si (p (^-^} = 0, d'où x = a-\- 2moi -\- 27iai
2. si /■(^^) = 0 , d'où x = — a-\-(2m-\- 1)« + 2mi, 5. si f(^^) = 0 , d'où x = ~a-{- 1mm + (2« + 1) oi,
4. si (f (^^^^} = \ 5 d'où x-=a-\- {2m -f- 1) w + (2?^ + 1) rsi,
5. si (p (^^) = ^, rt'où x = — a-{- (2m + 1) w + (2?? + 1) ai
La résolution de ces cinq équations est contenue dans les formules (27), (28), (29).
Des valeurs trouvées de x il faut rejeter celles, que donne la formule x = — a + {2m -f- 1) co H- {2n + l)ai, car une telle vîileur de .v donne en vertu de (22):
(px = — (pa, tandis qu'on doit avoir q)X = cpa', mais les autres valeurs de x, exprimées par les quatre premières formules, peuvent être admises. Elles sont, comme on voit, contenues dans la seule formule:
31) X = ( — 1)"*+". a -j- ma -f nai.
Telle est donc l'expression générale de toutes les racines de l'équation
Cpx = (ftt.
De la même manière on trouvera, que toutes le racines de l'équation
fxz=fa sont représentées par la formule
32) a- = + c -j- 2m(x) -\- nxjsî, et toutes celles de l'équation
Fx = Fn, par la formule
33) X =.-\-a-{- mu) -f- 2nm-
Formules qui donnent les valeurs de cp(?«a), /{no.), F{nix) exprimées en fondions rationnelles de cpa, fa, Fa..
Reprenons les formules (12). En faisant dans la \% 3' et 5° « = n^, il viendra:
[Fin + i)(i = -Fin - l),i + i^MiZ^ ,
où /? = 1 + fV.ç'^CHjt)').?;»^.
Ces formules donnent la valeur de (f{n-\-\)^ en (f{n — 1)^5 et ç(?/^); celle de /■(«+!),? en f{7i— 1),? et /"(«p'), et celle de F(m+ l)p"eQ F(?^— l),i' et F(w,5)- Donc en faisant successivement w = 1, 2, 3 . . , on trouvera successivement les valeurs des fonctions:
F{2ii), F(5,S), Fm...F{n.i), exprimées en fonctions rationnelles des trois quantités
En faisant p. ex. m=1, on aura,
V ^ ' -' ' l + e^c^ç^jj
Les fonctions ç(«|5), /"(w,?), F{n^) étant des fonctions rationnelles de y/?,
/]:?, F,?, on peut toujours les réduire à la forme — -, où P et O sont des fonctions entières de gp/^, /j?, F(i. De même il est clair, que le dénominateur Q aura la même valeur pour les trois fonctions que l'on considère. Soit donc
35') cf (urJ) = ^ , nn,S) = ^ , F{n?) ^ ^'''
on aura également
En substituant ces valeurs, la première des formules (54) deviendra:
En égalant les numérateuis et les dénominateurs de ces deux fractions,
on aura
36) P„+, = - P..,(!3\+^Vç>V./^«) + 2/;>'.F/?.Pn.!9,..É>.^p
37) Q^, = Q,^, {Q\+ eV(f-i5.P\).
La seconde et la troisième des équations (54) donneront de la même manière:
38) P'„+i = - P'^-AQ'''^ + cH^-'ii.P^:) + Zfii.P'„.Q,..Q,^„
39) P'V, = -PVx.(e\ + C'e-'cf^^. P\) + 2F,:?. P"„. (?„.(?„,.
En faisant ilans ces quatre formules n = l, 2, 3 ..., et remarquant, qu'on aura:
P'^= 1 , P\=fii, P\= 1, P\ = Ff}, on trouvera successivement les fonctions entières Q„, P„, P'„, /*"„, pour toutes les valeurs de n.
Soient pour abréger:
40) q>^ = x,f^=zy,F^ = zet
41) i?„ = !5\ + eV^-^P'„, les formules précédentes donneront:
P„+, = - P„, . i?„ + 2yz. P„ . Q.. . Qn-„
/>'„+,= - P'„,.//„ + 22/. P'n.Qn.Q..-r,
En posant w = 1, 2, on aura:
^i?^ = Çr-^ + e^c''x''P\ — 1 + eV^r*,
43) lP^=—P,B,-\-2yzP,.Q,.Q,=^2xyz,
\P\ = - P'o/»\ + ^yP\ • !?!• ^0 = — 1 — «'^''^* + 2/' ,P",=: — P"o/?j+2cP%.!p,.!?o = - 1 — '^'^'^*+ 2^'-
I P3 = P, /?, + 2yzPJ2^Q, = -a:R^ + Ay'^z-'x . Ç,
|P'3= P'^.i?, H- 2y .P',. Q,Q,=-y.n, + 2yP'^Q,
En continuant de cette sorte, et en remarquant que y^ = 1 — c^x^, ?" — i -}- e'x^, on verra aisément, que les quantités:
> 5 ^ lut
xyz X y
sont des fonctions entières des trois quantités x"^, ^^, z^ et par conséquent aussi de l'une de ces quantités quelconque pour une valeur entière quelconque de n.
