II. Soit en second lieu s^ = cs
On »' ^ = f\. ■ \ + ^A- et V, = //,^ . *,^ + f,^ ,
•*""*•' 'a - ^.x = *..! (^/'a - f'kJ + 'A - ^A.r
Or, ,.^,.^^=2.^ ^, donc,
0 = *A-t(''-"A-/Vl) + ^A+'A-l-
Cette équation donne,
J Donc des équations.
f'k=--flc-l' 'k = — h-l-
'\ — Vi = - 2^,. , ^•,+, — ^ = — 2^,,
on obtient en ajoutant, On a de plus,
^A+1 + *t • *A+i — ^k-1 + Vi • *fc-a'
et
puisque,
t-i et*,=
on
en conclut
En continuant de cette
manière,
on :
aura,
'le *■ 5
c'est-à-dire, s^^ est indépendant de a:.
Cette propriété des quantités s, s^, s^ etc. fait voir que l'équation s —a est identique avec l'équation s^= a^^ . s^^ et que l'équation ^^^^ = 1 est identique avec l'écpiation s^= .y^^. Il suit de là que, lorsqu'on cherche la forme de R qui convient à l' équation s^^= a, on peut au lieu de cette équation poser .Vj= «'^'. *, j, et lorsqu'on cherche la forme de R qui convient à l'équation .ç^j j^l, il suffit de faire *^=:*^ ,j, ce qui abrège beaucoup le calcul.
En vertu des équations (41) et (42) on peut donner à l'expression (iO) une forme plus simple.
a) Lorsque ?« est pair r= 2A", on a:
ijvjî ('^''+^^''i+ • • • +ff^\-l + ¥'\—^'ff^—^'lf^^l— ■■■ — i"t/*i i)
b) Lorsque m est impair ^2k — 1, on a:
Pour appliquer ce qui précède à un exemple, prenons l'intégrale
r 9ji^ .
J Vi^* + OLj;^ + P-a^* + yj + 8) On a ici dR = 4:, donc les fonctions s, s^, s^, s^ . . . sont du premier degré, et par suite l'équation *„ = const. ne donne qu'une seule équation de condition entre les quantités «, /■?, y, d, f.
Faisant
ou aura.
r=x*-{-ax-{-b, s=c-\-ex. - . , ;;
Pour abréger le calcul, nous ferons c = 0; donc s = ex, et par conséquent,
c' est-à-dire
fi = \- — , f = b.
De plus
r^ = r — 2( = x^-\- ax -\- b — %b ^=. x'^ -\- ax — b,
x'^ + ax — b
ae , e^
Soit maintenant en premier lieu
Alors l'équation,
*j = constant.
donne 6 = 0,
par conséquent, r ^x^ -\- ax.
c'est-à-dire, puisque // = , s = ex,
J V ((x2+ axf+ex) **° Vx2+ ex - ;/ -R /
Cette intégrale se trouve aussi facilement en multipliant la différentielle en haut et en bas par x.
Soit en second lieu s^ = constant.
Dans ce cas la formule (45.) donne, k étant r^ 1,
^ f^n «"■+i'"-.-..*)= kK^)+ è loi(^) •
Or r équation s^ = const. donne s^ = es, donc,
— X -\ h 1 = cex.
L'équation de condition sera donc —^4" 1 = 0, c'est-à-dire,
e e = — ^ab
donc R =1 {x^ -\- ax -f- hf — ^abx.
De plus, // étant = ^i^, r =z x"^ -\- ax -{- b , r^ = .r' -f- ax — h, on aura
la formule,
./ V((s^ + aj; + b)^-iabx) " \s^ + as+b - ^R J'^^ ^\j^^ + as-b - </ R J '
Soit en troisième lieu *3 = const.
Cette équation donne 6=5^, c'est-à-dire,
On tire de là,
e = ^2b{a±V{a-'-\-Ab)).
La formule (44) donne par conséquent, puisque k z= 2,
/(.jj- + 3 fl + A •(« - + 4*)) . ds y ((j-2 + ffx + 6)2-26jr («+ /«'^ + b))
~ "Vx^ + ax + ô-v/i?/ ^ •■' Var^ + flj^-A.^jîy- Si par exemple « = 0, i=l, on aura cette intégrale:
./ \/'{(s-' + ir--4j;) ' V2 + 1 - V ((x2 + l)2-4ay " ^ J^^.i . v/((x2+ 1)2 -4j')/
Soit en quatrième lieu .v^ = const. Cela donne s^=zcs^, c'est-à-dire:
On en tire, en comparant les coefficiens et ensuite en éliminant c,
(P ^ Aobf = i6b^ — e{e-\- Aab), ^ ) 6rt6 . <> = 8^»' — 8rt'^*%
<• = — 3a6 =F V^C»^'' + «'^^) = — * ((3« + !/(«' + 8^)). En vertu de cette expression la formule (43) donne,
n (6j + j«-jv/(a2 + 8&))rfj ^ ^ f x"^ ^ ax ^h ^ s/ R \
J |/((.r2 + flj + 6)i-6(:ia+ t/(a2+86))j-) " Vx^ + flj+ 6 - y/^ /
, ,^ /x2 + .x-6+^7?\ ■ /x2 + ax + ia(a-v/(a2^86))+/J?x
^ " Vx2+«x-è -■/iî/ ' ^ " Vx2 + flj + io (a -■/(«* + 86)) - /*^
Si l'on fait p. ex. o = 0, b-^^, on obtiendra:
De cette manière on peut continuer et trouver un plus grand nombre d'intéo;rales. Ainsi p. ex. l'intégrale
peut s'exprimer par des logarithmes.
Nous avons ici cherché les intégrales de la forme / -?-^ qui peuvent s'ex-
primer par une fonction logarithmique de la forme log f ^- — /jt) ' ^" pourrait rendre le problème encore plus général et chercher en général toutes les intégrales de la forme ci-dessus qui pourraient s'exprimer d'une manière quelconque par des logarithmes; mais on ne trouverait pas d'intégrales nouvelles; car le théorème suivant très remarcjuable a lieu:
"Lorsqu'une intégrale de la forme / -~^5 où q et R sont des fonc-
"tions entières de x, est exprimable par des logarithmes, on peut tou- "jours l'exprimer de la manière suivante:
"où A est constant, et /? et «y des fonctions entières de ar." Je me réserve de démontrer ce théorème dans une autre occassion.
.:( IM» I i>!
