a = my ~, x=:i/ ^, on obtiendra

1.(2 cos ar)"? cos 2w():r=cos?wa;+-^ cos (?w-2).r+^j?^cos(?«-4).r+... (depuis x = 2çn — ^^

2. (2cos.r)';' sin2w?;r=: smmx+ ~ sin (??î-2).r+ U^p^ sin (?M-4).r+.. ./jusqu'à .r=2();r + ~

3. (2sina-)™ cos »î(2p + |^);r = cos /«a;--^ cos(ot-2)j;+^^^^ cos(?«4)j:+..( depuis jr=2(>;r )

4. (2 sin.r)? sin m(2?+^)7r= sin mx- "^ sin(m-2).r+^i^^ sin (m-4)a:+..|jusqu'àjrr:(2()+l),T j

5. (-2cos:r)?cos7/«(2p+l)jr=coswa:+-!p-cos(îM-2).r+^^l^cos(?w-4).r+..(depuis.r=(2p+^)7TJ

6. (-2C0SJ:)'? sin?w(2?+l)-T:r:sin?«j; + ^sin(m-2).r+^^t^sin(?H-4).r+..)jusqu'àar=(2?+|>|

7. (-2siu.i-)'!'cos?«(2^+|).T = cos?H.i;- ^- cos (/«-2).r+-^^^^ cos (w-4).r-..( depuis x={2Q+l)n]

8. (-2 sin .r)™ sin ??i(2(>+|-)T = sin mx- "^^ sin {}n-2)x+ !!!^^ sin (w-4).r - . . (jusqu'à x={2o + 2)n i

Ces formules ont lieu pour toute valeur de x, lorsque m et positif. Lorsque m est compris entre — 1 et 0 il faut excepter des valeurs de x :

J)dans les formules (1M2), (3), (6), les valeurs .r = 2?:r--|-, etx=2çn^^, 2) dans les formules (3), (4), (7), (8), les valeurs x=2^n, et ;r = (2?+l):r. Dnns toute autre cas les séries en question sont convergentes. Comme cas particuliers on peut considérer les deux suivants:

(cosa-)"' = cos mx+ ^ cos(;«-2).. + ^^ cos (m-4)x + . . .

0 = sin ,»a-+^sinO«-2).r+^^ sin (m-4)..- + • • •

(^depuis X = — -^ jusqu' à .r = — ) •

Sur quelq Kes intégral es d rf't nies.

E^orsque une intégrale définie contient une «[uantité constante indéterminée, on peut souvent par la dillërentiation en déduire une équation diflerentielle par laquelle l'intégrale définie peut se déterminer en fonction de la quantité constante. Cette équation diflerentielle est en général linéaire; donc si elle est en même temps du premier degré, elle peut, comme on sait, s'intégrer. Quoique cela n'ait pas lieu en général lorsque léiiuation est du second degré ou d'un degré plus élevé, on peut pourtant par ces équations quelquefois trouver plusieurs relations intéressantes entre les intégrales délinies. Montrer cela c'est ce qui sera l'objet de ce mémoire.

Soit -j^- -f- j) . --— -\- q . 1/ ^=0 une équation différentielle linéaire du

second degré entre y et a, p et q étant deux fonctions de a. Supposons qu'on connaisse deux intégrales particulières de cette équation, savoir y =ryj et y^y.^, et l'on aura:

De ces équations ou tire en éliminant q,

d'^yi 'l'^tf" ^ du ^"^ du ) ( dy. (hj.^\

Donc en intégrant

■^ - da ' da

e étant la base de^ logarithmes Népériens.

Suppo.sons que les deux fonctions y^ et y., soient exprimées en intégrales définies de sorte que y, ^ frdx, y^^=^ fndx , v et u étant des fonctions de x et de o: cette relation entre yj et y.^ donne en substituant,

Cette équation exprime, comme on voit, une relation entre les quatre intégrales fndx, fvdx, rC^yiv, J'{j^tlx. Il s'agit maintenant de trouver des

intéiïrales qui puissent satisfaire à une équation différentielle du second degré, li-y-a plusieurs intégrales qui jouissent de cette propriété, et que nous allons considérer successivement.