V— 1 sin (w . arc. tangj/^— -\-^n log

Voici un résumé des résultats précédents: I. Lorsque la série,

| {m + nV-l)i»i-l+n\/--l)...{m-^+l-nv'-\) , J-hY 1)" + • • •

est convi'rjïente, elle a pour somme,

— -n.arc. tangl — -— I p . / A \ \

((1 |. af-\. 6*) ■■'• e ^ ' + '^ l^cos i^n . arc. tang (^-— j + ~ log ((1 + r/f + A^))

+ ]/- 1 . si.i (/« . arc. taug ( J) + ^ log ((1 + <-+ -î."-))].

II. La série est convergente pour toute valeur de m et 7i, lorsque la quantité Y{a^ -\- y-) est inférieure à l' unité. Si Y {a- + b"^) est égal à l'unité la série est convergente pour toute valeur de m comprise entre — 1 et -|- oo, sinon en même temps o = — 1. Si rt :^ — \, m doit être positif. Dans tout autre cas la série proposée est divergente.

Comme cas particuliers on doit considérer les suivants:

A. Lorsque n = 0.

On a alors;

1= ((l+«f +//2)T [cos (w . arc. tang. (J-)) -J-]^ 1 . sin (w. arc.tang (|^))]-

Cette expression donne, en faisant a = a . cos (/, b = « . sin (p et eu séparant lés termes réels des imaginaires:

l-\ a . COS œ+ — ^ ^« • cos 2'f + etc. = (1 + 2« cos cp+ cr) ^ cos ( >«. arc. tang ^ )'

'1 1.2 r j y ^1 + acosQ/

j -^.« smcp+-^^i^^^a^.siu2a' + etc. = (l + 2«cosfc + «^)2. sin (?». arc. tang '^^'" — )• 1^1 1.2 ri \^ ''l + acosç/

B. Lorsque i = 0.

Dans ce cas l'expression générale prend la forme suivante:

( 1 | in + nV-X , {m + nV -\) {m-X + nV -X) , r pj^

26) I 1 1 • '^ "T • i=(l + «)"> [cos (« log (1 + «)) -1- 1^—1. sin (rt.log(l + «))].