IV. Soit
/^ ax x' (r i , ,
-e • X dx, ou « > 0.
Eu différentiant on aura
— i- = / e • a; ■ «x, -— - = / e . x ■ dx.
da U 0 da'^ U o
Or d^e'^T^^x") = dx . e^^-'^'x^'-'ia -\-ax — 2x%
donc en intégrant depuis ^- = 0, jusqu'à x = oo, substituant les valeurs des
intégrales en y, -^ et -'-^ et divisant par — 2 on aura : ° ^' da da^ '■
da'^ ^ da ^ "^
Cette écpiation conserve la même forme lorsqu'on remplace a par — a, donc
ij=zij^=i r"e-^y^^x"7' dx est de même une intégrale particulière de cette équation, p étant = — Xa,
on a e'J^ Ce*, et par conséquent,
Si, poui' trouver la quantité constante C\ on fait «=0, on trouvera:
yi=f^ e-f ^""' dx = \ r(|-) ,
da donc en substituant:
et par suite
KC-i^)/-a)-^=y:>-"'^--y:v."v...."
+ /'°° ax x' I u /'°° ax x' j «-i
■ / e • (Ix.x . I e • dx.x
Si l'on met a^ — 1 à la place de o, on obtient la formule suivante:
^ .7/^) ^^1^^ e"^—J'\lx.e-''\cosax).x'^'f^dx.é-^\co% ax).x"
-\- I dx. e~^ (sin «a:) . x"'' / rf:c . e~^ (sin «a::) . ar".
Note. Les quantités constantes (exposants), qui se trouvent dans les inte'grales de ce mémoire, doivent avoir de telles valeurs que les intégrales ne deviennent pas infinies. Ces valeurs sont faciles à trouver.
Sur les fonctions qui satisfont à l'équation
<f X + (pî/ = xp {xfjj + y fx)
MU équation
(fX -\-(pi/ = 'ip (xfi/ + yfx), est satisfaite lorscpie
fi/ = ^y et (px = ipx = log x; car cela donne
log X -f- log y = log xy ; de même lorstpie
fy = ]/(l — y"^) et q^x = i/).r = arc sin x, ce qui donne
arc sin x -f- arc sin y = arc sin (^x |/(1 — ?/*) -\- yV^{\ — -î"^)). Il serait possible qu'on pourrait encore satisfaire à la même équation d'autres manières. C'est ce cpie nous allons examiner. Soit pour abréger
l'équation de condition devient
En différentiant cette équation par rapport à x et à y, on aura en faisant usage de la notation de Lagrange:
De ces équations on tire en éliminant la fonction ip'r.
Or l'expression de ?• donne
donc en substituant,
3) ^'y -(fy + y M = (p'x.(fx-\-x fy).
En donnant maintenant à la quantité variable y la valeur particulière zéro, ce qui est permis, parce que x et y sont des quantités indépendantes entre elles, et en faisant pour abréger,
^'0 z=a,fO = a, fO = a', l'équation (3) prendra la forme,
au — (f'x (fx -|- u'x) = 0, d' où r on tire en écrivant y au lieu de x,
ftcc — (f'y(fy-\-a'y) = 0.
Ces deux équations donnent,
4) œ'x = p- et œ'y = — — ;
' ^ fs+cnx "^ fy+ay
donc en Intégrant,
5) q}xr=aa I - — —, —
' J fx + rix
De cette manière la fonction ç.r est déterminée par fx. Il s'agit donc de trouver la fonction fx. En substituant dans l'équation (3) les expressions (4) des fonctions (f'x et t^p'y, et réduisant, on trouvera:
6) {fx + «'^) ^y + yfx) = {fy + a' y) {fx + xfy) d'où l'on tire en développant
7) fxfy-\-u'xfy -{-yfxPx-\- u'xyfx—fxfy—a'yfx — xfi/fy — u'xyfy = 0, ou bien
8) a:{afy-fyfy-a'yfy)—y{ufx-fxf'x-a'xf.v) =0, OU en divisant par xy
9) ^ {('-'fy- fyfy - ^^'yfy) - ^ iccfx-fxf.v^a'xfx)=o,
Les quantités .v et y étant indépendantes entre elles, cette équation ne
peut avoir lieu à moins qu'on n'ait
-^ i^'fy -fyfy — ^'-'yfy) = \ {arx—fxf'x—a'xf'x) = Const.
Soit donc
10) ~{afx—fxf'x — u'xf'.i) = m.
et on aura:
1 1 ) fx (fx + a 'X) + {mx — a f.v) == 0.
Par cette équation la fonction fx est déterminée. On peut l'intégrer eu faisant
cai' alors on a px . dx = zâx -\- xdz, d'où l'on tire en substituant,
{zdx -f- .ï'^/») (-v- + (i'x) -\- {>»-v — a'xz)dx = 0, ce qui donne en divisant par .r,
{zdx 4- xdz) {z 4- «') + {m — u'z) dx = 0, ou (z{z -f- a') -\-m — a'z) dx -\- xdz {z-\- a') = 0,
ou bien {z^ -\- m) dx -f- xdz {z-\-ci')^Oj,
ou en divisant par x {z"^ -\- m),
dx dz (s + a')
donc en intégrant,
J X xJ z'^ + m \J a^H-m
Soit m = — 7^% on aura
/— = lo£j X, I 1 "„ = ^ loe iz"^ • — n% 1 „ ^ „ = — - log ,
donc en substituant et ajoutant une constante c,
log r — log A- = ^ log (z-" — H*) + ^ log -?^ ,
ou
Mais on avait fx = xz ; donc z = -^-- , et par suite en substituant,
^ ^ {{fx)^-n^x^f /fs-nx>£ X X \fx+nx J '
ou bien
(• = {fx — ?ix) "■" {fx-\-nx)'^ *•" , ou en élevant à la Sw'"*^ puissance,
12) c-":={fx— nxY+r {fx -f- nx)"-"'
x = 0 donne c = c, à cause de /O = «. Voila l'équation de laquelle dépend la fonction fx. Elle n'est pas en général résoluble, parce que u et u' sont deux quantités indéterminées, qui peuvent
même être imaginaires. L'équation (12) contient la forme la plus générale de la fonction /'.r, et ou peut démontrer qu'elle satisfait à l'équation de condition donnée dans toute sa généralité. En efl'et la fonction fx satisfait à l'équation (11), et on voit par la forme de l'équation (9) qu'elle satisfait aussi à cette équation. Or l'équation (G) est l'équation (9) sous une forme différente. Donc la fonction fx satisfait aussi à l'équation (6). De l'équation (6) on tire l'équation (5) en faisant a'a.== — ;— et l'équation (3) donne en faisant xfii -\-
1/fx = 7':
En intégrant cette équation différentielle pai'tielle par les règles connues on trouvera:
r=Ficpx-^(py% et de là (fx-]-q>y = tpr,
ou (px -{-(fij=yp (xfy + yfx),
ce qui est l'étpiation de condition donnée.
Il reste encore à trouver la fonction xp. Pour cet effet soit y = 0, on aiu'a en remai'quant que fO = a,
(fx = ip (ax) — 7^0,
ou en mettant — au lieu de x,
On trouve donc, en résumant, que les formes les plus générales des fonctions, satisfaisant à l'étjuation de condition,
(fx-\-(fy = %p{xfy -\- yfx) sont les suivantes:
fx + a'x
et \px = (fO -{- ii> ~ = au / —-4- + ÇîO,
où fx dépend de l'écjuation
a'» =z{fx — nxy+"' {fx-\-nxf-r Soit pai' exemple
on aura
u = fx — ^x; donc fx=ia-\-^x-,
f* dx
et par suite ffx == av. 1 = aa log (« -|- .r) -f- k ,
* t/ OL + S
^x = (pO-\- (p(~j==2k-^aa log« + ««logr«+ —j,
on tl'x = 2A- -\- ace log (a* + •^')-
L'é(iuation de condition devient donc k -)- arc log («+^) + A- + «« log(«+^) = 2A- + ff « log («'^ + .r («+|^//) -Jry («+2-^')) ; ce qui a effectivement lieu, car les deux membres de cette éifuation se réduisent à
2k -f- «« log {tt^-\-ax -f- ai/ -\- xy). La fonction qx est trouvée ci-dessus en forme d'une intégrale. On peut aussi trouver une forme finie pour cette fonction par des logarithmes en supposant la fonction fx connue. Savoir soit
f'x-\->ixr=v et fx — nxz=.l, l'équation (12) donne
donc *»+«■= «•^".i)'>^-",
et de la t = a • v
Or fx = :^{r + t) et nx = :^{v — l),
, in g'-n
donc fx =zllo-\- «"t'^' ^«'+"
et Xr=z -—. t) u . V " ,
'in 2» '.
d'où l'on tire en différentiant
2n -•211 , j 1 a' — Il n+K- fc+n f ...
\ Un 2H(a'+«) I
On trouve de même
ou bien /:r + «..,=(,, + a'){^-2^^^- «"n -+nj^^ donc ^ = ^— ;
fx + OLJr (11+7. )v
ce qui donne en intégrant,
/' ds 1 , ox r- = lOS ^i" = -^— ; fx + a-x n + OL' aa.
OÙ c est une constante arbitraire. En mettant donc peur v sa valeur fx-\-nx,
on aura
13) (px = y- log (<;?2J; -|- cfx).
Dans les deux cas, «' = oo, et /« = 0, la fonction fx prend une valeur particulière. Pour la trouver, il faut recourir à l'équation diflérentielle (11).
Soit d'al)ord ?i = 0, l'équation (11) donne, à cause de m= — w^:
f'x(fx -|- C('.V) — u'fx = 0.
Soit fx = zx,
, dx dz (s + «') dz a.'dz
on trouvera — = — — ^--- — i ■= — — ,
et en intégrant
log c' -{- log x = — log z -\- — , ou log(r'j;-:) :
fx OU, puisque c = ;i—
log {c'fx) =. , ou a^x =1 fx log (c'/Ir). '
Pour a; ^ 0, on a 0 = « log c'a, donc c'a = 1 et c' ^=. — ,
donc 14) a'^ = /"^ log U^ ,
ou e"? = f^f^y^'-
Cette écpiation détermine donc la fonction fx dans le cas où n = 0. L'équation (15) donne dans ce cas:
aix , / /> ^ «Kl I «a 1 C fx \
«.' a oc' V (X /
en vertu de (14) on a log U^^ = ^^;
donc 15) a^x= ^^ log ca + ^^ .
De plus
L'équation de condition dt'vient donc:
2aa. I i
— , Ino- /•« -i-
los ca -j — --- j -— - los ce. A — ^ = los eu A ^^ — ^v4^
a' ° ^ fx ^ a.' - ^ fy a' » ~ f^^fy+y/A
c'est-à-dire on aura
17) af{-^^^±^)=fa:fy.
Pour examiner cette équation nous mettrons au lieu de .%■ et de i/ leurs valeurs de l'équation (14) savoir ^log (-^) et ^ log (— ); t^<^ fjui donne:
Afyio,(^) )
'' '1 aa' 1
en faisant poui' abréger
fxfyXo,{f^JL)
aot' Il suit de la:
2 log « + log ^ == log (/:r />/).
