C. Lorsque ?^ = 0, 6 r

î^lors on a:

Cette expression a lieu pour toute valeur de m lorsque la valeur numérique de a est inférieure à l'unité, de plus pour toute valeur de vu comprise entre — 1 et -|- cxd, lorsque «=1, et pour toute valeur positive de w, lorsque

« = — 1. Poui' toute autre valeur de « et de wi le premier membre est une ■ série divergente.

Faisant p. ex. « = 1, a^ — 1, on a,

l + T +^^ + etc.... = 2",

l-^+^'^i^-etc.... = 0.

La première équation a lieu pour toute valeur de m comprise entre — 1 et -J- oo, et la seconde pour toute valeur positive de m.

D. Lorsque ]/(«* -j- ô^) = 1 (« = cos (p, b = sin y). Alors on a,

=(2+2«) .2 e *^ « + - 1 cos (^Tw . arctang y 1^ -\- ^ log(2+ 2«) j >

-)-]/ — 1. sin (»î. arctang 1/ -^ -{- ^log(2+2a)) . Si l'on fait ici « z=z cos (p on obtient: 1+ -^ — (cosy+|/- lsiny)+ ^ i •> ^ — ^(cos29+l/-l.sin2y)+...

= (2+2 cos y) ? e I cos [in (^ y - (jtt) + -|- log (2 + 2 cos ifU , + V— 1 . sin (/»(! 9 - C^) + J log (2 + 2 cos (^p))] en remarquant quearc.tang|/ — l^=izarc.tang|/ - — ^^^=arc.tang(tang|^y), = ^qp — QTT, supposé que ^(f soit compris entre çn --et çn -\ — — .

E. Lorsque Y{fi^ + *^) = Ij <* = ^^^ «P? ^ = si» y, n = 0. Dans ce cas l'expression précédente donne.

[ 1 + -^ (cos ?) + 1/^- 1 . sin 9) + -^^^^^ (cos 2çi + ]/^- 1 . sin 2y) + etc. ] depuis ^(/i = pTT - -|-

| = (2+2coS(^)? (cos?w(^(^ — ()7r) + |^ — \.&inm{^(f — Qn)) Ijusqu'à^y = p7r+-^ ou en séparant la partie réelle de l'imaginaire:

l + ^cos9 + ^^^'^^-icos2f/) + etc.=(2+2cosy).* cos ?w(|^(p-();T)J depuis ^9 = ():jr - —

^ sin ff + ^"^^^ sin 29 + etc. = (2 + 2 cos (f)? sin?»(^fp-()7r)ljHsquàiy=();r+-2--

F. Lorsque « = 0, b = taiin (f.

Dans ce cas on obtient lorsque cp est compris entre -\- — ^ et '— :

!. , 77î + «\/-l . -./-A {m + ni/-'\)(m-\ + n\/-\),, ^ /- ..^ ,

\-\ — --— — .tangy.|/-l + ^— --rL__iA__ ^(tangy.y — If +etc. =:cos(/;-" e-^'f (cos(?H(^ — w log cos (i)-\-Y — l.sin(;wçi — /jlogcosy)).

On peut par des transformations convenables des expressions précédentes déduire encore plusieurs autres, entre lesquelles il se trouve de très remarquables. Nous allons en expliquer quelques unes. Pour plus de détail on peut consulter l'ouvrage cité de M. Cauchy.

Sommation des séries

« . cos (f — ^u^ cos 2^ -}- i a' cos 3(p — . . . , a . sin çi — ^ «* sin 2rp -f- i «* sin 3fp — .... Lorsque « est supérieur à l'unité on voit aisément que ces séries sont divergentes. Si « est inférieur à l'unité nous avons vu plus haut qu'elles sont convergentes, et leurs sommes sont les quantités |? et à du § III, c'est-à-dire en mettant pour /5 et (J leurs valeurs données par les équations (18).

^log (1 -\-2u cosy-|-«^) = «cosy — l.H'^cos2(p-)--|«'cos 3(/) — etc.

' arc. tan iï ( — ■ °^ ^'" ^ — ) = «sina — i «* sin 2v -4- i «* sin So) — etc. ■ \ 1 + a cos ç / ^ ^ < i

Pour avoir les sommes de~ ces séries lorsque « = -(- 1 ou — 1, il faut

seulement faire a converger vers cette limite.

