„) . r^ ^£ r- dx

J„ v^{x(l+x)(l + (l-a)x) J^ ^(x(l+x)Hl+aj:))

Toutes ces intégrales peuvent s'exprimer par des fonctions elliptifpes. En effet, soit .r = (tang (ff, et on aura après (juelques transformations légères

2 Jo v'(l-(l-a)sin2ç) ' t/ o \/(l-a.sin\)

~*'^ ' '^ 0 \/{l — asia^ç) J 0 ■/(! -(!-«) sin 2 ç)'

c'est-à-dire, lorsqu'on fait a = c^,b^=l — c%

JL — F'{c) . E\h) + F\b) . E\c) — F^{c) . F'ib) , où, d'après la notation de M. Legendre,

La fornmle ci-dessus se trouve dans les exercices du calcul intégral par M. Legendre^ Tom 1, pag 61.

Dans la formule générale (7) les intégrales peuvent s' exprimer par d'autres dont les limites sont 0 et 1. Soit pour cet effet xz=--^, et on aura:

!r(i-a).r(i-^).r(a+g+Y-i) ^ ^^ r^ dy{i-yf+?+r-"' r'dy{i-y)"+^+y-' r(ï+l) ■ ^ 0 / {l-(l-a)yy ' J 0 / (1 - ayf

'^ ^'J ^ y-{\-(\-a)yf J o y^(\-ayf

Nous avons va plus haut que

i-i rfj r(a) ■ r(^) 1

Jo x'r"(l-x)'-'*(^+«)"+^ ~ r(a+p) ' a?(i+af'

On peut, comme il suit, trouver une expression plus générale de laquelle celle-ci est un cas particulier. En différeutiant l'intégrale

r^'dx.a:"-' {l-sy-'

par rapport à a on obtient

11 suit de là que

du "T"\l + «"t" a J'' a {l + a) {s + af+^

En multipliant cette équation par a^(i-\-a)'', le jtremier membre devient

une diflV'ientielle complète, savoir égale à d(i/a^{{l -|- «)"), o» aura donc en intéjiTant:

Pour ti-ouver C, qui peut être une fonction de x, nous ferons a = oo. On aura donc:

jja? (1 | a)" = j^dx . .r"'" (1 — x) '' , et par conséquent,

C=/ dx.x (l—x) ^x{i—x) / \,^^ •

Si l'on fait a = ZlJ^ et par suite y = f±^ , on trouvera r-da.ah^^l.ay- ^-. ^^^.^ . y.. (^ y).-.

= :r-" (1 - ar^(-fyx . x'''' (1 — xf ^f^ dx . x"'' (1 - xf). En substituant cette valeur, on obtient

C = /* V/^ . .r"-' (1 — xf= JMi£(^-L , et par conséquent

Si p. ex. a + /'^ = 1? on aura

- ^ a+«r /"^ ^j ■■/'-' (i-x)-'' , s" /'" rf« . »-" (1 + «)"-'

sin (ar) g«-i t/ 0 x-t-a (l-j')"-' «^ " j: + «

Si de plus a = ^, ou obtient

ce qui est juste, car

:=: . arc. tan" 1/ ( — ) ,

o {x + a) \/ {x - x'^) v'(a+«2) ^ \a-ax /

/'a rfa 2 .. "^/ ( ""^' V

o (tt + j:) v/(fl + «-) v'(-ï'+i*) ' ' ■ ' »r \ j + jrc /'

et arc.tang {:) -\- arc. tanj» ( — j = -^.

m. Soit y = r p-'^x'-' (1 — xf-' dx, oii »'. > 0, t> > 0. En dillérentiaut par rapport à a on obtient:

^z:- r\-^''x"{\ — 4r^ dx, da u a

Lorsqu'on différentie la fonction r^^e'^^x" (1 — xj par rapport à a.* on obtient:

drz^ae'^^x"-^ {i-x) dx — {u^(i-\-a) .e'^^x" {i-x) • dx+ae'^^ x''"^\l-xf'' dx^ donc en intégrant depuis .r r= 0, jusqu'à x=^\, et substituant pour les inté-

erales leurs valeur en y, — ^ et — ^ :

* ^' da da^

da^ ~ \ a ' J da ^ a ^ On satisfait aussi à cette équation en faisant

^e- X (1 — x) ■ dx

a étant positif. Or on a w =:-^^-t^+l,donc ^^ = • Donc l'équation

(0) donne: