dp

lou p ^ — . -f-,

^ • q' as

ce qui résulte de l'équation (5) en y posant N=^l.

On peut donner à l'expression log (^^ ^^/ ^ ^ ^^ ) une forme plus simple, '■ ^ "^ \p^\/ N - q\/ K^/

savoir la forme,

'"» \p,vN-qVRj loo- (t.VN^VR, \ , ij,„ f^^ + ^^^ , lo, f Z2±V^^ ... + 10- f/"^^^) ,

ce qu'on peut démontrer comme il suit:

on a par la théorie des fractions continues,

De ces équations on tire par l' élimination tle //,^i :

donc a„ . ,^,„i — ,i',„ . „„! = (— l)"-i , ce qui est connu. Les deux équations («) et {b) donnent encore:

Il suit de la

Or on a

f^.iV— ^*„. /?, = (- 1)-^^..

donc en substituant,

Or, d'après ce qui précède, on a

donc

r„^ = (— 1 )"'-i . («„i . «^2-^— /9„.i . /5V2 i?i). Soit

c„ = «„l/iV+^„Ki2j, et z'^ = a^VN—i3^VRi, on aura en multipliant,

or on vient de voir que '

«-i^m-i — Um-i .{i^ = {— 1)'-S et que «„«„jiV— /?^ . /^m-, ^i = (—1)" 'Vï

on tire de là

et de la même manière,

on en tire en divisant:

c'est-à-dire en multipliant par — "" '

En faisant successivement m = \, 2, 3, . . . w, ou aura.

a, Tj + \/-B zo

z'a r^ - VR 2'i

d'où l'on tire,

z,. zo^ r^ + VR r^+\/R r^ + \/R >-..+ \/fi

^^T "s^ ■ ri - v/J« ' »-2 - v//î ' r^- VR ' ' ' ' r,.-VR

et donc

z,=u,vN+pyR.=fy^+vRi'

3,„ g. y/JV+p,. v/J?i

z'„ a™ \/iV- p,. /^i

26) log (^:^^E±h^^

En dififérentiant l'expression ^ = log (" °^- v/-^+ ^- ^^' .^ on aura après les

réductions nécessaires :

. 2(^,„ rfg. - p. rfa„ ) iYJ?i - g- p. {R^dN- NdRJ

~ (a2„Ar-p2„7?J/A.Bi)

donc en faisant

27) (-ir'.p. = a(«.-g. -^.^)iV/f.-«„^.(^i^"^),

on aura

et donc

ou bien

r<?m dx

=iosr-^^+^-^o+io.^r^^+^-"Wioc>r-!v^^u...+iogr '"''"'''' y

Dfins cette expression s„ est tout au plus du degré (?î — 1) et p„ est nécessairement du degré {n — 1 -j- èsj), dout on peut se convaincre de la manière suivante.

En différenti.int l'équation

29) al^ . N-^l . 72, = (- 1)—.*.,

on trouvera la suivjmte:

OU en multipliant par a^N,

alN{2Xda,„ + a^dN) — 2a^ii^d-]r„NR^ — tJla„NdR^=: (— 1)"-' .a„Nd,9„. ^Mettant ici à la place de «^iV sa valeur tirée de l'équation (29), on aura, (--ir-'s^(2Xda^-\-f<„dX)-\-,'i„(2NR^f]^da„-\-a^(3^RdN-2u^d,i,„NR^—i^^^^^

= ( — l)"'-^ce„Nds,„, c'est-à-dire, fir.{2 («„<.'„— ,'7„rf«„.) NR^ — «„.^„ {R^dN— NdR^)) = (— l)"-i (*.„(23W«„ + a„dN) — arnNds^). En vertu de l'équation (27) le premier membre de cette é(|uation est égal à /^«( — ly-^ ç^dx: donc on aura,

'?n\ p , 2VVria„ , a„rfiv \

\ dx dx J

'2Ndt . a„rfiVN Nds„ (f

Puisque ds„, < j}, le second membre de cette équation sera nécessairement du degré {ds„ -f ON -{- àu„ — 1).