Or en vertu de l'équation (li) on a log-^ = -^, donc en substituant
20) 2log« + ^ = log(/:r/».
Mais puisque //• = -i^^^ (18), on a en vertu de (19) '^ •
a' donc/ — ^= log ( à^); et par conséquent: 2log«-j-logr^^^^)=log (/.i/^),
ce qui a,, comme on voit aisément, effectivement lieu. Soit ensuite a' = oo.
En mettant dans ce cas l'équation (11) sous la forme:
il est clair qu'on doit avoir xf'.v — f.v=0, lorsque »? est fini. Il faut donc que
f'x . dx dx ,.
^ — = , OU fx = ex.
fx X
Si m = — pu'
OU a xfx — px — fx = 0.
Soit f.% = xz,
on aura x{xdz -\- zdx) — {p -\- xz) dx =. 0,
ou xdz = pdx ;
tlonc c = p iog rx = - — , et par suite
fx =px log ex.
Pour trouver (fx, on substituera la valeur de la fonction fx dans l'équation (3), et l'on aura à cause de f'xz=zp\og ex -\- p:
f'.'/ iPy 'og cy -}- yp log ex -\- py) — if'x {px log ex -\- xp log ey -\- px) = 0; donc en divisant ])ar p (log e-xy -\- 1)
donc x(p'xz=k et d(rx= ,
et de là ' (fx = k\o§ i»x.
L'équation de condition donnée deviendra donc:
k log 1/tx -f k log niy = yj (xpy log ey + ypx log ex), on k log nî^xy = xp (pxy log c^xy),
ou en faisant pxy log e'xy = r et xy = v,
I^T = k log ?«-«'.
Par le méine procédé, qui a donné ci-dessus les fonctions qui satisfont à l'équation,
ipx -^(fy = i}j {xfy + ijfx), on peut trouver les fonctions inconnues dans toute autre équation à deux quantités variables. En effet, on peut par des différentiations successives par rapport aux deux quantités variables trouver autant d' équations qui sont nécessaires, pour éliminer des fonctions quelconques, de sorte qu' on parviendra à une équation qui ne contient qu'une seule de ces fonctions, et qui sera en général une équation différentielle d'un certain ordre. On peut donc en général trouver chacune de ces fonctions par une seule équation. H suit de là qu'une telle équation n'est que très rarement possible. Car, comme la forme d'une fonction quelconque contenue dans l'équation de condition donnée, en vertu de l'équation même, doit étie indépendante des formes des autres fonctions, il est évident qu' en général on ne peut considérer aucune de ces fonctions comme donnée. Ainsi par exemple l'équation ci-dessus ne pourrait plus être satisfaite, si la fonction fx eût eu une forme différente de celle qu'on vient de trouver.
Note siir le mnnoire No. 4 du second tome dti journal de M. Crelle, ayant pour titre "remarqiics s/ir 1rs séries infinies et leur convergence."
\3n trouve pag. 54 dans ce mémoire le théorèine suivaut jM»iir leconnaifre si une série est eonvergcuîe ou divergente:
"Si l'on trouve que dans une série infinie le produit du ??'" terme ou du "«"' des groupes de termes qui conservent le nu-me signe, par n, est zéro pour "rt^oo, on peut regarder cette seule circonstance comme une marque, que la "série est convergente: et réciiiroqueinent, la série ne peut pas être conver- "gente si le jiroduit «.«„ n'est pas nul pour w^cxd."
La dernière partie de ce théorème est très juste, mais la première ne semble pas l'être. Par exemple la série
21og2 ' :ilog3 ' 41og4 n\o^n
est divergente quoique na„ = -, soit zéro pour n = oo. En effet les loga-
' log?^
ritlunes hyperboliques dont il est question sont toujours moiiulre que leurs
nombres moins 1, c'est-à-dire, on a toujours log(l-j-.r)<a:. Si a>l cela
est évident. Si .r<l on a
log(l + .r) = a— ..'-(i-l.r) — .r*(i-kr) . . .
donc aussi dans ce dernier cas log(l-f-.r)<.r, puisque i — i.r, i — i.r sont
tous positifs. En faisant .r= — , cela donne
log( 1 -\ ) < — ou bien log— ^^ < —,
ou
log(l + «)<— + '»§" < f 1 -| r — ) ^^^ " '■
donc
I02; los: (1 -4- u) < log los « + log ( 1 H ; ) •
Mais puisque \og{l-{-a:)<x, on a log( 1 -] ; ) < -— — , donc en vertu de
1 * ov 1 / ^V ' «logM/ nlogn
l'expression précédente,
lo2;los;(l + ?i)<lo2:los;?i H ; .
En faisant successivement ?< = 2, 3, 4,... on trouve
Ioglog3<loglog2 + Yi^;^'
loglog4<loglog3 -j-
31og3'
loglog5<loglog4 + — — -,
4 lOS 4
logIog(l + w)<loglogw + ^n^' donc, en prenant la somme,
loglog(l + >*)<logiog2 + ^ + ^ + j^--- + ^. Mais loglog(l-|-?/) = oo pour ?i = oo, donc la somme de la série proposée
— 1 i- . . . -I est infiniment grande et par consé-
21og2 ^ SlogS ' 41og4 ~ Klog7^ " ^
quent cette série est divergente. Le théorème énoncé dans l'endroit cité est donc en défaut dans ce cas.
En général on peut démontrer qu'il est impossible de trouver une fonction (pn telle, (jii'une série quelconque fif,-\- a^-\- a^-\- a^ . . . -\- a„, dont nous supposons tous les termes positifs, soit convergente, si qn .a„ est zéro pour w=oo et divergente dans le cas contraire. C'est ce qu'on peut faire voir à l'aide du théorème suivant.
Si la série r/^,-|- o^-f- ft^ . . . -\- a„ . . . est divergente, la suivante
"JL -|- ^J^ 1 «3 I "n
le sera aussi. En effet, en remarquant que les quantités «„, «j, a^, . ■ ■ sont positives, on a en vertu du théorème log(l -)-.r)<.T-, démontré ci-dessus,
'o§ K+ «1 + «2 • • • + «n) — log («0 + «1 + ti„... fl„i) e' est-à-dire
log(l -f ^5 ) < "^
donc, en faisant successivement ;/ = !, 2, 3,...:
•Oiî K + '^i + ''î + «3) — log («0 + «1 + «a)< — -J^— ,
•0SK + «1---- + "") — 'Og(0o + «l---- + '?n-i)<
an+a,... + a„ '
et en prenant la somme,
Mais si la série «^-j-Oj-j-f/^ . . . -}-«„ est divergente, sa somme est iniinie et le logarithme de cette somme l'est également; donc la somme de la série
-^ A ^ — ...A — est aussi infiniment grande, et cette série est
par conséquent divergente, si la série a^-\-a^-{-a^. . • + '^n-i l'est. Cela posé, supposons que ç7i soit une fonction de n telle, que la série a^-\-a^-\-a^...-\-a^... soit convergente ou divergente selon que (fn.a^ est zéro ou non pour w = oo. Alors la série
<pl ' (p2 ~ o3 ~ 94 ■ '~ on '"
sera divergente et la série
^^ V çl ' ç2 ■" 93 ■ ■ ■ 9(« - 1) / convergente; car dans la première on a a„(f?i^l et dans la seconde a^(fn^O pour n^oo. Or selon le théorème étal)li plus haut, la seconde série est nécessairement divergente, en même temps que la première; donc une fonction (fn telle qu'on l'a supposée n'existe pas. En faisant (ftiT=n, les deux séries en question deviendront
et ^1^1 1 -I- ^
•2.1^3(1+*) t- 4(1+^+1) ^ «(lHH---^i-)
qui par conséquent sont divergentes toutes deux.
Mémoire sur toie classe particulière d' équations résolubles algébriquement.
Ml est vrai que les équations algébriques ne sont pas résolubles généralement; mais il y en a une classe particulière de tous les degrés dont la résolution algébrique est possible. Telles sont p. ex. les équations de la forme .r" — 1=0. La résolution de ces équations est fondée sur certaines, relations qui existent entre les racines. J'ai essayé à généraliser cette remarque en supposant que deux racines d'une équation donnée soient tellement liées entre elles, qu'on puisse exprimer rationnellement l'une par l'autre, et j'ai trouvé, qu'une telle équation peut toujours être résolue à l'aide d'un certain nombre d'équations moins élevées. 11 y a même des cas où l'on peut résoudre algébriquement l'équation donnée elle même. Cela arrive p. ex. toutes les fois que, l'équation donnée étant irréductible, son degré est un nombre premier. La même cbose a lieu encore si toutes les i-acines d'une équation peuvent être exprimées par
X, Ox, b"-x, f/x^ . . . 0"-\v^ ou 0"x=zx, Ox étant une fonction rationnelle de .r, et b'^x, b^x, . . . des fonctions de la même forme de 6x, prise deux fois, trois fois, etc. . . .
L'équation-^ =0, si n est un nombre premier, est dans ce cas; car
en désignant par « une racine primitive pour le module ?>, on peut, comme on sait, exprimer les n — 1 racines par :
X, X", X"', x"^ , .... x""''', où a:"'"' = .r, c' est-à-dire en faisant x" = Ox, par :
X, Ox, 6\v, b^x, 6"-2.r, où d^-^x = .r.
La même propriété convient à une certaine classe d'équations qu'offre la théorie des fonctions elliptiques.
En génériil je suis parvenu à démontrer le théorème suivant : "Si les racines d'une équation d'un degré quelconque sont liées entre-elles de sorte, que toutes ces racines peuvent être exprimées rationnellement au moyen
(le l'une d'elles, que nous désignerons par x; si de plus, on désignant par ôar, O^x deux autres quelconques des racines en question^ on a
l'équation dont il s'agit sera toujours résoluble algébriquement. De même si l'on suppose l'équation irréductible et son degré exprimé par
OÙ «,, «2» • • • • "w ^ont des nombres premiers dilTérents, on pourra réduire la résolution de cette équation à celle de j\ équations du degré «j, de c^ équations du degré a^ de 7', équations du degré u^ etc."
Après avoir présenté généralement cette théorie, je l'appliquerai aux fonctions circulaires et elliptiques.
Nous allons d'abord considérer le cas où l'on suppose que deux racines
d'une équation irréductible") soient liées tellement entre-elles, que l'une paisse être exprimée rationnellement par l'autre.
Soit
1) (fx = 0
une éqiiation du degré //, et x' et .Tj les deux racines qui sont liées entre-elles par l'équation
2) X' = dx^,
où Ox désigne une fonction rationnelle de x et de quantités connues. La quantité X' étant une des racines de l'équation, on aura (p{x')=0 et en vertu de (2). 5) cp{ex,)^0.
Je dis maintenant ({ue cette équation aura encore lieu, si au lieu de x^ on met une autre racine quelconque de l'équation proposée. On aura effectivement le ^léorème suivant" ).
*) Une équation çx =z 0, dont les coefficiens sont des fonctions rationnelles d'un certain nombre de quantite's connues a, b, c, . . . s'appelle irréductible, lorsqu'il est impossible d'exprimer ses racines par une équation moins e'ieve'e, dont les coefficiens soient e'galement des fonctions rationnelles de a, b,c, . . .
