q''B,
donc
{x + «)- . . . (.r + «„)-. =1,^' {X + uf {X + «jf . . . (^ + «„)* — 9*^ • Comme R n'a pas de facteur de la forme {x -\- (if et comme ou peut toujours supposer que p et q n'ont pas de facteur commun, il est clair que
m ^ ?«j =: . . . = ?H„ = 1 et i2 = (.r + o) (.r + r/J ... (or + «„) . E^
où ^j est une fonction entière.
On a donc N=i {x + a) {x + «J . . . (.r -f- r/„) et R = N.Ri, c'est-à-dire N doit être facteur de R. On a de même p = Npi. En substituant ces valeurs de R et âe p dans les écpations (2.) on trouvera les deux équations suivantes
La première de ces équations détermine la forme des fonctions p^, q, N, et //p
et celles-ci étant déterminées, la seconde équation donnera ensuite la fonction ^. On peut aussi trouver cette dernière fonction par l'équation (a).
Maintenant tout dépend de l'équation
Cette équation peut bien être résolue par la méthode ordinaire des coefllciens indéterminés, mais l'application de cette méthode serait ici extrêmement prolixe et ne conduirait guère à un résultat général. Je vais donc prendre une autre route semblable à celle qu'on emploie pour la résolution des équations indéterminées du second degré à deux inconnus. La seule différence est, qu'au lieu de nombres entiers, on aura à traiter des fonctions entières. Comme dans la suite nous aurons souvent besoin de parler du degré d'une fonction, je me servirai de la lettre â pour désigner ce degré, en sorte que dP signifiera le degré de la fonction P. p. ex.
D'ailleurs il est clair que les équations suivantes auront lieu:
ô{PQ) = ôP-\-èQ,
d (/*"') z=mdP; de plus d {P + P') = ôP
si dP^ est moindre que ôP.
De même je désignerai, pour abréger, la partie entière d'une fonction rationnelle u par Eu,
ensorte que u = En -\- ii^, où àu^ est négatif.
Il est clair que
E{s+s')=E{s)-^E{s') donc E {s -\- s^) ^= E (s) lorsque ()*^ est négatif.
Relativement à ce signe, on aura le théorème suivant:
"Lorsque les trois fonctions rationnelles u, r et 2 ont la propriété que
"on aura E{it) = -j- E{v) si ôz < ôv.
En effet on a par la définition,
n = E{if)-\-u' v = E{e)-\-v' où au' et âv< sont négatifs; donc en substituant ces valeurs dans l'équation
{Eu)'^ + 2m' Eu + «'^ = {Eif + 2y' £<J + V^ + -
11 suit de là
(£;„)« (Ev)^ = - + î"* — ^t"" + 2.v'Ev — 2u'Eu = t, ou bien {Eu + Er) {Eu — £r) = t .
On voit aisément que et < di'; au contraire
(){Eu + £■?•) (£« — Ep) est au moins égal à ôv, si (£m + Ev) {Eu — £t') n'est égal à zéro. 11 faut donc nécessairement que {Ea-\-Ev){Eu — Ev) soit = 0, ce qui donne Eu = + Ev c. q. f. d.
Il est clair que l'équation (7) ne saurait sul)sister à moins qu'on n'ait ,){Xp^'') = à{B^(i^) , c'est-à-dire ,
ôN-^2dp^ = ÔR^ + 2')q d' où à{Nn^) = 2{ôq — 6p^-\-dR^).
Le plus grand exposant de la fonction R doit donc être un nombre pair. Soit dN^ il — 7)1, ôR^ ^ w -f- m.
Cela posé, au lieu de l'équation,
p^ .N — q^.Ri^i, je vais proposer la suivante
ou V est une fonction entière dont le degré est moindre que ^
Cette équation, comme on voit, est plus générale; elle peut être résolue par le même procédé.
Soit t la partie entière de la fonction fractionnaire -^ et soit t' le reste :
cela posé on aura:
9) R, = Nt-j-i',
et il est clair que t doit être du 2>«"" degré lorsque âN~7i — m et ôR^-Ti + m. En substituant cette expression de R^ dans l'équation (8), on en tirera
10) {p^^ — q''.t)N—ff.f = v.