Recherche sur la série
J^i Ton fait subir au raisonnement dont on se sert en général où il s'agit des séries infinies, un examen plus exact, on trouvera qu'il est en entier peu satisfaisant, et que par conséquent le nombre des tbéorènies, concernant les séries infinies, qui peuvent être considérés comme rigoureusement fondés, est très limité. On applique à l'ordinaire les opérations de l'analj'se aux séries infinies de la même manière que si les séries étaient finies, ce qui ne me semble pas permis sans démonstration particulière. Si par exenjple on doit multiplier deux séries infinies l'une par l'autre, on pose
K + "i + "i + "3 + '-t<-'-) (''0 + ''1 + ^'2 + *'3 + etc.)i=?/o^'o+K ?^4-«i*'o) + ("0 *'2 + «1 ^\ 4- "2%) + etc. . . . + (wo''^»+ «1 «^«-1 + «2*'«-2+ • • • + >'n ?'o) + etc. Cette équation est très juste lorsque les séries «„ ~l~ "1 -f~ • • • ^^ ''0 + '^i"l~--sont finies. Mais si elles sont infinies il est d'abord nécessaire qu'elles convergent, car une série divergente n'a pas de somme, et ensuite la série du second membre doit de même converger. C'est seulement avec cette restriction que l'expression ci-dessus est juste; mais, si je ne me trompe, jusqu'à présent on n' y a pas eu égard. C est ce qu'on se propose de faire dans ce traité. U-y-a encore plusieurs opérations semblables à prouver, p. ex. le procédé ordinaire de la division d' une quantité par une série infinie, celui de 1" élévation d'une série infinie à une puissance, celui de la détermination de son logaritbme, de son sinus, de son cosinus, etc.
Un autre procédé qu'on trouve fréquenunent dans l'analyse, et qui assez souvant conduit aux contradictions, c'est qu'on se sert des séries divergentes pour l'évaluation des valeurs numériques des séries. Une série divergente ne
peut jamais être égale à une quantité déterminée: elle est seulement une expression jouissant de certaines propriétés, qui se rapportent aux opérations auxquelles la série est sujette.
Les séries divergentes peuvent quelquefois servir avec succès de symboles pour exprimer lune on l'autre proposition d'une manière abrégée; mais on ne saurait jamais les mettre à la place des quantités déterminées. Par un tel procédé en peut démontrer tout ce qu'on veut, l'impossible aussi bien que le possible.
Vue des séries les plus remartfuables dans l'analyse algébrique est celle-ci: m 1 m{m-l) - . m{m-l)(m-2) , , 7» (;«-!) (>«-2). ..(m-(»-l))
^"•"-T ■! rT2~ "1 îTâTs"- +-^ 1.2.3 ...« -^ +®**^-
Lorsque m est un nombre entier positif, on sait que la somme de cette série, qui dans ce cas est finie, peut s'exprimer par (l-j-.?)"'. Lorsque 7u n'est pas un nombre entier, la série ira à l'infini, et elle sera convergente ou divergente, selon les dift'érentes valeurs qu'on attribue à wj et à .r. Dans ce cas on pose de même l'équation
(l + .rr = l + -f ..r + ^^.-^-^ + etc.
mais alors l'égalité exprime seulement que les deux expressions
(l + ,-)".et l + ^.r-f-"^.r^+...
ont certaines propriétés communes desquelles, pour certaines valeurs de m et de X, dépend l'égalité des valeurs numériques des expressions. On suppose que r égalité numérique aura toujours lieu, lorsque la série est convergente; mais c'est ce qui jusqu'à présent n'est pas encore démontré. On n'a pas même examiné tous les cas où la série est convergente. Lors même qu'on suppose l'existence de l'équation ci-dessus, il reste pourtant à cbercher la valeur de (l-f--^)*"» «-'ar cette expression a en général une infinité de valeurs différentes, tandis que la série 1 -|- tn.r -f- etc. n'en a qu'une seule.
Le but de ce mémoire est d'essayer de remplir une lacune par la résolution complète du problème suivant:
"'Trouver la somme de la série
l-ir"- r^-"^"^ x" + m{mA){m-%) ^.3 , ^^^ ~ l '1.2 ~ 1.2-3 ^
"pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de x et de in pour ies-
"quelles la série est convergente."
Nous allons d'abord établir quelques tbéorèmes nécessaires sur les séries. L'exellent ouvrage de M. Cauciiy "Cours d' analyse de V école polytechnique", qui doit être lu par tout analyste qui aime la rigueur dans les recherches mathématiques, nous servira de guide.
Définition. Une série quelconque
«V + «'i + *'2 + • • • + «^m etc.
sera dite convergente, si pour des valeurs toujours croissantes de m, la somme Vç,-\-v -|- ...-)-«?„, s' approche indéfiniment d'une certaine limite. Cette limite s'appellera la somme de la série. Dans le cas contraire la série sera dite divergente, et elle n'a pas de somme. D'après cette définition, pour qu'une série soit convergente, il est néccessaire et il suffit que pour des valeurs toujours croissantes de w, la somme %, + ^'n,+i + • • ■ + î'm+n s'approche indéfiniment de zéro, quelle que soit la valeur de n.
Donc, dans une série convergente quelconque le terme général v^ s'approchera indéfiniment de zéro ).
Théorème I. Si en désignant par ç^, ç^, ^^ . . . une série de quantités
positives, le quotient -?^ pour des valeurs toujours croissantes de m, s'approche indéfiniment d'une limite a, qui est plus grande que 1, la série
fo Po + ^ Pi + «, P2 + • • • + '^n, pm + • • •
OÙ f m e**t ïi"6 quantité qui pour des valeurs toujours croissantes de m ne s'approche pas indéfiniment de zéro, sera néccessairement divergente.
Théorème II. Si dans une série de quantités positives (^o H~ Pi H~ Pa • • • 4- Q^ le quotient ^^ pour des valeurs toujours croissantes de m s'approche indéfiniment d'une limite, (pii est plus petite que 1, la série
fo Po + f 1 Pi + f.2 P2 + • • • + ^m Pnp
OÙ f^, f^, f^ etc. sont des quantités, qui ne surpassent pas l'unité, sera nécessairement convergente.
En effet d'après la supposition on peut toujours prendre m assez grand pour que p,„+i < «()„, (),„+3 < «?,„+,, . . . (;,„+„ < a()^+„i. Il suit de là que Pm+k < "-''" • pm et par suite
♦) Pour abréger, on signifiera dans ce me'moire par o une quantité qui peut être plus petite que toute quantité' donne'e.