**) Ce the'orème se de'montrera aisément comme il suit:
Quelle que soit la fonction rationnelle /j^, on peut toujours faire /r= -—-, où Met A'^
sont des fonctions entières de j, qui n'ont pas de facteur commun; mais une fonction entière de x peut toujours être mise sous la forme P+Q.çj, où P et Q sont des
Théorème I. "Si une des racines d'une équation irréductible (fx-=iO satisfait à une autre équation fx^O, où fx désigne une fonction rationnelle de x et des quantités connues qu'on suppose contenues dans (px; cette dernière équation se trouvera encore satisfaite en mettant au lieu de x une racine quelconque de l'équation q?.r = 0: mais le premier membre de l'équation (5) est une fonction rationnelle de x, donc on aura
4) (p{fJx)=0, si (px = 0,
c'est-à-dire, si x est une racine de l'équation y.r=0, la quantité Ûx le sera également.
Maintenant, en vertu de ce qui précède, Ox^ est une racine de l'équation (px=0, donc 60xj le sera aussi: également 666x^, etc. le seront encore en répétant l'opération désignée par 0 un nombre quelconque de fois.
Soit pour abréger
06x^=0''x^; Û6-x^=i0\v^; Oe^x^=0*Xi etc.
on aura la série
et toutes ces quantités seront des racines de l'équation qpa-^0, La série (o) aura une infinité de termes, mais l'équation ^^=0 n'ayant qu'un nombre fini de racines différentes, il faut que plusieurs quantités de la série (o) soient égales entre-elles.
Supposons donc p. ex
ou bien
6) o"(e"'x\) — frx^ = o,
en observant que 0'"~^"x^ = 0"0"'x^.
Le premier membre de l'équation (6) est une fonction rationnelle de Û"^x\; or cette quantité est une racine de l'équation (px=0, donc en vertu du tbéorème énoncé plus haut, on pourra mettre x\ au lieu de 6"'^:^ Cela donne
fonctions entières, telles, que le degré de P soit moindre que celui de la fonction çx. Donc, en faisant M:=F+Q.çx, on aura/x=:: ' ■. Cela posé, soit x^ la racine de çxr=-.0, qui satisfait en même temps à /r=0; Xj sera également une racine de l'équation Pz^zO, Or si P n'est pas zéro pour une valeur quelconque de x, cette équation donnera x, comme racine d'une équation d'un degré moindre que celui
de 9x=:^0; ce qui est contre riiypotlièse; donc P = 0 et par suite /x:=:çx —, d'où l'on voit que fx sera égal à zéro en même tems que çj q. e. d.
où l'on peut supposer que ?i ait la plus petite valeur qui existe, eu sorte que toutes -les quantités
8) :r,, Bx^, 6X> •• ^""'•»^'i soient différentes entre-elles.
L' équation (7) donnera
e^O".i\ = (l^a\ , c' cst-à-dire : 0'''^^.t\ = 0^-r^ . Cette formule fait voir qu'à partir du ternie t'""*.rj, les termes de la suite (8) se reproduiront dans le même ordre. Les n quantités (8) seront donc les seules de la série (5) différentes entre-elles.
Cela posé, si i^i^n, soit x^ une autre racine de l'équation proposée, qui n'est pas contenue dans la suite (8), il suit du théorème I., que toutes les quantités
Jj ^2, 0^2, G-x^, .... 6"~ x^, ....
seront également des racines de l'écpiation proposée. Or je dis que cette suite ne contiendra que u quantités différentes entre-elles et des quantités (8). En effet, ayant ÔV^ — .r^=z:0, on aura en vertu du théorème I: 6^x^-=x^ et par suite :
Donc les seules (quantités de la série (9) qui ymirront être différentes entreelles, seront les n premières
10) x^, ex^,6^x^,....0^-^x^.
Or celles-ci seront néccessairement différentes entre-elles et des quantités (8). En effet, si l'on avait
6".r2 = e'';r2, où m et V sont moindre que n, il en résulterait 0^x^-= (fx^, ce qui est impossible, car toutes les quantités (8) sont différentes entre-elles. Si au contraire on avait:
il en résulterait
6"-"'(9'':ri = (9"-"> 0'"x^=^6''-'^+"'x^ = 0"x2=x^ donc
x^=z6'"'^+*'x^, c'est-à-dire la racine x^ serait contenue dans la série (8), ce qui est contre l'hypothèse.
Le nombre des racines contenues dans (8) et (10) est 2«, donc fi sera ou égal à 271, ou plus grand que ce nombre.
Soit dans le dernier cas x^ une racine différente des racines (8) et (10), on aura une nouvelle série de racines
et on démontrera précisément de la même manière, que les n premières de ces racines sont différentes entre-elles et des racines (8) et (10).
En continuant ce procédé jusqu'à ce que toutes les racines de l'équation qpj?=0 soient épuisées, on verra que les /.i racines de cette équation seront divisées en plusieurs groupes, composés de n termes; donc ,« sera divisible par 71, et en nommant m le nombre des groupes, on aura:
Les racines elles mêmes seront:
12) /.r3, ex„ d^v„... O'^-'x,,
Si m=i, on aura ?/ = /*, et les fi racines de l'équation (f.T = 0 seront exprimées par
15) .r^, ex\, 6^x„ .... ^."-Vj.
Dans ce cas comme on verra dans la suite, l'équation (fx- = 0 est résoluble algébriquement. Mais la même cbose n'aura pas toujours lieu lorsque ?n est plus grand que l'unité. On pourra seulement l'éduire la résolution de l'équation (fx = 0 à celle d'une équation du m'^°"^ degré, dont les coefllciens dépendront d'une équation du ?tt''=°"' degré; c'est ce que nous allons démontrer dans le paragrapbe suivant.
Considérons un quelconque des groupes (12), p. ex. le premier, et faisons
14) I ix—x^{x-d.r,){x-0'.v,)...ix-e"-\r,) ^ \=.v''-\-A\..r"-'-\-A"^.x"-^ ...-{- A["-^\x-\-A[^^ = 0, les racines de cette équation seront
x„ dx^, b^x^, .... 6'"-'.r, et les coefficiens A\, A'[, A^^^ seront des fonctions rationnelles et symé-
triques de ces quantités. Nous verrons qu'on peut faire dépendre le développement de ces coefficieus de la résolution d'une seule équation du degré m.
Pour le montrer, considérons en général une fonction quelconque rationnelle et symétrique de a.\, O^i, Ô^^i, • • • Ô^'^-Vi, et soit
cette fonction.
En mettant au lieu de a\ successivement x^, x^, . . . .v^^, la fonction i/, prendra dilVérentes valeurs, que nous désignerons par v/j, i/.^, 7/^, . . . y^^. Cela posé, si l'on forme une étpiatiou du degré >»:
IG) y™ + p,r'-' + P.r-'' + • • . + y>n,-u'/ + 7'.n = 0, dont les racines sont t/^, y„, i/i,---^^, je dis que les coefllciens de cette éfjuation pourront être exprimés rationnellement par les quantités connues, qu'on suppose données par l'équation proposée.
Les quantités di\, 0'^-t\, • ■ ■ 6"~^-t\ étant des fonctions rationnelles de .r,, la fonction i/^ le sera également. Soit
( yi = ^-*'n
17 j < nous aurons aussi
Mettant dans (lo) successivement Ox^, 0"-^\, O^-^i, ■ • • O^'^-f au lieu de x^, et remarquant que 0"^\ = a\; 0"^^-^\^= O-v^; ^"+2.1-^= (^l^.r^, etc. il est clair que la fonction y^ ne changera pas de valeur; on aura donc
y 1 = F.v^ = FiOxj = Fiff-x^) = ... = F{fr-^x;)
et également
,y,= Fx^ = F{dx,) =-F{ffx^) = ... = F(6l"-Kr,),
y,,= Fx^=FiexJ=F{ff-xJ=z... = FiO'-\v,,).
Elevant chaque membre de ces équations à la ^^''^"^ puissance, on en tire:
En ajoutant ces dernières équations on aura la valeui* de
r,+yl + yl + --- + K
exprimée en fonction rationnelle ^i symétrique de toutes les racines de l'équation (fx = 0, savoir :
19) y\ +yl + r. + --- + yl = ~ ^(F-^Y-
Le second membre de cette équation peut être exprimé rationnellement par les coefflciens de (px et 6x, c'est-à-dire par des quantités connues. Donc en faisant
on aura la valeur de ?v, pour une valeur quelconque entière de v. Or connaissant T-j, ?'„,.. -J'niî on en pourra tirer rationnellement la valeur de toute fonction symétricjue des quantités ^i, y.^, • • -ym- On pourra donc trouver de cette manière tous les coefTiciens de l'équation (16) et pai* conséquent déterminer toute fonction rationnelle et symétrique de x^, dx^, O^x^, . . . O^'^x^ à l'aide d'une équation du w?'^"^ degré. Donc on aura de cette manière les coefficiens de l'équation (1 i), dont la résolution donnera ensuite la valeur de x^ etc.
On voit par là qu'on peut ramener la résolution de l'équation (px = 0, qui est du degré fi=7n.?i, à celle d'un certain nombre d'équations du degré m et n. Il suffit même, comme nous allons voir, de résoudre une seule équation du degré m et m équations du degré n.
Soit \i'x^ un quelconque des coefTiciens A'^, A'^, . . . A'"^ et faisons 2 1 ) t„= y\ .^x^-\-yl. rpx^ -f y^ .^^x^-\- . . . ^y^^. rpx^.
Puisque y^ . i^'.r^ est une fonction symétrique des quantités x^, Ox^,...d'^~^x^, on aura, en remarquant que 6^x^r=i x^; 0^+^x^z=i6x^ etc.
y\\i)x^ ={Fx^y. xpx^ = {FOx^y. ^6x^ = ... {Fti^-^x^y. xp6''-^x^ , donc:
y'lx},x,= l^.[iFx,y.^px,+ {FOx,y.,pOx,-]-. . . (FÔ"-^ar,)".t^'6"-»xJ.
On trouvera de semblables expressions pour y'^^.tpx^, y''^.'ii\rj,...y'\n\r^, en mettant x^, .Tj, . . . ar,„ à la place de x^. En substituant ces valeurs, on voit que fy deviendra une fonction rationnelle et symétrique de toutes les racines de l'équation (fX^=Q. En effet on aura
22) ty = — ^\Fxy . ^px.
Donc on peut exprimer t^ rationnellement par des quantités connues.