Or de l'équation (29) il suit que

donc âç^ = ôs^ + M±^^ 1 ;

or (5i^^+(57^J=2^^,

donc âç„ = (Jj'^ + w 1,

c'est-à-dire, (>„ est nécessairement du degré (âs^ -j- ?< — 1).

Il suit de là que la fonction — est du degré (« — 1).

Faisant dans la fornuile (28) N=l, on aura t^ = r, et par conséquent où, suivant l'équation (50),

L'équation (28) donne, en faisant *„. = «,

52) /"i^^ioo-r^y^^^jV^Wio-r^'+^^w -noo-r™^^^')

où

et lorsque N^\,

53) Z:^ = log r'-:±^W log r'vt^^ . +ioc.(^':î!^-:^^

où p :^ 2 '^-...

D'après ce qui précède, cette formule a la même généralité que la formule (52) et donne toutes les intégrales de la forme / ^, où p et iî sont des fonctions entières, qui sont exprimables par une fonction logarithmique de la forme log f-^ + ^^-^V

Dans l'équation (28) la fonction — est donnée par l'équation (50). Mais

on peut exprimer cette fonction d'une manière plus commode à 1" aide des quantités t^,r^, r^, etc. //, /z^, //^ . . . etc.

En effet soit

on aura en différentiant,

r+\/R r -VR

OU en réduisant,

r .dRindr 1

Or nous avons vu plus haut, donc en multipliant par s^^^

*m • *m-i ^^^ *ra-i *m-2 "T '*."in-i • *m-i • ^'m-i '**m-i • /'m-iS

c' est-à-dire,

vfr 'm '^'^ïa— 1 /'ni— 1 ^ m— j 9

donc en substituant cette quantité,

"m • "III— 1 "m— 1 • "m— 2 | ' rn— 1 m 5

d'où l'on trouve par transposition,

Il suit de cette équation que r^ -\- *„ . *„^j a la même valeur pour tous les m et par conséquent que

*'ni ~r *>» *'»-i ^^^ ^"i" ~r **i !

or nous avons vu plus haut que, r^ -\- ss^ = R, et par suite,

54) jF? = ?■=„ + *,„. *„.!.

Substituant cette expression pour R dans l'équation (55') on aura après

les réductions convenables:

, 'ldr„ ds., r,„ rf«„-i /„

^ *'" ~vR ^ ■ 'VR «^ ' VR ' mais puisque /•,„= 2*m i /f„^-i — ?m j, le terme — ^°'~' • -^- se transfornic

en — 2(<„,, . ^''~' -I ^^ • -i^^ • On obtiendra donc,

' * VR «".-i /«

dz^ = (2.//V - 2/'.-, rf.'.-.) • 7-^ - — • 7^ + -z:t • 7« '

et par l'intégration,

Cette expression est, comme on voit, une formule de réduction pour les

intégrales de la forme /— . -^ . Car elle donne l'intéffrale /— ^- -^

par une autre intégrale de la même forme et par une intégrale de la forme

/*—^, où t est une fonction entière.

Mettant dans cette formule à la place de m successivement m — Im — 2, . . . 3, 2, 1, on obtiendra m — 1 équations semblables, dont la somme produira la fonnule suivante (en remarquant que ?'o=2*/f — i\ = t^N en vertu de l'équation ^j -f- ti^=^ 2,s^i).

-\-J 2{(h\ + (b\ -\-(b\-\-...-\- dr^ — // ds — fi^ds^ — fi^ds^ ... — // m-i ds „j) -— .