P,„ + Pm+l + • • • + Pm+n < ?■„+„ (1 + « + «*+... + «'')< -j?^,
donc a plus forte raison
fm Cm + ''m+l Pm+i + ^m+n Cm+n < -^~ •
Or pm^.,. étant <«* . p^, et « < 1, il est clair que p.^ et par conséquent la somme
fin Pin + ''m+i • Pm+l 4" • • • 4" ''ra+n Pm+n
aura zéro pour limite. La série ci-dessus est donc convergente.
Théorème III. En désignant par t^^, t^, t^,...(^„ une série de quantités quelconques, si /*,„ = /„-)- f^ -|- ^^ -j- ... -j- ^m •• • ^^t toujours moindre qu'une quantité déterminée â, on aura
où ;„, fj, f ^ . . . sont des quantités positives décroissantes. En effet on a
fo=^Po, ti=Pi—Po, t^=p2—P, etc.
donc ?• = e^p^ + f j (/>j — pj 4- f ^ (^^ —p^) + . . . + tjp^ —P,n-i), ou bien
»• = /'o (^o — ^) + /> , (^ — f 2) + • • • + /^.n-1 (^«-1 — f ra) + Pm ^ m-
Or les différences f^, — s^, fij — s^, • • • étant positives, la quantité 7' sera évidemment moindre que ^f^.
Définition. Une fonction /"(.r) sera dite fonction continue de o^ entre les limites x^a et x=b, si pour une valeur quelconque de .r intermédiaire entre ces limites, la quantité f\x — fi), pour des valeurs toujours décroissantes de ji, s'approche indéfiniment de la limite fÇv).
Théorème IV. Si la série
m = ^O + *'i« + ^'2«*+ • • • + *'m«'" + • • • est convergente pour une certaine valeur à de «, elle sera aussi convergente
pour toute valeur moindre de «, et, pour des valeurs toujours décroissantes de /?, la fonction f{u — ^) s'approche indéfiniment de la limite /"(«), supposé que a soit égal ou inférieur à (5^.
Soit r^J^v^uJ^,^r^^a^i=,(f{a\
«'m"'" + *'m+i«'^'+ etc. . . . = V'(«)5 ^ia) = (I)" . r„r + (1)"^'. vw.^-'+^ + etc.
donc, d'après le théorème (III), M'i")<C~)-P, P désignant la plus grande
des quantités vj-, v^d^+ v^.^xà^\ vj- + v^^,à-+' + v^^d^^^ etc. On pourra donc pour toute valeur de «, égale ou inférieure à è, prendre m assez grand pour qu'on ait
1/) («) = co .
Or /■(«) = t(«) h- !/■(«), donc /■(«) — f{u — ft) = cp{a) — (p{a — ft) + c).
De plus (p{(() étant une fonction entière de a, on peut prendre [i assez petit pour que
(p{a)— y(« — ,5)=zoj; donc de même /"(«) — /"(« — /5) == a,
ce qu'il fallut démontrer.
Théorème V. Soit
une série convergente, dans laquelle «?„, 7\, t\... sont des fonctions continues d'une même quantité variable x entre les limites xr=za et x = b, la série
où a<,à, sera convergente et fonction continue de x entre les mêmes limites.
Il est déjà démontré que la série f{x) est convergente. Que la fonction f{x) est continue pourra se démontrer comme il suit. Soit
on aura
Or
donc en désignant par 6{x) la plus grande des quantités v^à'', i'in(5"' + *'m+i^'"'*"'' ''m'^"'-f-^m+i^"^* 4~ ^'ra+a'^"'"'^* ^t*'- **" ^^^^ ^" vcrtu du théorèmc (IH):
Il suit de là qu' on peut prendre 7n assez grand pour qu' on ait i/^ {x) ■= w, et que par conséquent aussi
/•(.r)=:7)(.r) + co, ou 0) est moindre que toute quantité assignable. On a de même
donc fi^) — f(x — li) = (p{a:) — (f {.v — ,-;) -)- a .
Or par la forme de (f{x) il est clair qu'on peut prendre fi assez petit pour qu'on ait
d' où r on tire f{.v) — f{.v — f]) = m.
Donc la fonction f{x) est continue ).
Théori'me VI. Lorsqu'on désigne par p„, ç^, p„ etc. ç\, (j\, p'., etc. les valeurs numériques des membres respectifs des deux séries convergentes
^'o +*'i +*'o -\- •••=!}, et %\-{-v\-\-v'„-\-...=^p', si les séries
Po + Cl + P2 + • • •
c'o4-(>'iH-e2 + ---
sont de même convergentes, la série,
/•^ -f- **! ~l~ ^'o -f- • • • ? dont le terme général est,
sera une nouvelle série convergente, qui aura pour sonune,
Démonstratioîi.
En faisant,
Pm = '-'o + «'i + • • • + «'n
on voit aisément que
*) Dans l'ouvrage cité de M. Caiichy on trouve (page 131) le théorème suivant: "Lors- "que les différons termes de la série, Mq + Mj + y/j + . ..etc. sont des fonctions d'une "même variable x, continues par rapport à cette variable dans le voisinage d'une va- "leur particulière pour laquelle la série est convergente, la somme s de la série est "aussi, dans le voisinage de cette valeur particulière, fonction continue de x." Mais il me semble que ce théorème admet des exceptions. Par exemple la série,
sin 9 — if sin 29 + -^ sin 89 — ... etc. est discontinue pour toute valeur (2/k+1)x de jr, où m est un nombre entier. Il y a, comme en sait, plusieurs séries de cette espèce.
Soit
Co 4- p, +p2 +••• = «»
et (>'o+p'i+ (''2 + ••• = «'»
il est clair que sans égard au signe on aura,
t < " (C'îm + C'am-l "h • • • + P'm+l) t' < "' (Qim + P2m-l 4- • • • + ?ra+l)
Or les séries Co + d + P2 ~l~ • • • ' ^^ P'o + P'i + c'2 H~ • • • étant convergentes, les quantités t et /', pour des valeurs toujours croissantes de m, s'approcheront indéfiniment de la limite zéro. Donc faisant dans l'équation (a) m infini, on aura,
7-0 + ï-j -f r^ + ?■, + etc. = (v^ + «^1 + f\ + etc.) {V^ + v\ + z^'^ + etc.) Soient t^,, t^,t^, etc., <'„, t'^, V^ etc. deux séries de quantités positives et négatives, dont les termes, généraux s'approchent indéfiniment de zéro, il suit du théorème (II) que les séries,
^0 + ^1" 4" ^2"*"!" etc., et <'(,-)- #'j« + <'2«' + etc., où « signifie une quantité inférieure à l' unité, doivent être convergentes. Il en sera de même en attribuant à chaque terme sa valeur numérique, donc en vertu du théorème précédent: (^0 + ^« + ^2«' + • ■ • ) (^'0 4- t\a + <'^«' 4- • • •) =
^0 ^'0 + (^ <'o 4- ^0 i\) « 4- iK *'o + ^ ^'x 4- ^0 t'ù «' 4- etc. • . • 4- ('m /'o + ^m-i t\ + ^„.-, ^', 4- • • • 4- ^0 t'J «" 4- etc.