Cela posé, en faisant î' = 0, 1, 2, 3, .../«— 1, la formule (21) donnera:
On tirera aisément de ces éqii<itions, linéaires par rapport à i/'^j, ^^'x^, . . . V'a^ni, les valeurs de ces quantités en fonctions rationnelles de y^, y^, y^,
En effet, en faisant
25) iy—y^)iy—yi)---iy~ym)
on aura
"^ ^ » Jt, + E,y,+ R^yl + ... + Ji...,y-' + y-' '
Les quantités B^, R^, . . . Rj^-^ sont des fonctions rationnelles de y^, y,, y^, . . . y^, mais on peut les exprimer par y^ seul. En efi'et, en multipliant (23) par y — y^, on aura: '
(j/-y,) iy-y^) • ■ • (y-ym)=y'"-\-Pry''-'+p,y'"'+ • ■ --{-p.-^+Pr. = r+ iK-.-y,)y'''-'+ iK-.-y,ii.-dy''-'+ ■ ■ ■
d'où l'on tirera, en comparant les puissances égales de y:
25) {l^m-i=yJL~3+Pz = yl+Piyl+P2yi+Pz,
'^o =y:-'+pX'"+P2y''r"+- ■ • + /'m-x-
Eu substituant ces valeurs, l'expression de rpx^ diviendra une fonction rationnelle de y^ et de quantités connues, et on voit qu'il est toujours possible de trouver xpx^ de cette sorte, sous condition que le dénominateur
n.+R^y.+ii.yl + ■■■ + K-.y:-' + y:"
ne soit pas zéro. Or on peut donner à la fonction y^ une infinité de formes qui rendront impossible cette équation, p. ex. en faisant
26) y^ = (u-x^) (a — ex,) (a — ù^xj . . . (a-O^-^xJ, oii ('. est indéterminé, le dénominateur dont il s'agit ne peut pas s'évanouir. En effet ce dénominateur étant la même chose que
{yi—yù iy^—yz) ■ ■ ■ iy,—ym),
on aurait
s'il était nul, c'est-à-dire
(« ^. J {a-dx,) ...{u- (9"-'.r,) = (« - XX) (« — 6^,) ...(« — (9"-'.rJ, ce qui est impossible, car toutes les racines x\, dx:^, O^x^, . . . 6""^^:^ sont différentes de celle-ci: x\, d-v^, 0'^X\., . . . ^"-'a:,^.
Les coefficiens A'^, A"^, . . . A'"^ peuvent donc s'exprimer rationnellement par une même fonction y^, dont l'expression dépend d'une équation du degré m. Les raciues de l'injuation (14) sont
En remplaçant dans les coefficiens A'^, A"^ etc. y^ par y^, ^3-: ■ ■ • l/m^ f" obtiendra in — 1 autres équations, dont les racines seront respectivement:
.r^, dx^, . . . 6l"-^^3,
Théorème II. L'équation proposée y.r = 0 peut donc être décomposée en un nombre de m équations du degré w, dont les coefficieus sont respectivement des fonctions rationnelles d'une même racine d'une seule équation du degré m.
Cette dernière équation n'est pas généralement résoluble algébriquement quand elle passe le quatrième degré, mais l'équation (14) et les autre* semblables le sont toujours en supposant connus les coefficiens A'^, A"^ etc., comme nous le verrons dans le paragrapbe suivant.
Dans le paragrapbe précédent nous avons considéré le cas où m est plus grand que l'unité. Maintenant nous allons nous occuper du cas où /» = 1.
Dans ce cas on aura /( = », et les racines de léquation (fx^O seront
or je dis que toute équation dont les raciues peuvent être exprimées de cette sorte est résoluble algébriquement.
Soit u une racine quelconque de l'équation co" — 1=0, et faisons
28) i|.r = (.r-|- a.Ox -^uHPx-^ a=f)'x-\- . . . -f «,"-Y/"-'.t>" ,
ip.T sera une fonction rationnelle de x. Or cette fonction peut s'exprimer ratiouuclleuient par les coefficiens de (px et 0j?.
En mettant ^"a; au lieu de x, on aura
(^.n.r | c.d^'+Kv 4- «2(9™+=^- 4- . . . + «."-'" . 6"xrj- c"-"+* . 6"+'.v . . . «."-'. ^Z'+^-^a:)/' ; maintenant on a
d."x=x, e^^'x—dx, . . . 6i."+"'-'^ = <?°'-'.r, donc:
Or «(" = 1, donc:
%pd'^x=^ [cc."-'"{x-\-adx-{-a''0^x-\- . . . + «^-»(9."-»a;)]" u.<"-'°^x-\-ttdx + . . . + «."-'^.«-^x)-", donc,
(^uf^-m) étant=l,
on voit que
ipO'°x=^ipx.
En faisant m=0, 1, 2, 3,.../* — 1, et ajoutant ensuite, on trouvera:
29) ^'x = -1 (nx+ ndx + ip'd^x + . . . + rpd"-'x).
^x sera donc une fonction rationnelle et symétrique de toutes les racines de l'équation (f.v:^0, et par conséquent on pourra l'exprimer rationnellement en quantités connues.
Soit ^ix = v, on tire de l'équation (28):
30) pr = x-^ a Ox 4- u^x + . . . + af'-'d'"-'^ • Cela posé, désignons les fi racines de l'équation
«.« — 1=0 par
et les valeurs correspondantes de v par
O— ^ Vf,, v^, r.2, î'3, . . • ^u-i?
l'équation (50) donnera, en mettant à la place de « successivement 1, a^.
yv^ =x-^ Ox-\- 6^x-\-...-\-e:"-\r,
\\^v^ =x-\- a^Ox-\- u\iP-x + . . . + af^-'ef-'x,
J/vu.,= x-\-(if,fix+ui fi-'x + . . . + <-;e."-'a:.
En ajoutant ces équations on aura :
54) x = ^ [-A-{-Vv^ + V-v^ + %,+ . . . +f i^^,],
où — A exprime la quantité rationnelle yv^y.
On connait par là la racine x. Généralement on trouve la racine O^x en multipliant la première des équations (53) par i, la seconde par «-", la troisième par «-™ etc., et ajoutant; il viendra alors:
En donnant à m les valeurs 0, 1, 2, ... in — 1, on aura la valeur de toutes les racines de l'équation.
L'expression précédente des racines contient généralement un nombre
fx — 1 de radicaux différents, de la forme ■^/^'. Elle aura donc un nombre /("' de valeurs, tandis que la racine de l'équation (fx^=0 n'en a que //. Mais on peut donner à f expression des racines une autre forme, qui n'est pas exposée
à cette difficulté. En effet, lorsque la valeur de yz\ est fixée, celle des autres radicaux la sera également, comme nous allons le voir.
Quel que soit le nombre (j, premier ou non, on peut toujours trouver une racine a de l'équation «" — 1=0, telle que les racines
puissent être représentées par
36) «, a\ a\ . . . af-\
Cela posé on aura
^ ^ (l/'iv =zx-\- u^. ex + a'^^ù'^x + . . . + c/."-')''. 0"-\v, 57) {„ ' ^ ^ ' '
l|/r)j =: X + « . Ox + ('."-ù-x 4- . . . + «•"-'• 0"-'x, d'où l'on tire:
58) \Vf\-{Vf\)"~^= (•^• + «''- e.i:-\-u^^. b'^x + . . . + «f."-')k. fl."-'a:) I X (.î- H- « • Ox + «^ . Ô'^.r + . . . + «."-> . Bf'-'xY-K
Le second membre de cette écpiation est une fonction rationnelle de x, qui ne changera pas de valeur en mettant au lieu de x une autre racine quelconque O'^x, comme on le verra aisément, eu faisant cette substitution et ayant égard à l'équation 0^^'^x-=Q''x. En désignant donc la fonction dont il s'agit par ^px, on aura:
'"^ ''^ yv,,.{y^v )f-^= U'X=\p6x=i\p6^x =:... = \pe."-'x,
et de là:
39) Yv^,.iyvy-^= — \yx-\-'\pex-{-'\i!b'^x + . . . -f- 1/,'/9."->^].
Le second membre de cette équation est une fonction rationnelle et symétrique des racines, donc on peut l'exprimer en quantités connues. En la désignant par «,., on aura:
40) Yv^(Yry'-^=a^ et de là:
A l'aide de cette formule l'expression de la racine x deviendra:
42) x=^{-A+V-v, + ^{Vv,f-^^yv,f + ...+^{Vvy-). Cette expression de x n'a que (i, valeurs différentes, qu'on obtiendra en mettant
au lieu de yv^ les /^ valeurs:
fl fl U fj,
La méthode que nous avons suivie précédemment pour la résolution de l'équation (fx = 0 s'accorde au fond avec celle, dont 31?'. Gauss a fait usage dans ses "Disquisitiones aritlimeticae pag. 64S et seq." pour résoudre une certaine classe d'équations, auxquelles il était parvenu dans ses recherches sur l'équation x^ — 1=0. Ces équations ont la même propriété que notre équation (fx-=.Q-, savoir que toutes ses racines peuvent être représentées sous la forme :
X, Sx, bH-, . . . 6-"-^x, Ox étant une fonction rationnelle.
En vertu de ce qui précède nous pourrons énoncer le théorème suivant: Théorème III. Si les racines d'une équation algébrique peuvent être représentées par:
X, Ox, b'^x, . . . d'"-'x, où ^i".r =z X et dx désigne une fonction rationnelle de x et de quantités connues, cette équation sera toujours résoluble algébriquement.
Ou en tire le suivant, comme corollaire:
Théorème IV. Si deux racines d'une équation irréductible, dont le degré est un nombre premier, sont dans un tel rapport, qii'on puisse exprimer l'une ratiormeUement par l'autre, cette équation sera résoluble algébriquement.
En effet cela suit immédiatement de l'équation (11)
où l'on doit avoir m^=\, si /( est un nombre premier, et par conséquent les racines s'expriment par x, Qx, O'^x, . . . 0"~^x.
Dans le cas, où toutes les quantités connues de (px et 6x sont réelles^ les racines de l'équation (px = 0 jouiront d'une propriété remarqualjle, que nous allons démontrer.
Par ce qiii précède on voit que «„j peut être exprimée rationnellement par les coefficiens de (px et 6^, et par a. Si donc ces coeftlciens sont réels, Uu-i doit avoir la forme
a^,i=a-]-by — 1, où j/^ — 1 n'enti'e qu'à cause de la quantité «, qui en général est imaginaire, et qui généralement peut avoir la valeur
a = cos + F — 1 . sin — .
En changeant donc dans « le signe de Y' — 1 •-"'■ désignant par «'„j la valeur correspoudente de «„i, on aura
m'^j :^ a — by^ — 1 .
Or suivant (iO) il est évident, que «'^j = «„j, donc b = 0 et
Donc «„j a toujours une valeur réelle. On démontrera de la même manière que
v^~c-{-(fy—l et v,,,z=r—d\/'—l, où r et d sont réels.
Donc :
Do là on tire
ii) ?' ^ r= r 4- ]/ — 1 . [/(a" — r-2) ,
et par suite y^{a." — f^) = f/; d'où l'on voit que K(«" — t*) a toujouis uue valeur réelle.
Cela posé, on peut faire
4o) c=(|/p).«coS(T, l/(«f/' — r^) = (!/(')'' siii'V,
où ç est une quantité positive.
On en tire
f'+[^{a- — r^)f = {\/çr.", c' est-à-dire
46) af'=z(jf';
par conséquent ç sera égal à la valeur numérifjue de a. D'ailleurs on voit que a est toujours positif, si fi est un nombre impair. Connaissant q et d, ou aura
V, = (Kp)"- (eos (5 + j/"— 1 . sin (5) et par suite
y v,=Vç . [cos (^j + K- 1 . s.n (-^-jj.