— ">~7? * Différentiant l'expression

on aura après quelque réductions,

,^ 2dt.^NRi — t^{R^dN— NdR^)

{t^^N—R^WH Or on a

substituant donc cette valeur de li^ dans l'équation ci-dessus, on trouvera

dz = {2Ndt^+t,dN)^-^. '^, donc en intégrant

J s \/R ^ il 1 > ^/R

L'expression \o\vc j -^ ■ -^ se transformera par là en celle-ci,

-\-j-p^{Ndt^-\-\t^dlS-\-di\-\-di\-Y----\-dr„, — /'f/*— /'//•?!— ••• — /'m-i^/-ym-i), c'est-à-dire, en mettant à la place des quantités z, z^, «o» • • • J'"urs valeurs,

36) f^ . JJ:-

' J s. VR

Cette formule est entièrement la même que la formule (28); elle donne:

O/ ) — . (lx= —

+ 2(Tf/^, + ^t,dy + rfn + . . . + r/;-„ - ^ids - f^^ds^ - ... - fu-rds^-,). Mais l'expression ci-dessus dispense du calcul des fonction «„ et ,j„.

Si maintenant *„ est indépendant de x, l'intégrale f—^- "* s'évanouit et on obtient la formule suivante:

Lorsque dans l'expression (56) ]V= 1, on aura f^ =r et par suite:

et lorsqu' on fait *„ ^ « :

En vertu de ce qui précède, cette formule a la même généralité que (58), et donne par conséquent toutes les intégrales de la forme /— , où ^ est une fonction entièie, qui peuvent être exprimées par une fonction de la forme

loo- (P+^v'Ji)

Nous avons vu ci-dessus que

2[j.j etc.

donc, lorsque N=l,

En général les quantités ^o, fi^, fi^, fi^... sont différentes entre elles. Mais lorsqu'une des quantités s, s^, s^. . .s„ est indépendante de .r, la fraction continue devient périodique. Cela on peut démontrer comme il suit.

On a ?'m+i+*m-*m+i=-'? = ^''' + *»

donc, lorsque s^^n,

Or ^>'in+j = (5r, as < (5r, ().y„^.j < dV. Cette équation ne peut donc subsister à moins qu'on n'ait en même temps,

Or puisque ^^^ =e(^^"^),

on a de même /.ij^^^ = a . E(-^j; mais E(^J==/ii,

donc ii,^^^=ftft.

On a de plus

donc ayant *m = «5 ^'m+i = ''^ /'m+i =: «/' 5

on en conclut "^m+2 = ''^(l H" 4/'»' — 4/'^*);

or *j = 1 -f- 4//?' — 4/<V,

donc s^^^ ■= as^

On a de même i\+^ = 2/v+j*„+j — r^^^ =: 2fjs — r,

et ï'j = 2fjs — ?*,

donc r^+2 = ^'1 5 d'où l'on tire

donc //„+j = ^ .

En continuant ce procédé on voit sans peine qu'on aura en général:

Le signe -|- doit être pris lorsque n est pair et le signe ■"— dans le cas contraire.

Mettant dans l'équation

n à la place de s^, on aura,

('•m — r) (?•„ -\-r) — s — as^. , .

11 suit de là

^ m '% *in-l

a Or /,, = £(^), donc ^i^=.-^.E{r);

c'est-à-dire fi^ = — .r.

On a de plus t-^ + 7Vi = 2*n,-i/"m-i ,

c'est-à-dire, puisque r^ = r, s^i = ~.

Or r -\-r^=i 2s fi , donc

On a . r^ 1 4- *„i . *^2 = 7-2 -f ^;y, ,

c'est-à-dire, puisque *„i = — ,

(^'m-l + ''i) (''ra-1 — ^-l) = ^ («*1 — *m-2).

Or nous avons va que

donc en substituant,

2 ('Wi + ^i)(/'m-i — «/') = «"^1 — *m-2-

Cette équation donne, en remarquant que à (r^^^^ + ^j) > ^ («*i — ^m-a)»

et par conséquent r^., =?\.

Par un procédé semblable on trouvera aisément,

et en général:

eO\ I *'>i»-n ^'n-1 J *m-n O , S„i

■ptioii

A) Soit m un nombre pair = 2k.

Dans ce cas on voit aisément, en vertu des équations (41) et (42), que les quantités r, r^, r^ r^.. . s^ s^, s^. . . /ti, ^^^ /"a • • • forment les séries suivantes :

0 1 2 ... 2k-2 2k-l 2k 2k-\-i 2k-\-2 . . . Ak-1 Ak 4k-\-l U+2 Ak+5 4A-+4

i\ etc

aSj

*2 etc.