Maintenant si l'on suppose que les trois séries,
^0 + ^ 4- ^. 4- etc.
^'o4-^'i4-^ + etc.
^0 t', + {t^ f\ + t, t\) + {t^ t\ + t^ t\ + t, t'J + etc. soient convergentes, on trouvera en vertu du théorème (IV), en faisant dans l' équation (b) a converger vers l'unité:
('o4-^ + ^,4----)(^'o4-^\4-^4----) = to t'o + (t, ^'0 4 ^o t\) 4- («2 ^'0 4- 1, t\ + ?o t\) + etc.
in.
Examinons maintenant la série proposée,
En la désignant par if>{m), et faisant pour abréger, l = 7Wo, ~—=.m^,
j. ' • 1 m . (mA) . . . (m-[}.+l) ^ „ „„„.
z=m^, et en gênerai ^ ' — ^^ — i- — '- = w^, on aura:
1. qr {))>) = ?Ho -\- )H ,.r -)- ?«^.r'' -j- . . . -| 7w„.r." + etc.
II s'agit d'abord de trouver les valeurs de m et de x pour lesquelles la série est convergente.
Les quantités m et .r pouvant en général aussi être imaginaires, soit .r = ff + 6 V—i, in = A" + A' K— 1,
où a, b, k, k' sont des quantités réelles. Substituant «es valeurs dans l'équation (1), elle prendra la forme
où p et q sont des séries dont les termes ont des valeurs réelles. On peut trouver ces séries de la manière suivante:
Soit («* 4- b-f = c(, — := cos (f, — = sin (p ,
et l'on aura
X = « (cos (f -\- ]/ — 1 . sin cp), où « et 9 sont des quantités réelles, et en outre « est positive. Si l'on fait de plus
, 1 = (5,, (cos y„ -\-y — 1 . sm ;/„) = ^ ^ ,
on trouvera
Si dans l'expression
"""^"^ = ^\u (cos r,, + Y— 1 . sin y„) ,
on fait successivement /t égal à 1, 2, 3, . . . /.t, on obtiendra /n équations qui étant multipliées terme à terme donneront
ô\.S^.â^ . . . au (cos(;',+7^+ . . . + y,,)-\-Y—l . sin(/i + ;'^-f . . . +;',„)) On tire de là, en multipliant par
x'^ = «'"(cosqt)-)-l/ — 1 . sinç})'" = a'" {cos fi(p -\-Y — 1 • sin/K/), 7«,,a:^ = c/\ (^j.r^^.fVg. ..();,, (cos (,,(p+/^+;'2+...+ ;'^,) + v/—l. sin (/(7)+7^+;' ., + ... + /,,,)): ou bien en faisant pour abréger
ô\.d^.â^ ...ôu = ).^,, /'?> + /'i + ^2 + • • • ;'/, = (i,u- 7n„ . oc^ = P.„ . «'" (cos dj^ -\- Y — 1 • sin 0^) .
L'expression (1) se change par là en celle-ci,
ç(»0=l + A/<(cos6'j-f]/— 1 . sin^J + x^a^{cosÔ^-}-y—l . sinOJ + . . .
+ V"" («^osfl^+l/"— 1 . sinOf,) + . . . ou en celle-ci,
(p{m) = 1 + ^1^* • <^os (9j -|- A^a*^ . cos 0^-\- . ..-{- A„«'" . cos ^^+ • • P*^'- + }/■— 1 (A^a . sin ^^4- A^a'' . sin ^2+ • • • + V"'" • s»" Ô^-f . . etc.) On a donc
I /> = 1 + A,« . cos Oj + A^«'* . cos 0^ 4- ... + A„«'" . cosO„ + . . . \ q=: A^a . sin 6ij + A^f/^ • sin 6., -j- . . . + Auf{'" . sin ^^ + . . . Or je dis que ces séries seront divergentes ou cotwergentes selon que « est supérieur ou inférieur à l'unité.
De l'expression pour A„ on tire A«^,= t5,,^, . A^„ donc
A,„^, . (£'"^' = «(5~„^, . A„«'", et
niciis
\2-lè
donc pour des valeurs toujours croissantes de //, (5„ s' approchera de la limite 1, et par suite -^ de la limite «.
Donc en vertu des théorèmes (I) et (II) du paragraphe précédent les séries p et q seront divergentes ou convergentes suivant que « est supérieur ou inférieur à l'unité. Il est donc de même de la série proposée (f{m).
Le cas où «^1, sera traité plus bas.
Comme la série (p{m) est convergente pour toute valeur de a inférieure à l'unité, sa somme sera une certaine fonction de ;« et de jr. On peut, comme il suit, établir une propriété de cette fonction à l'aide de laquelle on peut la trouver: On a
(f{?n)=7ng-\- ?n ^x -{-m,^x'^ -)-••• + ^««.t^" + etc.
q>{n) =z //„-{- w^.^• + ii.;,v'^ + . . . + ^^„.r^' + etc.
où lift désigne la valeur de m^ pour m=n. On en conclut suivant le théorème VI:
r;(w) . cf {„) = t,t', + (Vi + ^^'o) + {f.f\ + 'J\ + tj',) + etc. + (fo^'f. + ^^',"-. + '/'/'- + • ■ • + ^.«^'o) + etc. où t^=mu^", f'„-=ti^x", supposé que la série du second membre soit couversente. En substituant les valeurs de f„ et ^'^ on aura: (f{m) . (f{n) = ;h„ v^ + (/w„ //, + 7h, n^)x + (?«„ ^/^ + '«i ^'i + »»2 "o) ^2 + • • •
Or d'après une propriété connue de la fonction m,, on a
(/// + //)„ = «/„ ?/„ + ???! /?„, + ?«2 ^,"-2 + • • • + W?^ WoJ
(w -j- «)„ désignant la valeur de ?«„ lorsqu'on y substitue m-\-îi pour w*. On
aura donc par substitution:
ff{m) . rf{n) = {m + y^o + ('" + '')i •^- + ('» + ")-2 -^"^ + • • . +(m + «)„.r" + etc.
Or d'après ce qui précède, le second membre de cette équation est une série convergente et précicément la même cbose que (f(ni •\- n)', donc 3) if{m) . (f{?i) = (f{m -\- /i).