Cela fait voir que les expressions de qp(»/?), fitip), F{np) seront de la forme suivante:
iq{2n:i) = ct(i.f^-F§-T, ^{2n + i)(i = cpfi.T' 45) }f{2n,i)=T„ n2n-\-ni=f,i.T',
[F{2n,^) = T; , F{2n-\- 1),? = Fii. T",
où T etc. représentent des fonctions rationnelles des quantités (çi/5)^, (f^Yt {F^Y'-
Résolution des équations
Suivant ce qu'on a vu, les fonctions ç(?2,j), f{n[j), F{ntj) s'expriment rationnellement en .V, y, z. Le réciproque n'a pas lieu, car les équations (53') sont en général d'un degré très élevé. Elles ont par cette raison un certain nombre de racines. Nous allons voir, comment on peut aisément exprimer toutes ces racines an moyen des fonctions (p, f, F.
A. Considérons d'abord l'équation q {»!■]) =z —^ , ou 0„.(f(nli) = P„, et cherchons toutes les valeurs de x.
Il faut distinguer deux cas, selon que n est pair ou impair : 1) Si n est un nombre pair.
D'après ce qu'on a wi dans le paragraphe précédent (45), on aura dans ce cas
<f{2nlS)z=^{x-).x.1J.z, c'est-à-dire, en vertu des formules
y = V{^ — c''x%z = Y{\ + e''x% (p{2n(i) = xiiix^) .V{{1— c^r^) (1 + e'^x'')). Donc l'équation en x deviendra,
({.^{2»^) = x''(xp{x^)y.{l — c'^x") (1 -f e'^x^).
En désignant le second membre par 0(.r'*), on aura
qp/î étant une des valeurs de x, on aura
équation qui a lieu, quelle que soit la valeur de (i. Pour trouver les autres
valeurs de x, soit x = (fa une racine fjuelconque, on doit avoir
Or, en mettant dans (4G) « au lieu de /?, il viendra
(p^(2?ia) =: ^{(f^a), donc:
47) • (p''{2}i^) = cp%2m), équation qui revient à ces deux-ci:
(f){2na) = (p{2nl3) et (p{2nu) = — if.{2np). La première donne en vertu de (51)
2nu = 2np.{ — 1)'"+." -j- ma -\- firsi, où m et fi sont deux nombres entiers quelconques, positifs ou négatifs, zéro y compris.
La seconde donne les mêmes valeurs de Zna, mais de signe contraire, comme il est aisé de voir, en l'écrivant comme suit:
(p{ — 2nu) = (f> (2/Ï/5) .
Toute valeur de 2na, qui satisfait à l'équation (47), peut donc être représentée pjir
2na = + (2»,3. ( — 1)'"+." -f wco + /nai). De là on tire la valeur de a, en divisant par 2n, savoir:
„+((l)......^,+ ^eo+J^4
Ayant la valeur de a, on aura
48) r;,«=+r^((l)-+.«./5-f-^o, + ^oi)=a;.
Donc toutes les valeurs de x sont contenues dans cette expression, et on les trouvera, en donnant aux nombres m et /; toutes les valeurs entières depuis — oo jusqu'à -|- oo. Or pour avoir toutes celles qui sont diflerentes entre elles, il suffit de donner à m et fi des valeurs entières moindres que 2n. En effet, quels que soient ces nombres, on peut toujours les supjioser réduits à la forme :
m^2n.k-\-m', // = 2«. A'' -)-/(', où k, k' sont des nombres entiers, et m', p\ des nombres entiers moindres que 2n. En substituant ces valeurs dans l'expression de x, elle deviendra:
.r = ± ç ((- 1)-+."' /5 + i; « + ^^i + kco + k'ul),
or eu vertu de (22) eette expression se réduit à
49) :i- = ± <; ((- ir+."' /5 + -^ co + 1^ m).
Cette valeur de .r est de la même forme que la précédente (i8), m et /x seulement sont remplacés par m' et ^i', qui, tous les deux, sont positifs et moindres que 2>r, donc on obtiendra toutes les valeurs différentes de .r, en donnant seulement à m et /( toutes les valeurs entières depuis zéro jusqu'à 2?? excl. Toutes ces valeurs sont nécessairement différentes entre elles. En effet, supposons par ex. qu'on ait
il s'en suivrait, d'après (31):
k et k' étant des entiers.
Cette équation donne:
fi'^k'.2n±^t, m'=k.2?i±m, (—!)"'+<"'=+(— 1 )'"+.". Les deux premières équations ne peuvent pas subsister à moins que k' = 1, k=l, ft'=2?i — /W, m' = 2/i — m, et alors la dernière deviendra:
( lyn-m- fi __ ^ 1 )"'+!",
d'où l'on tire:
résultat absurde.
Donc toutes les valeui's de x, contenues dans la formule (48) sont différentes entre elles, si m et ^/ sont positifs et moindres que 2».
Le nombre total des valeurs de x est, comme il est aisé de voir, égal à 2{2nf = 8n^; or l'équation (f^{2ni^)=(i{x^) ne peut pas avoir des racines égales,
car dans ce cas on aurait — '-4 — - = 0, ce qui donnerait pour x une valeur in-
dx dépendante de fi. Donc le degré de l'équation (f^{2nfi) = ^{x-) est égal au nombre des racines, c'est-à-dire à 8«*. Si par ex. nz=l, on aura l'écjuation
9 {2fi) — 6(.ï ) — (l + ^2c2^4)^
ou bien (l+e^c^ar*)-.(/^(2.î) = 4.r'(l — fV-)(l-f e-.^;'),
et d'après la formule (48) les racines de cette équation, au nombre de huit, seront:
2) Si n est un nombre impair =2n-^ 1.
Dans ce cas -'"'"'- est,, comme nous l'avons mi, une fonction rationnelle de X, et par conséquent l'équation en x sera: 50) cp(2n-{-l)^=^.
Précisément comme dans le cas précédent, on trouvera, que toutes les racines de cette équation peuvent être représentées par
où il faut donner à m et /n toutes les valeurs entières depuis — w jusqu'à -f- n incl. Donc le nombre des racines différentes est (2?/-|'l)'*- C'est aussi le degré de l'équation en question. On peut aussi exprimer les racines par
Si par ex. w^l, on aura une équation du degré 3^^9. La formule (51) donne pour x les d valeurs suivantes:
B. Considérons maintenant l'équation
et cherchons les valeurs de y, qui satisfont à cette équation. La fonction —- étant, ooninie on a vu plus haut, rationnelle en y : l'ecjuation en y, en faisant
-^ = ^{y\ sera
Une des racines de cette équation est y=.f^, donc, quelle que soit la valeur de /?:
Pour trouver les autres valeurs de y, soit a une nouvelle inconnue, telle que y = /'«, on aura
or, en vertu de (35) le second membre est égal à /"(««), donc pour déterminer a, on aui'a l'équation
En vertu de (32) cette équation donne pour expression générale de na:
nu ■=. -j- n^ -j- 2?«co + //o/, w et n étant deux nombres entiers positifs ou négatifs, zéro y compris. De là on tire
et par conséquent:
C'est la valeur générale de y. Maintenant pour avoir les valeurs différentes de y, je dis, qu'il suffit de prendre /j avec le signe + et de donner à »i et /t toutes les valeurs entières, moindres que n. En effet, comme on a /"(+«) = /■( — «), on aura d'abord:
'■(- ^ + ^»+ \ -) =fi!' - ^"- -:- -)•
Donc on peut toujours dans l'expression de y prendre ^ avec le signe -\-. Ainsi t(»utes 4es valeurs de y sont contenues dans l'expression
34) ^:^^(-; + ^co + ^4
Maintenant quels que soient les nombres m et /(, on peut toujours supposer,
»} = /,. Il -{- m', fiz=zk'.ii-\- fi'i
où k, k', m', (it' sont des nombres entiers, les deux derniers étant en même temps positifs et moindres que w.
£n substituant il viendra
y=f(li+^co-i-^ai + 2k0-\-k'ai).
Or, en vertu de (22) le second membre de cette équation est égal à
quantité de la même forme que le second membre de (54) ; seulement rn' et /x' sont positifs et moindres que n. Donc etc.
En donnant à m et fi toutes les valeurs possibles, moindres que n, on trouvera un nombre w* de valeurs de y. Or, en général toutes ces quantités sont différentes entre elles. En effet, supposons par ex.
' \ ' n n / V un /
on aura en vertu de (32), en désignant par k, k' deux nombres entiers:
^ 4- ^ co + -1^ C3/ = + f /? + ?^ co H- i^ t3?:) + 2kio + k'uL ' ' n 11 — \ ' n n /
Puis(jue /î peut avoir une valeur irrationnelle quelconque, il est clair que cette é([uation ne peut pas subsister à moins qu'on ne préfère dans le second membre le signe supérieur. Alors il viendra
2m , u. . 2m' , n.' • \ ai i /. •
• ro -|- -!^ oi = fo -f- ^—xsi-\- 2ka) 4- k'ai,
d'où l'on tire en égalant les parties i-éelles et les parties imaginaires:
m ^=im'-\-kn, /t :^ /t ' -j- k'n,
équations absurdes, en remarquant que les nombres ?«, m\ [.i, et //' sont tous
positifs et inférieurs à n. Donc en général l'équation
f{n(i) = ^iy)
a un nombre w* de racines différentes entre elles et non pas un plus grand nombre.
Or généralement toutes les racines de cette équation sont différentes entre
elles. En effet, si deux d'entre elles étaient égales, on aurait à la fois:
f{nP) = xp{y) et 0 ==!/;'( y),
et cela est impossible, si l'on remarque que les coefficiens de y dans if'(y) ne
contiennent pas ^. Donc généralement l'équation (52) est nécessairement du
degré n^.
