I. Soit V = -^ i — T et y

le signe / dénotant que l'intégrale est prise depuis x-=.Q justfu'à a: = 1. En différentiant la (piantité {x-\-à)y .x" (1 — x)? ^=.r par rapport à .r, on obtient dr — dx (.^•«-• (1 — x)h' {x + a)r-' {yx {\ — x)-\-u {x + «)(! — x) — (i [x-\-a) x)). Or

yx{X — .r) + « {x-\-a) (1 — x) — ^j{x-\-u)x =z — y («* + «) + («0^+ y) + («+!) (« -\-y)) (x+«) — (« + .^+ r) (*• + «)■% donc en intégrant entre les limites x=0, x=\, on obtient

De cette équation on tire en divisant par -^^ et substituant à la place des

intégrales leur valeurs eu i/,

0\ d^ /a + 7 p+-Y\ dy (y+l) (a + ^+y) q

Si l'on met à la place de «, (i, y respectivement 1 — ^, 1 — «, «4-;^+^ — 1' on aura la même équation, donc

sont deux intégr.iles particulières de cette équation.

Or « = — i^+I -^, et par conséquent e-m^C.a''+y{i + a)?+r, ' a l + «

donc l'équation (0) donne

Pour déterminer la ([uantité constante C soit a = oo, et l'on trouvera facilement

6' = (« + ,5'— 1) fl^x . x"'\l—x)hfy.v . ar-/» {\—x)-",

c' est-à-dire

C^ — n (cot (a;r) + cot (^jt)).

Par suite l'équation (4) donne

5) <rv4-n /"i^(f±«F /"' rfx(j+ar+^+^

= 71 (cot («;r) + cot (,1t)) . «"+;' (1 + «>*+'/. Le cas où y = — « — /^, mérite d'être reiuaiqué. On a alors comme on voit aisément:

y«i dx 1 /»^ dx

o x'-r(l-x)'-^(x+fl)«+'* ~ a'»(l + af J o x'-''(l-J-)'-''

donc /-^ ^£ ^iMJm L.

J o ^'7''(l-xy7^{x+af+^ r(a+^) û''(l + ay'

Soit p. ex. ^=1 — «, et l'on aura

/»! rf-r r(a)r(l-«) 1

J„ (i-xfx'-«(x+fl) ~ r(i) ■ «'-«(!+«)«'

or r(l) = 1 7T«) . r{l—u)=z^l—, donc

siii a-

/i^ dx iz 1

o (x-ha)x'-"{l-xY' sinaTC " „'-" (l + a)" '

/"= -« j ^ . En différentiant on obtient o (l+xf. {x+a)y

dy r^ x-."dx

Lorsqu'on différentie la fonction x'"{l-{'xf~'- (.r -}-«)='' on obtient,

(i+xy {x+ay+*

x'"dx

{l+xf {x + a)l'+' donc puisque.

y = (y-f- 1) (1 — «) « — ((«+y) (i-«) — ir+M (•^+«) + (1— « -p—y) (^+«f .

(1 + J:y {s + a^ On tire de là en intégrant

Q\ ^ , ( g+Y P + Y ^ ^ | T(l-a-p-T) „ — 0 ^ rfa2 -TV a la J ' da ~ e(l-c) ' -^

En mettant respectivement 1 — /?, 1 — ^«, y-|-«-j-/t? — 1 à la place dea, /9,7, il en résulte la même équation, donc

sont deux intégrales particulières de cette équation. Or p étant = -^i^ — -^^^X et par suite e •^'"^%

on a en vertu de l'équation (0)

y Ûl^ — y ^ = ? .

^^' da '^^ da a^^'(l-af+y

En faisant «= 1, on trouve C=0, et par conséquent

c'est-à-dire y^=:r^2, C étant une constante. Pour la trouver on feraa^l, et on aura

Or P°°jrU^ ^ r(l-a).r(a+P+T-l) ^^

par suite l'équation ^j = Cy^ donne

r°° x-"dx r(l-a).r(a+fi+7-l) p"' x^-'dx

^ o {\+xf {x+a)y~~ r(i^)-r(T) 'J o (i+x)'-''(x+of+^+"-' "

Si dans l'équation (6.) on met (1 — a) à la place de « et ,j et « à la place de M et [i, elle ne change pas de forme.

Il suit de là que

est de même une intégrale particulière de la même équation. On a donc

V Èj^ — v J^ —

da B«+)'(;i.„)/S+y

En mettant xa à la place de x dans l'expression de y^, on obtient:

y^ = a-r^^r ^^^^^^- ; 1^ = - ra-',y f ^'-'^

^ à (l + sf. (1+ff.r/ da i/ „

On. trouve de même, en mettant (1— o).r à la place de x:

En substituant ces valeurs, multipliant par a"+y(l — a)/+y et écrivant C

leu de , on trouve :

^ 0 (l+xf {X + axf'^o (l+J^F+'(l + (l-a)T)«

^0 (l+x);'(l + (l-a)x)« «/ 0 {l+x)y+\l+ax)^ Pour tiouver C soit « = 0, et on aura :

/- x-pdx r-^ x-['dx r(i-a).r(i-p) ^^ , ^ , ,,

Si l'on fait p. ex. p'= 1 — u, on aura en remarquant que

r(i - a) . r{a) = -^^L- , r{Y + i)=Yr{r):

Y.sm(a7i:) c/ ^ (l+x)?' (1 + ax)'-'' «^ ., (l+x)J'+' (l + (l-a)j:y'

^ 0 (l+j)î'+'(l + «J-)i-fî «^ 0

(l + xf (l + (l-fl)x)'' Lorsque « = ;/ = ^ on a :