Soit maintenant
on peut toujours déterminer t^' de manière que le degré de t^' soit moindre que m.
Pour cet effet faisons
t = «0 + «i-^" + '^'t^'^ «ama:*"
ti = (^o + fti^- + /^m-î^"*
cela posé, l'équation (11) donnera:
v.Sm
filx^--\- 2r;„,^,„,:r^'-^+ (,5^,, + 2,^„.;!?„.,).ï'-"'-'-+ (2,:)'„,^„, + 2,?„iP^,^)x^"-'+ etc. De cette écpiation on déduira en comparant les coefiiciens entre eux;
<^2>ii— 2 -^pm '
«2'»-4 SjVm
etc.
J'm— 2 ^'-m-^ '^i-'iii-2 • Po "^l'wi-Z • Kl • • •
ïl = «2 — 2,?2 • /^O — /^I*
7, = f^i — 2p'i . /5„ ^0 = «0 — t^ô" ■ Les m -\- 1 premières de ces équations donnent, comme il est aisé de voir dans tous les cas, les valeurs des m-\- 1 quantités /"„„ ,v^j, . . . /j„, et les m dernières équations donnent les valeurs de y^, y^, y, • • • J'm-i L'équation supposée (11) est donc toujours possible.
Substituant dans l'équation (10) au lieu de t sa valeur de l'équation (II), on aura:
de là on tire (^> = ^ + V + -^^^l + -^. En remarquant que
on aura par ce qui précède,
donc /^i ^ + 'i ■ *? + A 0" ^1^ < %;
et comme on peut prendre t^ avec le signe qu'on voudra,
En substituant cette expression au lieu de p^ dans l'équation (12), elle se changera en,
13) (^3^^%'if^q)N—q-' .s = v, où, pour abréger, on a fait Nt^' -\- t'=:s.
De cette équation il e^t facile de tirer
ou, puisque ^/iV^- s = i?, (car R^ = fN-\-t', s=Ni\ + /', et t = t^^-\-f'J,
(q t^N^ RyN V
Soit mainten.nnt
R^N=r^ + r', où â?'' < âr on aura:
(f-^)"=(Ty+f
Or on voit aisément que
K^ - if) < *(v)
et par suite e{^) = E (p^'—) ;
donc en faisant E {^ ! — j = 2/i,
q = 2^,^+(i^, où d/?i<d/9.
En substituant cette expression de q dans l'équation (13) on aura,
/î* . iV + 2tn^N (2//^ + /? J - ^ (4/. V^' + V|5,,5 + |5»') = «', c' est-a-dire
/^«(iV^+ A^it^N— 4*^*) + 2 (^iV— 2/u)j^,'?j — *,^,» = «>, ou en faisant pour abréger
on obtient
Puisque E Ç'^l'^) = 2//, on a
r -\- tiN:=: 2sfi -|- f, où de < d*, par suite la dernière des équations (14) donnera
De plus en multipliant l'expression de s^ par s, on obtiendra, *
ss, = Ns-\- A,ufi Ns — ^sy =Ns-\-t^^N^ — {2s fi — t^Nf. Or 2s^ — t^N=ii\,i\oncss^=Ns-\-t^''N'~-7\^, et r^^ -{-ss^ = Nis-{-t^'N); de même s -\- t^' N=i R^,
donc 16) r^''-i-ss, = NR.^ = IÎ
D' après ce qui précède on a i? = r^ -j- r'
donc r* — 7\- = ss^ — ?•', ou (r -f- 7\) {r — r^ = ss^ — r'.
Or dr' étant <dr, il suit de cette équation que
c' est-a-dire, puisque r — r^=ze, où df < d?-,
ôs -\- âs^ = âr -\- de .
Or ds > âe
donc âs^ < ôr.
On a de plus,
s = Nt^'-\-t', où d#'<(^^' et âti'<dt^, donc d*<(5'iV-f (5/i.
Mais JR = N{s-\-t^-N), par conséquent,
(57? = 2()f^ + 2dN, et puisque ôR = 2àr = 2à}\ ,
on aura àt^ -\- ôN = ôr^^ .
On en conclut ds < ô}\.