Cette équation exprime une propriété fondamentale de la fonction (f{m). De cette propriété nous déduirons une expression de la fonction sous forme finie à l'aide des fonctions exponentielles, logarithmiques et circulaires.
Comme on a va plus haut, la fonction (f{ni) est de la forme p-\-qV^ — 1? jj et q étant toujours réels et fonctions des quantités k, k', ce et f, et m = k -f- k'Y — 1 ? -i" = « (cos (p -f- Y — 1 • sin (f). Soit
p -\- q Y — 1 = '■ (cos S -\- Y — 1 • siû s), et l'on trouvera
(/)* + q^f^= »'j ^ = cos *, -^ = sin .y,
?• étant toujours positif et s une quantité réelle. Soit
r =^f{k, k% s = i|(/<-, k'), et l'on aura, 3')p4<^y-l = ,^(/c + A-'K— l)==/(;^",A-')(cosv(^-,A-')+T/— lsinu(A",A:')).
On tire de la en mettant successivement /, /' et k -\- l, k' -j-l' ii la place de k et k':
(P{1 + l'Y— 1) = fiU') (cos ^{l, l) + Y— 1 sin v^{/, l')), ç(A-+/+(^'+/')7Al )=/-(A-+/, A"'+/')(cos If (A-+/, ^'+/')+K-l • sin »/^(^"+'. ^'+^'))- Or en vertu de l'équation (f{m) . (f{n)^=:(f{ni-\-7i), on a,
9;(A + / + (A' + /')K— 1) = cf{k-\-k'Y— 1) . ç(/ + /'l/'— 1), en faisant m = k -{- k'Y— 1, w = / + l'Y— 1- I^onc en substituant, on obtient,
f(kJ^l, k'-\-l') [cos yp{k-\-l, k-{-l<) + Y— 1 . sin xi>{k-\-l, ^'+/')] = nk,k') .fih l') [cos («KA-, A"') + ip{l, l') + ]/—!. sin (i/;(/r, k') + 1/;(/, /')]. . Cette équation donne, lorsqu' on sépare les termes réels des termes imares:
f{k-^l, k'+l<) . cos ^p{k+l, k'+l) = f{k, k') .f{}, V) . cos (v'(A, k') + 1^'(/, /')) , f{k+l,k'-^l') . sin rf.,(k+l.k'-\-l')=f(k,k') .f{l,V) . sin {x^ik,k') +if(/,/')). En carrant et ajoutant ces équations membre à membre on aura: {f{k+l, k'+l')f = (f{k, k') . f{l, l'))\ et de là
En vertu de cette équation les précédentes se transforment en celles-ci: cos V'(A + /, A-' -f /') = cos (»/(A, k') + i/'(/, /')) sin V'(A-+ ?, k'-\-l') = sin (<f (A-, k') + i/'(/, /')) d' où r on tire,
5) ^{k-{-l,k'-\-l') = 2niJt + ^{k,k')-\-^.'{l,l'), m étant un nombre entier positif ou négatif.
Maintenant il s' agit de trouver les fonctions f{k, k') et ip{k, k') des équations (4) et (5).
D'abord je dis qu'elles sont des fonctions continues de k et A-' entre des limites quelconques de ces variables. En effet d'après le théorème (V) p et q sont évidemment des fonctions continues.
Or on a,
f(k, k') = Oy^+ fff ; cos mk, k') = -/— ; sin ^k, k') =
donc f{k, k') de même que cos i/ (A-, k') et sin t/'(A", k') est une fonction continue. On peut donc supposer que i!{k,k') est aussi une fonction continue. Nous allons d'abord ex,iminer l'équation (o). Or ^{k, k') étant une fonction continue, il faut que m pour toutes les valeurs de k, k', 1, V ait la même valeur. Faisant donc successivement Z = 0, A= 0, on obtient,
ilik, k' H- /') = 2m7i + ^{k, k') + ^(0, l), i|,(/, /;■' [ /') = 2/«,T + v;(0. A"') + '^l{l, l'). En éliminant de ces équations et l'équation (o) les deux quantités if'(A", A-') et If' (/, /'), on trouvera,
xp{k. A' + l') + ^p{I, k' + l') = 2m7i + xp{0, k') + xp{0, l') + if-(A + I, k' -\- l'). Soit pour abréger
*") \ 2mrt + xpiO, k') + if(0, l') = a, on aura,
7) ûik) + fl(/) = « + 0{k + /)
Faisant ici successivement / = k, 2k, . . . ()k, on aura,
20{k) = a-\-fl{2k), 0{k) -{- (i{2k) = a -]- 0{3k), ti{k)-^ 0{3k) = a-\-0{U),
e{k) + 0{ç-l)k= a + 6{Qk).
En ajoutant ces équations on trouve,
7') çe{k) = {ç-\)a + e{ok).
On en tire en faisant A" r=: 1 ,
%) = ?(e(l) — «) + «, ou bien en faisant 0{\) — a:=^c,
Voilà donc la valeur de la fonction 0(k), lors(jue k est un nombre entier. Mais la fonction 0{k) aura la même forme pour toute valeur de k, ce (ju'on peut démontrer aisément comme il suit:
Si l'on pose dans l'équation (7') k = ~^, où /i est un nombre entier,
on en tire ç . d (-^J = {(^ — 1) « + O(^). Or en vertu de l'équation (8)
C{^') = cp + «• Donc en substituant et divisant par ç on trouve,
L'équation (8) a donc lieu pour toute valeur positive et rationnelle de q. Soit 1 = — k, l'équation (7) deviendra,
Il suit de là en posant ^ = 0,
6(0) = €1, et par consé{fuent 6{ — k) = 2a — 6{k). Or k étant rationnel et positif on a 0{k) = ck -{- a, donc,
e{ — k) := — ck-{-a.
L'équation,
9) 6{k) = ck-\-a,
a donc lieu pour toute valeur rationnelle de k et par conséquent, puisque 6{k) est une fonction continue, pour toute valeur réelle de k.
Or e{k) = ^ik,k<-\-l'), et a= ^mn + xp{0,k') -\ i/-(0, /'); faisant donc r = 6 (A"', /'), on obtient
iO) ^lik, k'-\- l')=e{k', V) . A- + 2m.T4- n> (O, ^') + V'(0, 1%
On tire de là en faisant A-=0,
0/(0, k' + /') = 2;»,T + 1/(0, A-') 4- 1/(0, /') . Cette équation étant de la même forme que l'équation (7), elle donnera de la uiénie manière:
i/'(0, k') = p> . k' — 2m7i, où (3' est une quantité indépendante de k'.