En substituant cette valeur de yv^ dans l'expression de x (42), elle
prendra la foniie:
jrm,\ 1 r ï I tA / 5+2/njU , -,r > . S+2m7: \ 4/) .r = -[— ^ + l/p.(^cos — ---f|^— l.sm — j
I /^ I lA -.\/ 2(5+27«z) I ,/ 1 . 2(8+2w7:)\ + if+ffV— 1) (cos -^— ^^^ '- + ]/— 1 .sin -L ^ j
+ (F+G]/-l)K?.(cosi(^±^^ + l/-l.sin^^^±?^)
+ (/-^ -1-^^ |^ 1) (cos i(^±?^ + K- 1 . sin i(^±^^) + etc. . J
où (), A, f, g, F, G etc., sont des fonctions rationnelles de cos— ^, sin —
et des coeflficiens de (fx et ^.r. On trouvera toutes les racines, en donnant à m les valeurs 0, 1, 2, 3, . . . /( — 1.
L'expression précédente de x fait voir:
Théorème V. que pour résoudre l'équation y.r=0, il suffit: \) de diviser la circonférence entière du cercle en /( parties égales, 2) de diviser un angle d, qu'on peut construire ensuite, en /t parties égales, 5) d'extraire la racine carrée d'une seule quantité ç.
Ce théorème n'est que l'extension d'un théorème semhlable, que 3Ir. Gaiiss donne sans démonstration dans l'ouvrage cité plus haut pag. 631.
Il y a encore à remarquer que les racines de l'équation (f>x^=Q sont ou toutes réelles ou toutes imaginaires. En eff"et si une racine x est réelle, les autres le sont également, comme les expressions
Ox, b'^x, . . . 0."-''x, qui ne contiennent qiie des quantités réelles, le font voir. Si au contraire x est imaginaire, les autres racines le sont aussi, car si p. ex. 0'"x était réelle, df^-°'{0"'x)= 6f'.T^x, le serait également, contre l'hypothèse. Dans le premier cas a sera positif et dans le second négatif.
Si f^i est un nombre impair, toutes les racines seront réelles.
La méthode que nous avons donné dans ce paragraphe, pour résoudre
l'équation cpx^O, est appliquahle dans tous les cas, le nombre }i étant premier
ou non; mais si /* est un nombre composé, il existe encore une autre méthode
qui off"re quelques simplifications et que nous allons exposer en peu de mots.
Soit /t=/H.H, les racines
X, 6x, û'^x, . . . 6"-^x pourront être groupées de la manière suivante:
X, O'^x, ô'^'^x, . . . Ô^"-'"V, ex, C^+^x, 6'™+»^, . . . 6l("-^>'"+^a:,
O'^-^x, 0^'^~''x, (j^'^-^x, . . . 6i""-'.r. En faisant pour abréger:
48) e'^x = diX,
49) .i=^i, Ox=x^, 0'^x=x^, . . . 6'"-^x=^x^ on peut écrire les racines comme il suit:
'1') x„ 0,x„ Ûlx„ . . . Ôl-'x,, r-(\\ J2) X^, O^x^, O^x^, . . . 0^ x^.
iO)
>«') .^m, fv^'m, ^!-i'm, • • • 0^ '■*•„,.
Donc en vertu de ce qu'on a vu dans le §. 2 on peut décomposer l'équation q>x=0, qui est du degré ?«.«, en ?h équations du degré ??, dont les coefficiens dépendront dune équation du degré m. Les racines de ces m équations seront respectivement les racines 1', 2', . . . m'.
^i 71 est un autre nombre composé w,.??^, on peut décomposer de la même manière cliacune des équations du degré 7i, en 7h^ équations du degré 7i^, dont les coefficiens dépendront dune équation du degré îh^. Si ??^ est encore un nombre composé, on peut continuer la décomposition de la même manière.
Tlicoi'fime VT. En général, si l'on suppose
Ol) fl=:z>ll^.ni^.m^...77l„,
la résolution de l'équation proposée q:x=0 sera ramenée à celle de ?i équations des degrés:
Il sutïït même de connaitre une seule racine de ces équations, car si on Donnait une racine de l'équation proposée, on aura toutes les autres racines, exprimées en fonctions rationnelles de celle-ci.
La métbode précédente est au fond la même que celle, que Mi'. Gauss donne pour la réduction de l'équation à deux termes .r" — 1:^0.
Pour faire voir plus clairement la décomposition précédente de l'équation (fx^O en dautres de degrés moins élevés, supposons p. ex. |U=30:^5.3.2.
Dans ce cas les racines seront:
X, Ox, fP'x, . . . tPx.
D'abord nous formerons une équation du 6'*^"^ degré, dont les racines seront:
X, b\r, Ij^^x, (i^^x, 6^V, IP^x.
Soit R=0 cette équation, on peut déterminer ses coefficiens, rationnellement, par une même quantité t/, qui sera la racine d'une équation du cinquième degré: P^O.
Le degré de l'équation /?=0 étant lui même un nombre composé, nous formerons une équation du ô'*^"*^ degré: B^ = 0, dont les racines seront:
X, ô'^x, 0^"x, et dont les coefllciens sont des fonctions rationnelles àe y, et d'une même quantité z, qui est racine d'une équation du second degré P^=0, dans laquelle les coefficiens sont exprimés rationnellement par y.
Voici le tableau des opérations:
Ou peut aussi commencer par une équation du 2'"=""= degré en r, ou bien par une équation du 5'"""^ degré.
Reprenons l'équation générale (p.T=0.
En supposant fi=mi.n, on peut faire
OÙ y est déterminé par une équation du tn'''"'" degré:
dont tous les coelRcieus sont exprimés rationnellement en quantités connues. Cela posé, soient:
M) I'" ^^ "'i -'"a-^'s • • • '»<o et // r=r m^ . n^,
(/' = m^.n^: fi = m^.ii„,
plusieurs manières de décomposer le nombre /< en deux facteurs, on pourra décomposer l'équation projiosée (f.r = 0 en deux autres des a manières suivantes :
ÎFj(.r, yj) = 0, dont les racines seront x, 6^'x, ô^'^'x, . . . 0^"r^^"'<x et les coefficiens des fonctions rationnelles d'une (piantité i/^ racine d'une équation f^i/^z=0, du degré m^.
(F.^[x, y^) = 0, dont les racines seront .r, O'^^x, 6''™2ar, . . . i9*"'~""'2.r (2) <et les coefficiens des fonctions rationnelles d'une même quantité y^, (racine d'une équation /"j^-i = 0, du degré m^.
1Fo,{x, y„j) = 0, dont les racines seront x, O^i^x, b^^">x, . . . ^y'"w-' ""oj.r et les coefficiens des fonctions rationnelles d'une mémo quantité y,^, racine d'une équation f^iy^„z=:0, du degré ?«„. Supposons maintenant que m^, m^,...m^ pris deux à deux, soient premiers entre eux, je dis qu'on pourra exprimer la v.ileur de x rationnellement par les quantités y^, y„, y^, . . . y^^. En effet, si m^, 7n^, . . . niia sont premiers entre eux, il est clair qu'il n'y a qu'une seule racine, qui satisfera à la fois à toutes les équations
^S) F^ix,y^) = 0, F,(.r,^J = 0, . . . F„Xx,y,,) = 0: savoir la racine x. Donc, suivant un tbéoi'ème connu, on peut exprimer x
rationnollonieut par les coefficicus de ces équations et conséqueninient par les quantités y^, y.^^. . . y^.
Voila donc ramenée la résolution de léquation projiosée à celle de co équations: f^y^=0; f\y.,=0; . . . . fi,jyio^ 0, q»» sont respectivement des degrés: /«j, ?«,, .... ?«„„ et dont les coefliciens sont des fonctions rationnelles des coefficiens de (px et O.r.
Si Ion veut que les équations
soient les nioias élevées possibles, il faut choisir m^, m^, . . . m^,, tels, que ces nombres soient des puissances de nombres preniiers. P. ex si l'équation proposée q>.v = 0 est du degré:
oii fj, f^, ■ ■ • fco sont des nombres premiers différents, on aura
L'équation proposée étant résoluble algébriquement, les équations (o6) le seront aussi; car les racines de ces équations sont des fonctions rationnelles de X. On peut aisément les résoudre de la manière suivante.
La quantité y est une fonction rationnelle et symétrique des racines de l'équation (.">2), c'est-à-dire de:
Soit
60) y = Fx:=f{x, O'^X, 6'^"V, . . . 0'"-»""a:),
les racines de léquation (o5) seront
Gl) Fx; F{Ox); F{l/x); . . . F(6"'-i.i-);
or je dis que l'on peut exprimer ces racines de la nmnière suivante:
OÙ /y est une fonction rationnelle de y et de quantités connues.
On aura
65) F{Ox)=f[fjx, 0{lf\t), 6(6=^'".r), ...6(0f"-i^'>'a;)],
donc F{Ox) sera, autant que Fx, une fonction rationnelle et symétrique des racines .r, Ô".r, . . . 6<^"-*>;r, donc on peut, par le procédé, trouvé (24) exprimer ypifix) rationnellement par ^.'x. Soit donc
tpBx = '/Apx = hj , on aura, en remplaçant (on vertu du i. théorème) x par Ox, (Px, . . . d^~^x:
'[pe'^-'^x = ;.i//6i™-2 = /."-'y' c. q. f. tl-
Maintenant les racines de l'équation (S5) pouvant être représentées par
y, )y, l%...l-^-hj, on peut résoudre algébriquement cette équation de la même manière que l'équation (fx = 0. (Voyez le théorème III).
Si m est une puissance dun nombre premier = é'', on peut encore déterminer y à l'aide de v équations du degré e. (Voyez le théorème VI).
Si dans le théorème III, l'on suppose, que /< soit une puissance de 2, ou aura, comme corollaire, le théorème suivant.
Théorème VII. Si les racines d'une é({uation du degré 2'" peuvent être représentées par
X, Ox, U^x, . . . b-"~^x, où 6*'".r=a-, cette équation pourra être résolue à l'aide de l'extraction de co racines quarrées.
Ce théorème, appliqué à l'équation ~ ^ 0, où l-}-2'"' est un
nombre pren»ier, donne le théorème de 3Ir. Gauss pour le cercle.
Des équations dont toutes les racines peuvent être exprimées ratioiinellement
pur l'une d'entre elles.
Nous avons vu précédemment (théorème III) qu'une équation de degré quelconque, dont les racines peuvent être exprimées par
X, 6x, O^x, . . . 6."-^x est toujours résoluble algébriquement.
Dans ce cas toutes les racines sont exprimées rationnellement par l'une d'entre elles; mais une équation, dont les racines ont cette propriété, n'est pas toujours résoluble algébriquement; néanmoins, hors le cas considéré précédemment, il y a encore un autre, dans lequel cela a lieu. On aura le théorème suivant :
Théorème VIII. Soit x-^ = 0 une équation algébrique quelconque, dont toutes les racines peuvent être exprimées rationnellement par l'une d'entre elles, que nous désignerons par v. Soient Ox et O^x deux autres racines
quelconques, l'équation proposée sera résoluble alcjébriquenient, si l'on a OO^.v=OJJ.v.
La démonstration de ce théorème peut être réduite sur le champ à la théorie exposée §. 2, comme nous allons le voir.
Si l'on connaît la racine .r, on en aura en même temps toutes les autres: il suffit donc de chercher la valeur de x.