L'équation /^l'iV — q'-n^= v est donc par ce procédé changée en celle-ci,
OÙ ôr^ = ^ôli = u, ^.îj < cV,:? et ds < n, ds^ < «. On obtient cette équation, comme on vient de voir, en faisant
t^ étant déterminé par l'équation,
t = t^' + t^\ où èt^'<:dt^ et f = E (^), et ft étant déterminé par l'équation,
où 7-' + ?■' = 7?i iV, * = A7/ + 7?^ — A7 De plus
11 *'agit maintenant de l'équation (la).
Résolution de l'équation:
où ôs < iir^, ôs^ < è}\, ôv < ér^, dii^^ < d/î.
Divisant l'équation,
par sjj^% on obtiendra.
On tire de là en remai-quant que (5 (— -| ^ ) '^^ \~)-
donc £;(|-) = £(^).(1±1),
oii l'on tloit prendre le signe -f-^ ♦'îH' l£iu<^i"o signe ferait E T '^ ] = 0, donc
donc en faisant E ('-^jz=zii^,
/5=2/?j.^t^ + ^„ où àt]^<S^^ Substituant cette valeur de /5 dans l'équation proposée, on aura,
ou bien
où ?-2 = 2// i*j — r^ , *2 = * + 4?-j^( , — 4*j/( j^
L'équation E T-^" j=z://^ donne,
On obtient par là
donc il est facile de voir que
L'équation (10) a par conséquent la même forme que l'équation (20); on peut donc appliquer à celle-ci la même opération, c' est-a-dire en faisant
''^ ^ ^ (?) ' ''^ "= -v^-f- ^z, tK = ^i'-^^ + th ,
on aura s^ . ^/ — 2r^!i^f-;^ — s.^ . tK^ = + '^
où ?.^ = 2//2.V3 — ?-.^ = r.^ — 2f2,
*3 = -^ + 4>V'.2 — 4*-z/'2^ = *i + 4^2^/^, et (5-/?3 < (T/!?^. En continuant ce procédé, on obtiendra, après n — 2 transformations, cette équation :
21) *„ . /5^,, — 2r„ . p„, . tin — *„-! . /?/ = (— 1)"-' . V,
où (V/?„ < (),:?„ i .
Les quantités *„, ?■„, //„ sont déterminées par les équations suivantes:
''•—^(tt)'
A ces équations on peut ajouter celles-oi:
^'n /'n'y II ~t~ ^MJ
''ri = ''n-l 2f„l ,
Or les nombres ôrJ, ô-J^, d[j^, . . . ôii,,, etc. l'orniant une série tléeroissante, on doit nécessairement après un certain nombre de transformations trouver un /j„ égal à zéro. Soit donc
r équation (21) donnera en posant w = ;»:
22) *„. . ,^"-„,-i = (— ir^'.
Voilà l'équation générale de condition pour la résolubilité de l'écpiation (19)s„ dépend des fonctions s, s^, r^; et |J„,i doit être pris de manière à satisfaire à la condition,
ès,„ + 2(ï, Vi < Sr.
L'équation (22) fait voir que pour tous les s, s^, et 7'^ on peut trouver une infinité de valeurs de r, qui satisfont à l'équation (19).
En substituant dans l'écpiatiou proposée au lieu de v sa valeur ( — l)"""^ . s,n ■ P^n.-i5 on obtiendra,
s^ . ,r — Sr/i?^ — s . ^,;- = (— 1)"- . s„, . -.\^, , équation toujours résoluble.
On voit aisément que ,j et ,j^ ont le facteur commun (j'„i. Donc si l'on suppose que ^ et (j^ n'ont pas de facteur commun, ,*?„.i sera indépendant de X. On peut donc faire i"7„,i = 1 , d'où résulte cette équation, s, . fl"- - 2;\,^,^, - s . fi^'^ = ( l)"-'^,,.. Les fonctions ^, ,5^, j^'j? • • • sont déterminées par l'équation,
(■?„! = 2//,„>„ + ii„^^ , en posant successivement w^ 1, 2, 3, . . .m — • 1 et en remarcjuant que ^,,,=0. C'est-à-dire:
Pm-^ ^= 2^<„i i . /^m l ,
Pm-3 = 2//„^2 . ;Jm-2 ~\~ l'm-l j
Pm-i '^f'm-3 - Piii-3 ~T~ Piit-25
/5 =2/»^. /?, + /?„ Ces équations donnent:
Pi ' ^ ^ /M '
Pm-2 ~'""'"^ ' (?>m-^\
V Sm-1 /
On en tire par des substitutions successives:
On aura donc les valeurs de /? et de {i^ en transformant cette fraction continue en fraction ordinaire.