Mettant /' à la place de k', on obtient i^(0, l') = — Zniu -f- fi'l'-
Substituant ces valeurs de 1^(0, k') et de 1/(0, /') dans l'équation (10) on eu tirera
^p(k, k' -{-l') = e (k', l') . A- + /5' (A"' + 1') — ZmjT .
On voit par là que 6 {k', l') est une fonction de k' -\- V. En la désignant pai- F{k'-\-l'), on aura
^{k, k' 4- /') = F{k' + V) . A- + |î' {k' + /') — 2»i7i , et par conséquent en faisant /' = 0 ,
^l){k, k') = F{k') . k + ft'k' — Zmn. En remarquant que
^■(k, k' + /') = 2mn + V'(A", k') + V'(0, 1'), f{0,l') = ^'r — 2m7T, l'équation précédente donne,
F{k' + /') A" -f- p'(A' + /') — 2mji = 2mn-\- F(k<) . k-\-§'k' — 2w;r+ fJ'l' — Zmrr. C est-à-dire :
Donc faisant A"'^0, on obtient F{1')^ F{0) = [i = F(k'). Par suite la valeur de %{k, k') prend la forme,
11) yl{k,k')=ip.k-\- p'k' — 2mn,
ti et /S' étant deux constantes. Cette valeur de i/'(A', A-') satisfera à l' équation (3) dans toute sa généralité comme il est aisé de voir. Maintenant nous allons examiner l'équation,
fik + l,k' + l') = f{k,k').f(l,V).
f(k,k') étant toujours une quantité positive, on peut poser:
t\k,k') = e^^^^^'\ où F{k, k') signifie une fonetion réelle continue de k et k'.
En substituant et prenant les logarithmes des deux membres, on trouvera,
F(k + /, /,- + /') = F(k, k') + Fi/, l'). Comme cette équation coincide avec l'équation Ci) en mettaut F à la place de t/;, et 0 à la place de w<, elle donnera en vertu de l'équation (11):
où ô et d' de même que /^ et ft' sont deux quantités indépendantes de k et de k'. La fonction f{k, k') prendra donc la forme,
f{k, k)=ze Les fonctions ii<(k, k") et f{k, k') étant trouvées de cette manière, on aura d'après l'équation (5'),
15) (f(k-\-k-V— 1)=/^^'^'^' (cos(/9A" + ,5'A:') + l/-l .sin(,5^^+/ï'A-')), où il reste encore à trouver les quantités â, ô', /?, ^', qui ne peuvent être que des fonctions de « et de (p.
On a
q{k + k'V—l)=p-\- qV-1, où p et q sont donnés par les équations (2). En séparant les quantités réelles des imaginaires, on aura:
U^^'^'^'^' cos {§k-\-§'k')^\-\-l^ a . cos «,+;.2«^ cos ^2 + • • • + '^/.«'"- cos fl„+etc. '\e^^'^'^' sin(,?A"+,n"') = Aj « . sin (^^-\-}^a^.%n\ e^4....-f-A„a^.sin e„+etc. Nous allons d'abord considérer le cas où m est réel, c'est-à-dire où A"'=0. Alors les expressions (ii) prennent la forme,
Ile. cos j5A:=l-|- — a cos ff-\- '^ ' J a^ cos 2y + \ ,} ]. «' cos 3^ + etc.— /"(«) w\J 1 1.2 1.2.3
le. sm^jk = —asmcp-j ^—-^ ar sin 2cp + \ '^ ' or sm 3y + etc.=--^(«).
Pour trouver ô' et /?, soit A:= 1, et l'on aura:
e'^. cos /j = 1 -j- « • cos f/3 ; e'''. sin /S = « . sin y. •
On tire de là,
««O 4 1 + a cos © ^- a a . sin <p
cos p = ■■ , sin p = -^ r- ,
(1 + 2 a cos <p + a*)* \ (1 + a cos <p + a^)'
tang p : — ^
1 + a cos ç
Cette dernière équation donne, en désignant par s la plus petite de toutes les valeurs de (5 qui y satisfait, et qui est toujours renfermée entre les limites
et ---
/9 = * + fITT,
/il étant un nombre entier positif ou négatif.
Par là les équations (13) se changent en celles-ci:
f(tt) = e. cos k (s -\- /^iTi) ^=z e . cos ks . cos k/.i7T — e. siaks.sinkfm,
6{a)z= e sin k {s -{- /L(n)=:e . sin ks. cos k^in-\- e . co& ks . sin kfin. De ces équations on tire,
cos kfin = e~ (f{u) . cos ks -\- 6(a) . sin ks), sin k/jn = e" (6(«) . cos ks — /"(«) . sin ks) . Or, d'après le théorème (IV), Û{(() et /"(«) sont des fonctions continues de a; il faut donc que cos k/itn et sin kfm conservent les mêmes valeurs pour toute valeur de «. Il suffit donc pour les trouver, d'attribuer une valeur quelconque à «. Soit a = 0, et l'on aura, en remarquant qu'alors e'^=i:l,/'(«)=z:l, 0(«) = 0, * = 0,
cos kf^tn = 1, sin kftii = 0.
Substituant ces valeurs dans les expressions de f{u) et 6{a) et se rappelant que e'^z=:{l -\- 2« cos <jp -|- a'^)i , on obtiendra:
fi^') ^ (1 + 2« cos (p -\- u"^) 2 . cos ks, 6{u) = (1 -j- 2« cos cp + «') ^ sin ks. Donc enfin les expressions (lo) deviendront:
l+^«cosy+ ~~ u^ cos 2(p + -\ — ;^ ' u^ cos Sçp + etc.=(l + 2« cos cp -t- f<^)2 . cos ks, 1 1.2 1.2.3
— « Sin ç) + -rp— ^ « sm2y) + \ ^^^ ' o? sin 89) + etc.=(l + 2a cos ç) + «*) 2 . sin A*. .V étant renfermé entre les limites — ^ et -|- -s- et satisfaisant à l'équation
tang s
a . sin 9
l + a.cosqj
Les expressions (16) sont établies les premières par M. Cauchy dans l'ouvrage cité plus haut.
La quantité « est ici supposée moindre que l'unité. On verra plus bas que « peut aussi être égal à l'unité, lorsqu'on donne à la quantité k une valeur convenable.
Dans ce qui précède nous avons trouvé les quantités d et /î. Maintenant nous allons montrer comment on peut trouver les deux autres quantités inconnues ^' et §'. Faisant pour cet effet dans les écjiiations (14) A: = 0 etA:'=», on obtiendra:
e"^" cos {^'n) = 1 -f- A^a cos 0^ + ^a»* cos 0, + . . . etc.