La première expression donne de cette manière:

-• , N l\ log (2 4" 2 cos (f) = cos (f — ^ cos 2(f -\- ^ cos 5(p — etc. ( ^ log (2 — 2 cos ^) = — cos (f — ^ cos 2ff — 1 cos 3r/) — etc. supposé que les secondes membres de ces étjuations soient des séries convergentes, ce qui d'après le théorème (11) a lieu pour toute valeur de (f excepté pour (f ^ ^ (2/<-|-1)t dans la première expression, et pour r/) = 2,(/7r dans la seconde, /( étant un nombre entier quelconque positif ou négatif.

La seconde formule donne, en supposant (p compris entre ;r et — n et se rappelant qu'on a alors

arc. tang ( ^'" '^ — )= arc. tang (tang ^(p)-=\ff:

35) ^(f=siQ(f — ^ sin 2y> -|- ^ sin Sqp — ... (depuis qr = -j- tt jusqu'à (p = — :rr). Lorsque 9) = tt ou 3= — :t la série se réduit à zéro, comme on voit aisément. Il suit de la, que la fonction:

s'm (f — ^ sin 2(p -\- i sin 3(p — etc. a la propriété remarquable pour les valeurs (p = 71 et cp = — 71 d' être discontinue. En effet lorsque ç) = -f- tt, la fonction se réduit à zéro, si au contraire ?> = + (-T — a), « étant positif et moindre que :t, la valeur de la fonction est

L'expression (53) contient comme cas particulier celle-ci: 36) arc tang a = a — ^ ,(3 ^ 1. f^a — gjç

expression qu'on trouve en faisant (p==^.

Développement de cos mxp et de sin mcp suivant les puissances de tang ip. On peut déduire ces développements de l' expression (32). En effet en faisant 71 = 0, et séparant les parties réelles des imaginaires, on obtient après avoir multiplié par (cos (p)'" :

jcos»^y=(cosy)^"(l-^!i^(tangy)^+ '"(^"'-ïK"'-|)("^-3) (tangy)^-. .), jsin m<p = ico.cfr(^r„itangrp).^^(^it^ns^r^

depuis çi:=: - jusqu'à (p = ^, et ces équations ont lieu pour toute valeur

de m lorsque tang cp est moindre que 1. Si tang (p=+l, elles ont lieu pour tout m compris entre — 1 et -{- 00.

Elles sont alors:

[cos (m.^) = (±)^ (1 - ^(J-^ 4- m(m-inm-2)(rn-S) \

^mym.^j y,^j ym ^-^-^ \ 1.2.3.4.5 ' ' 7 =

Développement de (cos .r)" et (sinar)" en séries ordonnées suivant les cosinus et les sinus des arcs multiples.

Depuis quelque temps plusieurs analystes se sont occupé du développe-

ment de (cos^)" et (sinar)'? 3Iais jusqu'à présent, si je ne me trompe, tous ces efforts n'ont pas entièrement réussis. On est bien parvenu à des expressions justes sous certaines restrictions, mais ces expressions n'ont pas été rigoureusement fondées. On peut les déduire assez simplement des expressions démontrées ci-dessus. Eu effet si l'on ajoute les deux équations (31) après avoir multiplié la première par cosa et la seconde par sin« on obtient:

cos « -h -^ cos (a-cp) -j- "Y'' ' cos {c(-2ff) -f- . . . = (2-f-2 cos y) ? cos (a- ^ + niQîi)

(depuis ^(p = çTi— ^ jusqu'à ^ y = çn -\- ^-). Or 2 -j- 2 cos y étant = 4 (cos ^(f^, on oura en faisant qo = 2.v:

^ (depuis jr32():r-.^

cosa+^cos(a-2^)+-^Y~2 •^®^("~'^^)''''"~(^^*'^^)" cos(a-?wa:+2»ï?7r)< *^

|jusqu'àj;=2()7r+^

m m(m-l) (dep.jr=2();r+|

COS a + -— cos (a-2:r)+ --^-— i cos(«-4.r) + . . . = (-2 cos jr)? cos (a-m.r + /« (2() +l)7r) (

[ya x=2çn+~\

Si l'on fait ici 1. a = mx; 2. a = mx-{- -^; 3. a = my,x^y ~;