Si l'équation
64) X^ = 0 n'est pas irréductible, soit
l'équation la moins élevée, à laquelle puisse satisfaire la racine x, les coefficiens de cette équation ne contenant que des quantités connues. Dans ce cas les racines de l'équation (fx=0 se trouveront parmi celles de l'équation xx=0 (voyez le premier théorème), et par conséquent elles pourront s'exprimer rationnellement par l'une d'entre elles.
Cela posé soit Ox une racine différente - de x, en vertu de ce qu'on a vu dans le premier paragraphe, les racines de l'équation (px^O pourront être exprimées comme il suit:
or, Ox, e^x, . . . 6"-*.r, x^, 6x^, e^x^, . . . e^-^Xi,
^m-i» "'*'ra-l5 ^^ **'ra-iJ • • ■ 0" ^X^^,
et en formant l'équation
66) a;"+yi'.ar"-ï + ^"j,-"--^ + ^"'.r"-3-|- . . . -f J^-ilr-f J'")z=0, dont les racines sont x, Ox, (flx, . . . 0''-\r, les coefficiens A', A", . . . J*"> pourront éti-e exprimées rationnellement par une même (piantité y, qui sera racine d'une équation irréductible ):
67) r + P.I/"'-' + P.y'"-''+-- ■ -hp.^^!/ + P,n=0. dont les coefficiens sont des quantités connues (voyez §. 2).
*) On démontrera aisément, que cette e'quation ne pourra être réductible. Soit li=.0
l'équation irréductible en y, et v son degré. En éliminant y, on aura une équation
en X du degré 7jv; donc «v ^ [X. Mais on a
jj. =: 711. n, donc
ce qui est impossible, car v est moindre que m.
La ilétermiiiation de .r peut s'effectuer à l'aide des deux équations (6fi) et (67). La première de ces équations est résoluble algébriquement, en supposant les coeHlciens connus, c'est-à-dire la quantité y (voyez le théorème III). Quant à l'équation en y, nous allons démontrer que ses racines ont la même propriété que celles de l'équation proposée y.trrziO, savoir d'être exprimables rationnellement par l'une d'entre elles.
La quantité y est (voy. lo) une certaine fonction rationnelle et symétrique des racines x, (jx, O'-r, . ■ ■ d"~^x. En faisant: / y =f{x, d^r, 6'^.r,....6'"-^r), j les autres racines de l'équation (67) seront:
3^m-l /v*'iii-l5 "•^m-l' t/'-^m-l 5 • • • • O '"^^m-i)-
Maintenant, dans le cas en question x^, . . . .r„,j seront des fonctions rationnelles de la racine x. Faisons en conséquence
.r, = O^x, x„=d.x, . . . x„,^ = 0,„-vV, les racines de l'équation (67) auront la forme:
y^ = f(0,x, d6,x, d-'d^-r, . . . fr-'o,.T).
Suivant l'iiypollièse les fonctions 0 Pt Oi ont la propriété que:
OOiX = OJJx, équation qui, en vertu du tliéorènie I, aura lieu en substituant à la place de .r une autre racine quelconque de l'équaUon (fx=0. On en tire successivement
ffd^x= ee.dx =o,d''.T,
L'expression de y^ deviendra par la:
Z/i = fiOyr, 0,dx, d,(f-x, .... fjjf-'x), et on voit que y,, comme y, est une fonction rationnelle et symclrique des racines
X, dx, o^x, . . . . o"-\v.
Donc en vertu du tiiéorème II on peut exprimer v/i rationnellement par y et des quantités connues. Le même raisonnement s'appliquera à toute autre racine de l'équation (67). Soient maintenant /y, ?^y deux racines quelconques, je dis qu'on aura
En effet ayant p. ex.
hj = f{0,x, 6fM, . . . (p-'O^x),
si
y=/(.r, e.r,... d"-'ar),
on aura, en mettant Q^x au lieu de x:
ou
done
et également
y, = f{0.,x, dd.j; . . . ô'^-'Orl) = >.^,
n^y = fid.O^x, 06 Ax, . . . e^-'ôA^)
donc, puisque f)^O^x=.dJ)iX,
Les racines de l'équation (67) auront donc pi-écisément la même propriété que celles de l'équation ff.r = 0.
Cela posé, on peut appliquer à l'équation (67) le même procédé, qu'à l'équation (fx^=Q\ c'est-à-dire, la détermination de y peut s'effectuer à l'aide de deux équations, dont l'une sera résoluble algébriquement et l'autre aura la propriété de l'équation (fx = 0.
Donc le même procédé peut encore être appliqué à cette dernière équation. En continuant, il est clair que la détermination de x pourra s'effectuer à l'aide d'un certain nombre d'équations, qui seront toutes résolubles algébriquement. Donc enfin l'équation <fx = 0 sera résoluble à l'aide d'opérations algébriques, en supposant connues les quantités qui avec x composent les fonctions:
(px, Ox, OiX, O-iX, . . , 0,n-iX-
Il est clair que le degré de chacune des équations auxquelles se réduit la détermination de x, sera un facteur de // qui marque le degré de l'équation (fx^O; et:
Théorème IX. Si l'on désigne les degrés de ces étjuations respectivement par
on aura:
En rapprochant ce qui précède de ce qui a été exposé dans le §. 3, on aura le théorème suivant:
Théorème X. Supposant le degré /t de l'équation (;.r=^0 décomposé comme il suit:
où «1, fj, fj, . . . f„ sont des nombres premiers, la détermination de x pourra s'effectuer à l'aide de la résolution de ^ équations du degré f^, de v^ équations du degré ^25 ^tc, et toutes ces équations seront résolubles algébriquement. Dans le cas où i-i = 2'', on peut trouver la valeur de x à l'aide de l'extraction de V racines carrées.
Application aux fonctions circulaires.
^, En désignant par a la quantité — , on sait qu'on peut trouver une équa-
tion algébrique du degré //, dont les racines seront les /t quantités:
cos«, cos2«, cos3«, . . . cos//r/, et dont les coefilciens seront des nombres rationnels. Cette équation sera
70) X" — i // . x^'--" -\- Jg- . -5^%^ . a:."-* . . . = 0.
Nous allons voir que cette équation a la même forme que l' équation yx = 0 considérée dans le paragraphe précédent.
Soit cosa = .r, on aura d'après une formule connue, quel que soit a:
71) cosnm= d{cosa),
où 6 désigne une fonction entière. Donc cos?wrt, qui exprime une racine (pielconque de l'équation (70), sera une fonction rationnelle de la racine x. Soit 6iX une autre racine, je dis qu'on aura
06^x=ze^0x.
En effet, soit d^x=co&m'a, la formule (71) donnera, en mettant în'a au lieu de a:
cou {mm' a) = 0{cosm'a) = dd^x.
Da la même manière on aura
cos(ffi'/rta) = 6,(cosw«) = 0^6x, donc:
Ûd^x = 0/lx.
Donc suivant ce qu'on a vu dans le paraj^raplie précédent,
X ou cosa = cos — -
pourra èlre déterminé algébriquement. Cela est connu.
Supposons maintenant que /t soit un nombre premier =2n-\-i, les racines de réquation (70) seront:
ces ^- — , COS - — - , . . . cos - — - , cos 2n
La dernière racine cos2.t est égale à l'unité donc l'équation (70) est divisible par X — 1. Les autres racines seront toujours égales entre-elles par couples,
car on a cos '"'^ z=.co^ ' ^^ ~~^^ ^, donc on peut trouver une équation dont 2n+l 2«+l
les racines seront,
mn\ 2tc 4tc 27^:u ,
72) cos— , cos- — -, ...cos- — -. "
Cette équation sera:
75) ;i:" +^ o;"-^ — 1 (w — Vjx'^-'^ — l {n — 2).r»-'
+ 1 . («-2)(»-3) ,,,.-4^ , (^'-^)(-^-^)..r'-^-etc.^O.
Cela posé, soit
2x COS :^ .r = cos a,
on aura d'après ce qui précède:
2otz .
cos =0.r = cos ma.
L'équation (75) sera donc satisfaite par les racines
On a, quelle que soit la valeur de a:
6(cos a) = cos ma.
De la on tire successivement:
O''(cos «) ^ 0 (cos )»a) = coswi^«,
6' (cos a) = O(cos«rfl) = cosm^a.
G"(cos a) = 0(cosw/"~ V) = cos?«"a.
Les racines (74) deviendront donc .
7r>) cosff, cos?;?«, cosw'^a, cos?w^«r, . . . cos »«■"«, . . .
Cela posé, si m est une racine primitive pour le module 2n-{-l (voyez Gaifs.s Disqids. arilhm. pag. où), je dis que toutes les racines
76) coso, cos mo, cosm^a, . . . cos»î"-'«
seront différentes entre elles. En effet si l'on avait
cos»i"« = cos nV'u, où /t et V sont moindres que n, on en tirerait:
où k est entier. Cela donne en remettant pour a sa valeur
^0"*^ m" l^my ^m" (w"-^ + 1 ) =: A- (2m -f- 1)
et par conséquent
serait divisible par 2w+l, ce qui est impossible, car 2(/t — v) est moindre que 2n, et nous avons supposé que m est une racine primitive. On aura encore:
cos OT"« = cos a, car /w'"— l = (m"— l)(m"-|-l) est divisible par 2h+1; donc:
m- — ±i-\-k{2n-[-l), et par suite :
cos »i"a r=: cos ( + « -j-A: . 2n) = cos a.
De là on voit que les n racines de l'équation (75.) pourront s'exprimer par (76.); c'est-à-dire par:
X, 9ar, G*j;, 0'.r, . . . 0"~'a-, où 6".r = x. Donc, en vertu du théorème (III), cette équation sera résoluble algébriquement.
En faisant 7i = m^.m.2. . .7n^, on peut diviser la circonférence entière du cercle en 2« -f- 1 parties égales, à l'aide de co équations des degrés m^,m^,m^, . . . nia,. Si les nombres m^, m^, . . . jw„ sont premiers entre eux, les coefficiens de ces équations seront des membres rationnels.
En supposant n = 2'", on aura le théorème connu sur les polygones réguliers, qui peuvent être construits géométriquement.
En vertu du théorème V. on voit que pour diviser la circonférence entière du cercle en 2n + 1 parties égales, il suffit
1) de diviser la circonférence entière du cercle en 2n parties égales,
2) de diviser un arc, qu'on peut construire ensuite, en 2n parties égales, «>) et d'extraire la racine carrée d'une seule quantité q.
M. Gauss a énoncé ce théorème dans ses Disquis., et il ajoute que la quantité dont il faut extraire la racine, sera égale à 2w+ 1. C'est ce qu'on peut démontrer aisément comme il suit.
On a vu (40, 38, 4(>) que p est la valeur numérique de la quantité
OÙ « = cos— ^ +1^^ — l.sin-^. En substituant pour x, 6a-, ... leurs valeurs n n
cos a, cos ma, cos in^a, ... on aura :
+ Q =(cos a-\- u cos ma + «" cos m^a + . . . -|- «**"*• cos»î"~^a)
X (cos a -|-«""'cos7««-|-a"~*cos7n'*«-|- . . . -\- a . cos îw""^»).