«"^"sin {^'n) = A,« sin 6^ -\- ).^(? sin 0^ + . . . etc. où A^.=fT^.(V2.(V,...cT^,, e„=://7) + ;'i + yj+... + y^, du et j'„ étant déterminés par les équations
De ces équations on déduit les suivantes:
e*^'." cos O'w) - 1 X, /i I >>•' t .a\ ^^-—^ = — L . « COS Vy-\ =- «' cos "a + • • •
e'- sin (^'«) ^ X^ , ^^ ,i„ ^^ X^ ^. Sin e, + • • •
Or en supposant w positif on a, /.^ = d^=:w, donc -j^ =d3.(5"j...d'„, et par suite
''^" ^^'"^ = „ Sin e^ + à^u" sin 0^ + c^^rîja' sin 0, -f
„Jn
Ces séries sont convergentes pour toute valeur de w, zéro y compris, ce qu'on voit aisément par le théorème (II). En faisant donc n converger vers la limite zéro, et remarquant que les séries d'après le théorème (\^) sont des fonctions continues, on obtiendra:
à' = « cos d\ -\- à'^v?- cos 0' ^ -|- à\()\a^ cos h\-^ . . . , P' = a sin 0\ + è\a'' sin e\ + à\ô\a^ sin e\ + ...,
où à' et S' sont les limites des quantités ^'"'•"«"K^'^Q-l et ^'''•" ^'"^^'^'^ ; 6'
est la limite de 0„ et (5'„ celle de (î„. Or d'après l'expression de d^ on a (3'„ = ^~ ; donc cos /„ =r — 1 ; sin ;/„ = 0 (lorsque // > 1), donc
COS (rr„) = cos (//y + /i + /'2 + • . . + 7^,) = + sin (/"/^) • (— l)"» sin (Ô'„) = sin (^7) -\- y^-\- y^-\- . . . -\. ^„) = cos {^(f) . (— 1)", où il faut se rappeler qu'en vertu de l'équation
nV—l = di(cos Yi + V—'^ sin Yi), on a cos;'j=0, sin;'j^l. Donc les valeurs de [ï et ô' seront celles-ci:
($' = «. cosfp — ^a^ . cos2cp + ^ «' • cos 3cp — ... 'ô' = — (rt.sin^ — J-f'.^.sinS'/' + ia'. sinSqo — . .. De cette manière on a trouvé les quantités /î' et â' par des séries infinies. On peut aussi les exprimer en forme finie. Car on tire de l'équation (13): e'^hos&k — l , k-1 „ ^ . <k-U(/(-2) , „ ,
-^ = a . am cp -\- -j-^ a^ . sin2cp -\- \ [^ .^ ' «' • siuScp + . . .
II suit de là en faisant A" converger vers zéro :
. »N id = a COS cp — ^ ('.^. cos 2y -|~ -j «' <"os 5(f — etc. {jj = a sin (p — La^. sin 2cp -f- ^«' sin 5(p — etc.
donc fi' == â, â' = — ,?.
Donc les expressions (14) prennent la forme
\ ;.!« sin 0^-\- l^a"" sin 0.^ . . . + ;.„«.'' sin 0„ -f . . . = c'''^-?^' sin (,îA + àh') = q ,
où d = ^ log (1 -\- 2a cos (p -\- u% [j = arc tang ( , "^ "'" ^ — ) ; or la somme de
^ \ 1 + a cos ç /
la série proposée étant ==2^ -f- f/}^ — 1? on aura
J, OT^ . OT^?n--l) 2 , m{?n—-^)...(m — l). + ^) „ i
gcfk-zîk' (cos (^y^, | ^)j.'^ ^ i/ 1 . sin (,6V<: + (5A"')), où l'on a ni = Ji-{-k']/' — 1, x=a (cos (p-\-\^ — 1 sin (f) = a-\-by^ — 1; donc a =|/(«^ + ^2), « cos 93 = «, a sin 9 = ô, 4 =: ^ log (1 + 2« + «^ + ^'*) = i log ((1 + «)* + ^'),
^= arc tang f-j j. Substituant et écrivant m pour k et 11 pour A', l'expression ci-dessus prend la forme:
iq\/...l ('"+"/-!) (»»-! + « v/-1)(>»-2+wv/-l)...(/n-!J. + l + ?i y/- l).|^,/^Y„i^^^
= ((1 + ff)V^''=)Te"""'''"^ fc)[cos (w . arctang ( A^) + i-?^ log((l + af+ ù^j^
-\-Y — l-sin r?H. arctang (- — j+^Mlog((l+o)* + ^*)j .
Cette expression, comme nous avons vu, de même que l'expression (18) a lieu pour toute valeur de c.=|/(a''-|-i'*), inférieure à l'unité.
En faisant p. ex. b = 0, n = 0, on a l'expression 20) lJr'}-f> + i^^^- . rr + . . . = (!+«)■" (le laquelle nous tirerons parti ci-après.
Dans ce qui précède on a trouvé la somme tle la série proposée toutes les fois que « = ]/(«--)-i*) est inférieur à l'unité. Il reste encore à examiner le cas où cette quantité est égale à 1.
Nous avons vu par le théorème (IV) ([ue lorsque « s'approche indéfiniment de l'unité, la série
«'o + ^\"- + '^V'-' + • • • s'approchera en même temps de la limite ?o + ^'i + '"2 + • • • supposé que cette dernière série soit convergente. En faisant donc dans les expressions (18) ('. converger vers l'unité, on aura
1 + ;.i cos O1+ ;.2 cos 6.,-f . . . + /.„ cos «„ -{-... = e'^\P-^' cos (,'?,A- -f â,k') ,
' ' \ ;., sin O1+ P 2 sin ^^2+ . . . 4- P. „ sin 0„ + . . . = e'^'^'F' sin (,c?,A- + d,/?') , où à, et /9, sont les limites des quantités à et ^, supposé que les séries, contenues dans ces é([nations, soient convergentes. Or il est clair que ^log(2-[-2cosff) est la limite de à, et que
arc tans ( ■— ) =^ arc tang -^-4 — ,,-^ = arc tang (tang if/,)
est celle de /5; on a doac
22) d, = ^ log (24-2 cos (j), (j,-^ arc tang (tang i (f) .
11 reste donc seulement à examiner les cas où les séries sont convergentes. Pour cet effet il faut distinguer trois cas: lorsque k=z — 1, ou compris entre — 1 et — 00: lorsque k est compris entre 0 et -|- 00, et lorsque k est compris entre 0 et — 1.