En substituant dans l'équation,
pour V sa valeur ( — 1)™-^ . s„„ on aura,
OÙ 5^ =2At./î + p\,
donc ^==,^+l=,^+l
or | = 2/t + 4^;
par conséquent,
2jJLm-l •
L'équation p^^N — q^.B^^^v,
donc en supposant m infini :
q —^ iV '
donc K^^.^+1^ 1
2[X3 + etc.
On trouve donc les valeurs de p^ et de q par la transformation de la fonction 1/ -~ en fraction continue. ")
Soit maintenant v = a, et l'on aura,
Donc si l'équation,
est résoluble, il faut qu'au moins une des quantités,
s, Sj^jS^}--- *m etc.
soit indépendante de x.
De l'autre part, lorsqu'une de ces quantités est indépendante de .r, il est toujours possible de trouver deux fonctions entières p^ et q qui satisfont à cette équation. En effet lorsque s„, = a, on aura les valeurs de p^ et de q en changeant la fraction continue.
*) L'équation ci-dessus n'exprime pas une égalité absolue. Elle inclique seulement d'une manière abrégée comment on peut trouver les quantités f j , [j., [Xj , [j-j • • • Si toutefois la fraction continue a une valeur, celle-ci sera toujours égale à
2[J.ni-l
en fraction ordinaire. Les fonctions s, s^, s^ etc. sont en général, comme il est aisé de voir, du degré (n — 1), lorsque NB^ est du degré 2«. L'équation de condition,
donnera donc i/ — 1 écjuations entre les coefficiens des fonctions N et R^•, il n' y a donc que n-j- 1 de ces coefficiens qu' on peut prendre arbitrairement, les autres sont déterminés par les équations de condition.
De ce qui précède il suit qu'on trouve toutes les valeurs de R^ et de iV qui
rendent la difféi'entielle — ^ "^ intégrable par une expression de la forme
log (P±
qV{R,N) \ q ViR^N) )'
en faisant successivement les quantités s, s^, s^.. . *„. indépendantes de .v. Puis(jue j/ =p^N, on a de même,
J V{RiN) "= \p^y/N- qs/Rj'
ou bien
\J v{RxN) " \y^N-VRi /
ou
23) ly = f + 1- 1
2am-i
en supposant ■?„ égal à une constante.
Les quantités R^, N, p^ et q étant déterminées comme on vient de voir, on trouve <} par l'équation (o). Cette équation donne, en niettant p^N au lieu
de p et p au lieu de -^^,
Il suit de là que
âç = dp^-\-âN— l — âq = <^/) — ()// — 1. Or on a vu que ôp — âq = n, donc
âç ^n — 1.
Donc si la fonction R ou R ^N est du degré In, la fonction q sera nécessairement du degré n — 1.
Nous avons vu plus haut que
mais on peut toujours supposer (pie la fonction N est constante. En eflet on a ,
et par consécjuent,
r P<^-r 1 ,„„ ( p,VN+qVR, Y ^ i ^f,„( Pr^N+q^R, + '2p,q V(^R^ N) X J VR.N —^ ^\p,VN-qVR,) '-^ ''^p:'N+q'^R^--lp^qv{R,N))'
c'est-à-dire, en faisant p^^ N -\- q'R^ =^p' et 2p^q = q',
J VR "~ ' \ p'-qWR ^' Il est clair que />' et q' n'ont pas de facteur commun; on peut donc toujours poser
Au lieu de l'équation p\N — q^R^=z 1, ou a donc celle-ci,
p''' — q"'.R=l, dont on obtient la solution en faisant iV= 1 et mettant R au lieu de R^. Ayant N=l, on voit aisément que
donc
2jJ.m-i
Ayant déterminé les quantités R, r, ft , p^. . . //„^i par ces équations on
aura :
]J VR ~ * \p'-q"/R >''