En développant et mettant + q sous la forme
+ ç = ?o + ^la + ^2«'' + • •■ + ^.-1 ■ «'"S on trouvera facilement.
tu = cos «.cos;«"ff -j- eosîwa.cos?«."+V -|- . . . -f- cos»2""^""o.cos»?"~^fl! -|- cos7m"~"« . cos a -f- cos ?«"""+*« . cos ma + • • • + cos »t""*flr . cos ni/^-^a. Maintenant on a
cos»j*'a.cos7/i."+''a :== ^cos(»i"+''o -\- mya) -\- ^cos(»î/'+^a — m^a), donc:
<u=|^(cos(?H."+l)«4-cos(/«."+l)»««-f-cos(»«>"+l)w'a + ... + cos(«ii"+l)w"~*G) -f- ^ (cos(m." — l)a+cos(>»/' — \)ma-{-co^{mf^ — l)nfa-\-. . . + cos(mi" — l)m"-*«). Si Ton fait {m"-\- 1) a = a', (?«" — 1) a=^a", on aura
#„ = ^(cos«' 4- O(cos«') 4- e-(cos«') + . . . + e"-*(cosa')) + ^ (cos a" 4- e(cos a") + e^(cos o") + . . . + 6"-*(cos «"))•
Cela posé, il y a deux cas, savoir: /i, est différent de zéro ou non. Dans le premier cas il est clair que cos a' et cos a" sont des racines de l'équation (75), donc cos «' = 9'^a;, cos «" = G^a^'. En substituant, il viendra, en remarquant que 0".r = x:
tu = ^ (S'^.r + e'^+'.r + . . . + fi^-^x 4- a; + 6.r + . . . + 9'^-^a:) -f i.(9f .r 4- h'+\T + . . . 4- 0"-^a; + .r 4- Go; 4- ... 4- Ô*-'a:), donc
c'est-à-dire ^^ est égal à la somme des racines; par suite en vertu de l'équation (75):
tfj, — ^.
Dans le cas où /t = 0, la valeui- de tu deviendra :
^o = ^ (cos 2« 4" ^^^ 2»ia -}-... 4- cos 2m"-^a) -\- ^.n;
or cos 2« est une racine dé l'équation (75), donc en faisant
cos 2e = ^^x,
on aura
cos 2« + ^^^ 2/«ff + . . . + cos 2>M"-'«
par conséquent:
En vertu de ces valeurs de /^ et t^,, la valeur de + ç deviendra.
±P = è «- T- ^•(« + «' + «' + ••■ + «"-•), mais
donc
et puisque (i est essentiellement positif,
Cette valeur de q donne
donc la. racine carrée qu'il y a à extraire est celle du nombre 2m +1, comme le dit M. Gauss ■).
Christiania, 29. Mars 1828.
*) L'auteur donnera dans une autre occasion des applications aux fonctions elliptiques.
(Note de Mr. Crelle.)
Recherches sur les fonctions elliptiques.
iPepuis lonirtPinps les Ibuctions logarithmiques, et les Ibnctions exponentielles et circulaires ont été les seules fonctions transcendantes, qui ont attiré l'attentiou des géomètres. Ce n'est que dans les derniers temps, qu'on a commencé à en considérer quelques autres. Parmi celles-ci il faut distinguer les fonctions, nommées elliptiques, tant pour leur belles propriétés analytiques, que pour leur application dans les diverses branches des mathématiques. La première idée de ces fonctions à été donnée par l'immortel Eiiler, en démontrant, que l'équation séparée
1) 'If- I ^ = 0
est intégrable algébriquement. Après Euler, Lagrange y a ajouté quelque chose, en donnant son élégante théorie de la transformation de l'intégrale
'~ , ou R est une fonction rationnelle de x. Mais le pre-
mier et, si je ne me trompe, le seul, qui ait approfondi la nature de ces fonctions, est M. Legendre, qui, d'abord dans lui mémoire sur les fonctions elliptiques, et ensuite dans ses excellents exercices de mathématiques, a développé nombre de propriétés élégantes de ces fonctions, et a montré leur application. Depuis la publication de cet ouvi'age, rien n'a été ajouté à la théorie de M. Legendre. Je crois (ju'on ne verra pas ici sans plaisir des recherches ultérieures sur ces fonctions.
En général ou comprend sous la dénomination de fonctions elliptiques,
toute fonction, comprise dans l'intégrale
Rdx
où R est une fonction rationnelle et «, ,^, ;', ô, e sont des quantités constantes et réelles. M. Legendre a démontré, que par des substitutions convenables on peut toujours ramener cette intégrale à la forme
Pdy ^{a + by^ + cy'')
où P est une fonction rationnelle de y^. Par les réductions convenables, cette intéo-rale peut être ensuite ramenée à la forme
'A+By-^ dy
C+Dy"^ ' \/a + by'^ + cy'^) '
et celle-ci a:
/'J+Bsinn rf9
C+Dsin^^ ' v'(l— c^sin^e)'
OÙ c est réel, et moindre ^e l'unité.
De là suit, que toute fonction elliptique peut être réduite à l'une des trois
formes :
/! ^ ; fd^Vil — c^sin^), /- . ,,, f,, ^T-;^,
J y/(l c2siii2 6)'-' ^ ^ "J (l+wsin2e)v/(l — c'^sin^ô)
auxquelles M. Legendre donne les noms de fonctions elliptiques de la première, seconde et troisième espèce. Ce sont ces trois fonctions, que M. Legendre a considérées, surtout la première, qui a les propriétés les plus remarquables et les plus simples.
Je me propose, dans ce mémoire, de considérer la fonction inverse, c'est-adire la fonction (fa, déterminée par les équations
/dh et
/(l — c2 silice)
sinô = ç)(a) ■=x, La dernière tMjuation donne
rfô.|/^(l — sin'*9) = d.tpa = dx,
donc
p dx
M. Legendre suppose f^ positif, mais j'ai remarqué, que les formules deviennent plus simples, en supposant c^ négatif, = — e"^. De même j'écris pour plus de symétrie 1 — v^x^ au lieu de 1 — x'^. En sorte que la fonction (pa = x
sera donnée par l'équation
y* ds 0 v/[(l— c2x2)(l + e2j2)]-
ou bien
cf'a = -^((1 — «^>'«) (1 + e'</^^«)) Pour abréger, j'introduis deux autres fonctions de «, savoir:
fa = /(l - C>^«) ; Fa = K(l + «>'«)•
Plusieurs pro|trit'tt''s de ces fonctions se déduisent immédiatement des propriétés connues de la fonction elliptique de la preniière espèce, mais d'autres sont plus cachées. Par ex. on démontre, cpie les équations cfcc = 0, fti = 0, F« 1= 0 ont un nombre infini de racines, qu'on peut trouver toutes. Une des propriétés les plus remarcjuables est, qu'on peut exprimer rationnellement (f{mc(), f\m(c), F(ma) (m étant un nombre entier) en (pu, /«, Fu. Aussi rien n'est plus facile, que de trouver ff(ma), f{mu) F{mu), lorsqu'on connaît (pa, fa. Fa; mais le problème inverse, savoir de déterminer cfu, fa, Fu en y(«îa), f(ma), F{ma) est plus ditïïcile, parcequil dépend dune équation d'un degré plus élevé (savoir du degré tn"^).
La solution de cette équation est l'objet principal de ce mémoire. D'abord on fera voir, conunent on peut trouver toutes les racines, au moyen des fonctions q), f, F. On traitera ensuite de la solution algébrique de l'équation en
question, et on parviendra à ce résultat remarquable, que 9 (— ); f(^)i ^(— )
peuvent être exprimés en (pa, fa, Fa, au moyen d'une fonction, qui, par rapport à a, ne contient d'autres irrationnalités que des radicaux. Cela produit une classe très générale d'é(juations, qui ^ont résolubles algébriquement. Il est à remarquer, que les expressions des racines contiennent des quantités constantes, qui, en général, ne sont pas exprimables par des quantités algébriques. Ces quantités constantes dépendent d'une équation du degré »«* — 1. On fera voir comment, au moyen de fonctions algébriques, on peut en ramener la solution à celle d'une équation du degré m -f- 1- On donnera plusieurs expressions des fonctions (f{2n-{-l)u: f{2n -\- i.)a : F{2n-{-l)a en fonctions de ipa, fa. Fa. On en déduira ensuite les valeurs de (pa, fu, Fu en fonctions de «. On démontrera, que ces fonctions peuvent être décomposées en un nombre infini de facteurs, et même en une infinité de fractions partielles.
Propriétés fondamentales des fonctions c^rt; frx.; Ft.
En supposant, que f/^« = .r (I), on aura en vertu de ce cpii précède: 2\ f ^f
' "~Jo \/[(l— c2x2)(l + e2j-2)] ■
Par là on voit, que «, considéré comme fonction de .r, est positif depuis .r=:0, jusqu'à .r = — . En faisant donc
il est évident, que q)C( et positif et va en augmentant depuis « = 0 jusqu'à « = — , et qu'on aura
Parceque « change de signe, lorsqu'on écrit — .r à la place de x: il en est de même de la fonction cpa par rapport à «, et par conséquent on aura l'écpiation
En mettant dans (1) .ri au lieu de a^ (où i, pour al)réger, représente la <|uantité imaginaire \/^ — 1) et désignant la valeur de a par ^i, il viendra
6) a:i = cpi^Si) et ^ = J'J ^^^,^,J^'^i,,,.yY ■
/5 est réel et positif depuis .r = 0 jusqu'à x = —, donc en faisant wx Ts Pt dx
X sera positif, depuis ^■= zéro jusqu'à (^= ~, c'est-à-dire, la fonction — r/; (,?«) sera positive entre les mêmes limites. Eu faisant /5 = « et y = ?i^ , on a
dy
donc on voit, qu'en supposant r au lieu de e ^t e au lieu de r,
'v^ se changera en ifc.
Et parceque /"« = 1/^(1 — ''"'f ^«)»
Fa = Y{i + e>^«), on voit, que par le changeniant de <■ en e et e en i; f{ui) et F{ai) rentreront respectivement en Fa et fu. Enfin les équations (5) et (7) font voir, que par la même transfoiination, oj et c5 rentreront respectivement en o et o.
Suivant (7) on aura x = ^ pour /^ = J , donc en vertu de l'équation xi^=(f{^i), il viendra
En vertu de ce qui précède, on aura les valeurs de cp" pour toute valeur réelle de ce, comprise entre — y et + |- > et pour toute valeur imaginaire de la forme ,ji de cette quantité, si /? est une quantité contenue entre les limites ^ et + -H- • H s'agit maintenant de trouver la valeur de cette fonction
pour une valeur quelconque, réelle ou imaginaire, de la vai'iahle. Pour y parvenir, nous allons dubord étal)lir les propriétés fondamentales des fonctions 9, fctF.
Parce qu'on a
f^a = 1 — c^q)h(, F«a — 1 + e^ç^tt, on aura, en différentiant :
fa.f'tt = — e^(pa.(p'a.
Fa . F'a == e'-(p(( . (fi'a.
Or d'après (2) on a
cf,'a = K((l— r\/^^«) (l + eV«)) = /"«-^«, donc, en substituant cette valeur de ç'« dans les deux équations précédentes, on trouvera, que les fonctions (pa, fu. Fa sont liées entre elles par les équations
!(f'a =fu.Fci, fu = — c-q)u.Fa, F'a = e^ça.fu.