Premier' cas, lorsque k est éçal à — 1 ou compris entre — 1 et — 00.
Faisant donc ^-= — 1 — 11, on aura
d'où Ion voit que <5„ est toujours supérieur à l'unité.
Or on a ).,,^=:è\.è^.à^...()„, donc pour des valeurs toujours croissantes de
u, X^ ne convergera pas vers zéro, donc en vertu du théorème (1) les séries (21) sont divergentes.
Deuxième cas, lorsque k est positif.
Supposons que c soit une quantité positive inférieure à k, on aura {f, — k—i + cY={^i — k—\f+2e{^t—k—l) + c\
donc
(^ — k—lf+k'-' = (ii — k—\-\-cf-^k'^—c'' — 2cl^—k — \).
Si l'on fait /* > ^+ 1 — è*^ + 4r
il en suit que k"^ — r* — 2c(// — k — 1) est négatif, et par conséquent (^,A;lf+A:'*<(^ — A"— l + c)% c'est-à-dire
Si dans l'équation (20) on fait « = — , m= — n, on aura
etc.
Donc en faisant n=l-\-k — c, on voit aisément que
u suit de la que,
!,^<(jt y^-\ „i,,,>*+i-i<.+^(=,),
donc ,'^^<(|li^)'-n oiW,>0,
En posant successivement /, == 0, 1, 2, 3 . . . /,, et faisant le produit des résultats, on obtiendra:
or A„+p = (îj . ^2 • '^s • • • «''.«+(" d«nc /,„^.„ < (T^ . fî^ . . . (5^, . (— £±--^ j + par conséquent lorsqu'on fait /< z= 0, 1,2... /',
Si maintenant dans l'expression (20) on fait « = ^? ?« = — ^-|-'">
A 1 >1-'^ 1 I ^-^ I (^-<')(^-<'+^) I etc. donc en se rappelant
v^ p+n+i;— ^^p+iJi+i ^ i.2(?+ij.+i)'» ^
que k> c:
\? + [i. + i/ P + IJ. + 1
II suit de la, en divisant par {k — c) (? + /' "t" ^f''-
{?+[>. + l)'+k-': ^ (A— C)V (p + {Ji)k-c (p + [i. + l)k-c J
Cela donne, en faisant /< :^ 0, 1, 2 . . . //, et ajoutant:
(p + l)i+k-c + (p + 2)'+k-<: +•••"•" (p + (^ + l)i+k-c <• A-cVpl'-« (? + |X+l)'^-':/*^i-<; " pk^ '
Il suit de là que
/p + ^-e+l + • • • + h+u < ^ • ''2 -'h--- <^Q (t o)pk-c ^
pour toute valeur de /*. Donc la série 1 + ''o + ^1 + ^2 + • • • ? dont tous les ternies sont positifs, est convergente, et par conséquent d'après le théorème (II) les séries
1 + '1 cos (?j -|- h cos ôj + • • • + ^" cos Ou-\- • •• >., sin Ôj -f- Pj sin 6^-\- ■ . .-\- Au sin ô^ + • • • seront de même convergentes.
Troisième cas, lorsque k est égal à zéro ou compris entre zéro et — 1.
Dans ce cas les séries ci-dessus seront convergentes pour toute valeur de k, pourvu que (p ne soit égal à (2« -\- l):nr.
Cela peut se démontrer comme suit:
Soit m=k+k'}/^ — l,x-=zcos(p-]-}/^ — is\nq^,eti + m^x+7n^x^+m2X^+... + ?H^x''=p„
En multipliant par 1 -j- .r on obtient,
Or on sait que 7n^ -{- 1 ={m -\- 1)^, (/rt2 + »ii)=(«' + 1)3 • • • ('«n + ™n-i) = ('" + l)n5 donc en substituant:
! + (/«+ l),.r + (;« + l),a:=+... + (;« + l)„.r"=-,«„;r"+»+;.„(l-f;i-). Maintenant si l'on fait 71 = 00, le premier membre de cette équation sera d'après le cas précédent une série convergente. En la désignant par s, on aura,
* = Pn(l + ^) — »«n(cos(«+l)y + ]/— 1 .ain {il -\-l)<p), où 71 est inûni. Or on peut démontrer comme dans le deuxième cas que /»n ^ 0 pour n = 00. On a donc,
s-=p {i-\- x), où. p = 1 -\- 7)1^ X -\- m^ .r' -f" etc. in inf. Cette équation donne, sinon j;+ 1 = 0:
La série p est donc alors convergente, et par conséquent les séries ci-dessus le sont de même.
Si x-\-l=^0,on a l-f-cosf/-f-l^ — l.siny = 0, doncsin7) = 0, 1+ cos7) = 0, c'est-à-dire 91 = (2rt -j- 1),t, n étant un nombre entier positif ou négatif. Donc les séries en question sont convergentes pour toute valeur de k comprise entre 0 et — 1, sinon 9 = (2?^-}- 1)^-,
Lorsque (f =^{'2.»-\-\)-j, les séries sont nécessairement divergentes, car si alors elles étaient convergentes, elles auraient pour somme les limites des fonctions,
en y faisant « converger vers l'unité, et faisant ,» = (Sw-j-ljjr.
Or à ^ ^ log {i -\- 2('. cos ^ -j- f(^), di = arc. tang / °^'''" 9 \ d^Qç pQu,.
(f ^=: {2n -\- 1) TT , (5= log (1 — a), (Tj = 0. La fonction en question prendra donc la forme (1 — fO''[cGs(A-' log (1 — «)) + K — 1 . sin (A-' log (1 —«))].
Or k étant ég.il à zéro ou négatif, il est clair que cette fonction en y faisant a converger vers l'unité, n'aura pas de limite finie et déterminée. Donc les séries sont divergentes.
De ce qui précède il sait donc, que les séries (21) ont lieu pour toute valeur de (j, lorsque k est positif, et pour toute valeur de <f pour laquelle sin (p n'est pas zéro, lorsfjue k est compris entre — 1 et 0, «{iielle que soit d'ailleurs la valeur de k'. Dans tout autre cas les séries sont divergentes. Dans le cas «pie nous examinons la série générale (19), lorsqu'on y fait ^--|-«^=rr j, ou ^ = ]/(l — (i^), prend la forme:
^{m + ns/-l)(^m-\+W-\){m-'2+nV-\).^y^^^^^y -{- etc. 52) / 1.2^3
' \ J!L - n . arc. tang 1/ î - r- / "■/"!-« \
=(2+2«)?e ' + n cos(^9M.arc.tangJ/ -^4-^7îlog(2+2«)j