Ufl

afi

^l^ etc

B) Soit m un nombre impair =2A- — 1. Dans ce cas les équations

et s^i^^^i = a

donnent pour ?< = k^

Si:i = a^^ ■ Sk.ij donc a= 1.

Les quantités r, r^ , etc. s, s^ etc. ^i , fi^ etc. forment les séries suivantes :

1 2 . . . k—2 k—i k k-\-l . . . 2^—2 2k— 1 2k 2k-\-l 2k-^2 etc.

*ft-2

*A-1 *A--2 /'fc-1 ,"ft-2

^ft-2 *fc-3 i"A-3

etc.

On voit par là que, lorsqu'une des quantités s, s^, s^ . . . est indépendante de X, la fraction continue résultant de }^Ii, est toujours périodique et de la forme suivante, lorsque *„, = «:

a ^ etc. ^. ^ 1

Lorsque m est impair, on a de plus a = 1 , et par suite :

2ij.j + etc.

Le réciproque a également lieu; c'est-à-dire, lorsque la fraction continue résultant de YR ^ 1^ forme ci-dessus, s^ sera indépendant de x. En effet soit

on tire de l'équation ?■„, = s^ . //„ -|- ^m ,

Or r„ = r„j — 2f„i, où âe^^<dr, il est clair que i\=r-\-y,^, on dy^<âr. On tire de là

et par conséquent s^ = a, ce qu" il fallut démontrer.

En combinant cela avec ce qui précède, on trouve la proposition suivante : "Lorsqu'il est possible de trouver pour y une fonction entière telle, que

"la fraction continue résultant de YR sera périodique, et aura la forme suivante :

2^^2ir;+etc.

"et réciproquement, lorsque la fraction continue résultant de YR a cette forme,

"il est toujours possible de trouver pour ç une fonction entière qui satisfait à l'équation, ^

J >/R — ^\y-VR )' "La fonction y est donnée par l'expression suivante:

2iJ-i +-;i — ■

Dans cette proposition est contenue la solution complète du problème proposé au commencement de ce mémoire.

Nous venons de voir que, lorstjue s ^ est indépendant de .r, on aura toujours s =s , et lorsque s est indépendant de x, on aura s^ = cs^ , où r est constant. Le réciproque a également lieu, ce qu'on peut démontrer comme il -suit:

L Soit d' abord s, ^s, ,

On a 1'"^^ ^ 4- s, . s, =z rf 4- s, . s,

or *, =^2' <ïo»c r,. = r^. ^ .

Déplus r^ = f,^.s^-\-f^,,

*'fc-2 ^= f'k-i *A-2 + ''a-2 '

donc r^ — i\^ = *, (/', — ^i,^) + ^, - *,, •

Mais r, = r, r, =i\ A-2,t, ,

donc en substituant,

Cette équation donne, en remarquant que ^f).<às^.; ^f^. <^*fc 2'

Or r^ = r^ — 2«^, donc, en vertu de la dernière équation,

, donc, en vertu d et puisque v^^ = ^'a. — ^f^, on en conclut,

donc * = jT .

fc+ 1 A— 3

En combinant cette équation avec celles-ci,

on obtiendra,

Or on a, 7-^,^^ = v^^, et r^^ = >y^ - 2,^^,

par conséquent, 0 = s^^^ (c,^^^ - f,J + e^^^ + e^^ .

Il suit de là, // =z u^

Eu continuant de cette manière, ou voit aisément qu'on aura en générai:

k+u A-ii-l' ' A+.. rk-n-2'' k+n A-.U2-

En posant dans la dernière équation n = k — 1, ou trouvera,

Or il est clair que s^ est la même chose que 1; car on a en général,

donc en faisant vi^O,

mais R = i'- -\- s, donc *.i = 1 , et par conséquent,

Vi = ^•