Cela posé, je dis, quen désignant par a et ^ deux indéterminées, on aura
W) y\-rif l + e2c2ç2a.92^
Ces formules peuvent être déduites stir le champ des propriétés connues des fonctions elliptiques ; mais on peut aussi les vérifier aisément de la manière suivante.
En désignant par r le second membre de la première des équations (10), on aura, en différentiant par rapport à « :
( dr\ (cp'a./^..F^+y^..Fa./'a+9g./a..F"a)
(l+eV92a. 92^)2 En substituant pour (p'u, fa, F'a leurs valeurs données par les équations (0), il viendra
\da.J l+eV^9-^a.9-^^ (l + e^c^y^a. 92^)2
9a.9^.(l+e'c^9ga9^p)(— c''-F'«+eV%) — 2egcg9a9P.9^g./i»«.Ji'^«
d'où, en substituant pour f^u et F*« leurs valeurs: 1 — c'^q)'^cc, , l + e*y*«, et en réduisant, on tire
/ d,\ (1 — e2c2(p2a.9'^^)[(e''— cg)9a.9^+/<x-/^-P'g-/H — 2g^c'9«-9^(9^°^+<P'^)
Maintenant a et ,■? entrent symétricpiement dans l'expression de r; donc on aura la valeur de (-^)j en permutant « et /? dans la valeur de (-/-)• Or par
cela l'expression de (—f-j ne change pas de valeur, donc on aura (-r--) ^ \7Tj'
Cette éfjuation aux différentielles partielles fait voir que r est fonction de « + /?; donc on aura
La forme de la fonction ip se trouvera, en donnant a fj une valeur particulière. En supposant par ex. [i = 0, et remarquant que ^(0)^0, f{0) = i, F{0) = 1, les deux valeurs de r deviendront
r = 9)(«) et 7- = ip{a), donc
et de là
La première des formules (10) a donc lieu effectivement.
De la même manière on vérifiera les deux autres formules.
Des fomules (10) on peut déduire une foule d'autres. Je vais rapporter quelques-unes des plus remarquables. Pour abréger je fais 11) l-{-e-c^-<f^(.(f^i^=R
En changeant d'abord le signe de (i, on obtiendra
— Sc^.ça.o?./^*.!*'^
\Fia+ti)—Fia — ^)
En formant le produit de ^(« + /5) et (p{a — ^), on trouvera
iî2
ou, en substituant les valeurs de f^i^, F'^ii, f^ct, F'^a en 9/? et (pu:
or R = i -\- e^c^(p'^a.(p'^ii, donc
15) On trouvera de même
I c8ç,2,c c2(p2^ — c2e2ç,3a.(pg^ /"g ./"g — c''(cg+e'')(p''a. ç'^
En faisant dans les formules (10) /5=±-^, /^:=±-|-'> et remarquant que /■ (± -|) = 0, F (+ -| /) = 0, ou aura
Fa '
f-i / , î3 .\ , vi . Fa. j~,f . xs \ -r 2 ça
OU bien:
ÇK
De là on tire sur le champ:
Kt + ")=^(f-«)^
,f(|i + „)=:^(fi-»),f(|i+„)=-F(|i-„);
En faisant a = et — z, on trouve de là
Ensuite les équations (17), en y mettant dans les trois premières « -|- -^ au lieu de f(, et dans les trois dernières « + -^ « au lieu de «, donnent les suivantes
. „ . (?(« + '»)=— <f « 5 A« + oj) = — fu: F{u + w) = F« ;
W(«+aO = — (;«; A« + oO^ /'«; F{h-\-uï)^= — Fa;
20) /l2co4-«)
et en mettant « -|- w et a -j~ °* "'^ ^'^" '^^ " •
(F(2w + «) = F.< ; F(2o/ + «) = F«. Ces équations font voir que les fonctions (fu^fc. Fa sont des fonctions /><?>/odiqnes. On en déduira sans peine les suivantes, où m et ?^ sont deux nombres entiers positifs ou négatifs :
i(f[{m-\-n)(.ù-\-{m — )i)m-\-u)=(fa ; (f:(j(i)i-\-7i)io-\-{m — n-\-l)xsi-\-u)= — q,a ; f{2nm-\-imi+u) =fu : /•((2/«+l)co+wc3i+«)= — fu ; F{imo-\-2nr:>i-\-u) = -\-Fa : F(wto+(2«+l)c5/4-«)= — 'f''- Ces formules peuvent aussi s'écrire comme il suit:
1<f{i)m -j- imi + «) = + (—1)'"+". ^«, /•(wo + «^^•± «) = (—1 )"./■«> F(??iw -f iix^i+ a) = i—l)". Fa.
On peut remarquer comme cas particuliers:
!y(mw + «)=+(— l)"'.(f«; (f{,mi±c()=^±{ — !)".?'«; /-(/«« + «) = (— !)"./■« ; f{7ml±a)=fa : F(?«co-j-«)=F«; F(hî3/ +«) = (— l)"-'^"-
Les formules qu'on vient d'établir, font voir qu'on aura les valeurs des fonctions (fu, fa, Fu pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de la variable, lorscpi'on les connaît pour les valeurs réelles de cette quantité, comprises
entre ^ et — -^ et pour les valeurs imaginaires de la forme ^î, où ^ est com-
pris entre — et
En effet, supposons qu'on demande la valeur des fonctions <f(« + (^î)» f{c(-\-tji), F(u-\-(ii), où a et (^ sont des quantités réelles quelconques. En mettant dans les formules (10) {ii à la place de ,i, il est clair, qu'on aura les trois fonctions dont il s'agit, exprimées par les fonctions (pu, fu. Fa, (fd^i), fiiji), F{iU). Il ne reste donc, qu'à déterminer ces dernières. Or, quelles que soient les valeurs de « et ^, on peut toujours trouver deux nombres entiers m et », tels que « r= »i . « + W, ^ = nj3 + ft', où «' est une quantité comprise
entre 0 et -f- -" , et /?' entre 0 et-\- —. Donc on aura, en vertu des équations (22'), en substituant les valeurs précédentes de a et /?:
(p{u) = (p(m(ù + «') = + ( — 1)". (pa', f(a) = f{ma> ± a') = (— 1)-.^', F{u) = F{nm ± a') = Fa', cpilii) =(p{?mi ±/5'0=± (— 1)". cpii^'i),
F{fii) = F{7mi±li'i)={—1)\ F{§<i).
Donc les fonctions q>a, fa. Fa, <p{^i), f{^i), F{[iï) seront exprimées comme on vient de le dire, et par suite aussi les fonctions (f{a-\-§ï), f{u-\-pi), F{a-\-pi).
Nous avons vu précédemment, que qpa est réel depuis a = — — jusqu'à
— , et que ''^. ■ est réel depuis a = jusqu a « = -}~ «-•
Donc en vertu des équations (22) il est clair:
1) que ^l{a) et îi^ sont réels pour toute valeur réelle de a ; «jpa est
compris entre et H , et M^ entre et 4- — ;
ce i ce >
2) que (p{a) s'évanouit pour « = vm, et ^ . pour « = mxs, m étant un
nombre entier positif ou négatif; mais (p{u) n'est pas nul pour aucune autre valeur réelle de «.
En remarquant, que fa = 1^(1 — c^qi^a). Fa = y^{l-\-e^q)^a), il suit de ce que nous venons de dire:
1) que les fonctions f{a). Fia), /"(««), F{ai) sont réelles pour toute valeur de «;
2) (pie /"(«) est compris entre les limites — 1 et -f- 1 et F(a) entre les
litmites -j- 1 et -f- l/(l -f- -^), ensorte que Fu est positif pour toute valeur réelle de «;
5) que f{ai) est positif et compris entre les limites +1 et 1/ Tl -)- -^j et F{ui) entre les limites — 1 et -f- 1 pour toute valeur réelle de a;
4) que /"(«) s'évanouit pour u = (m-\-^)(o et F(/«) pour « :^ (/« -|- î) o ; mais pour nulle autre valeur de «.
On remarquera ce qui suit, comme corrollaires qu'on tire des formules (22):
1) Soit « = 0. Dans ce cas, en remarquant que ff (0) = 0, /"(O) = 1, F(0) = 1, on aura
i(f{miù + «C5i) = 0 firna + vai) = (— If F{tnu} + /lai) =: V— 1)"
2) Soit a = -^ En vertu des équations :
on aura
2i) ( f{{m + ^)co-\-nGi) = 0,
5) Soit (( =. -^ i. En vertu des équations
*(V)=i'Kî')=v.''(f')="-
on aura
|(f(/»« + (n + L) oi) = ( 1)"'+". J-,
25) j /■(;„„ + {n + ^) oO = (-:- 1)'". A ,
4) Soit «= -^-j--z. Ea vertu des équations ci-dessus on aura
26) ] /•((„î+^)cO + (/ï + ^)c50 = l,
Les équations (23), (24), (25) font voir que la fonction y(«) s'évanouit toutes les fois que « est de la forme u=znm-\-7iai; que fa s'évanouit toutes les fois que a est de la forme a = (^w-^-^)w-^-?^c3^, et que /« s'évanouit toutes les fois que a est de la forme a=m(.o-\-{n-\-^)xsi- Or je dis que pour toute autre valeur de «, les fonctions (pa, fu, Fa auront nécessairement une valeur différente de zéro.
Supposons en effet qu'on ait
a et ^ étant des quantités réelles. En vertu de la première des formules (10), cette équation peut s'écrire comme il suit:
l + e2c2ç2a.ç2(jîï) Maintenant les quantités tpa, f{('A), F{§i) sont réelles et (f{pi) est de la forme i.A, où A est réel; donc cette équation ne peut pas subsister à moins qu'on n'ait séparément:
^{a).m).F{tA) = Q; <fifii).fa.Fa = 0.
Ces équations ne peuvent être satisfaites, que de deux manières, savoir en faisant
cp{a) = 0, cp{fii) = 0, ou
fifii) . F{(ii) = 0, fa.Fa = 0.
Les deux premières équations donnent a = mœ ; ft = ?m.
Les deux dernières, en remarquant que Fu et f{^i) ne peuvent jamais s'évanouir, donnent
fa = 0, F{in) = 0, d'où
Mais pour ces valeurs de « et /^ la valeur de (^(« + /îO deviendra infinie; donc les seules valeur de a et /? sont- a ^ ma et (9=«o, et par conséquent toutes
les racines de l'équation
(p{x) = 0, peuvent être représentées par
27) X = ma -\- tmi.
De la même manière on trouvera, que toutes les racines de l'équation
fix) = 0, peuvent être représentées par
28) .r = (m + i) to + nai, et celles de l'équation
F(x) = 0, par
29) X = ma -\- {n-\-^)ai.
Les formules (2G) font voir qu'on satisfait aux trois équations cf{x) = L,f{a:) = :L, F(x) = ^,
on donnant à .r une des valeurs de la forme
50) x = {m-^^)co-\-{n-\-^)rsl.
Or on peut démontrer que les équations en question n'ont pas d'autres racines.
En effet, ayant
les équations en question entraîneront celles-ci:
mais en vertu de ce qu'on vient de voir dans le numéro précédent, ces équations donnent respectivement:
