C. L'équation

étant traitt'-e absolument de la même manière par rapport à z, que l'équation

/'(ni->')=:— -^ l'a été par rapport à y, donne pour expression générale des va-

leurs de z:

OÙ m et fi sont entiers, positifs et moindres que ii. Le nombre des valeurs de c est w*, et elles sont en général toutes différentes entre elles.

Donc généralement l'équation (56) est du degré «*

Nous avons trouvé ci-dessus toutes les racines des équations

racines, qui sont exprimées pai' les formules (48), (ol), (54), 57). Toutes ces racines sont différentes entre elles, excepté les cas de valeurs particulières de ^; mais poiir ces valeui's, les racines différentes sont contenues dans les mêmes formules. — Dans ce dernier cas un certain nombre des valeurs des quantités .r, 1/, z seront égales; mais il est clair que toutes les valeurs égales ou inégales seront néanmoins les racines des équations dont il s'agit. Cela se fait voir en faisant converger ;■] vers une valeur particulière, qui donne pour X, ou y, ou 2 des valeurs égales.

En faisant dans la formule (48) [i = -— , on aura l'équation

58) „«« = J^, dont les racines sont a;=+a:f(— l)'»+."J^-f ~w-f ^ xsi):

et où ?» et /( ont toutes les valeurs entières et positives moindres que %n.

En faisant de même dans la formule (50),:? = , on aura w(c=:z--^,

dont les racines sont

59) .=(-.,-.".. (^+:^iJi£>

m et u ayant pour valeurs tous les nombres entiers depuis — ti jusqu'à -\-n.

Enfin en faisant dans (52), (56) ^ = ■ — , on aura l'équation

P' fu = — ^ dont les racines sont

et l'équadon Fu = , dont les racines sont

OÙ m et /w sont renfermés entre les limites 0 ei n — 1 incl. Si n est impair = 2w+l, on peut aussi supposer

m et |t ayant toutes les valeurs entières de — n à -j-w.

Dans toutes ces équations la quantité « peut avoir une valeur quelconque. Comme cas particuliers on doit remarquer les suivants:

1) En faisant dans (S8) et (59) «=0, on aura les équations

/•%„=: 0, dont les racines sont .r^ + g \-~~^'^-\--~v,i\ „,^. I (les limites de m et ^i étant 0 et 2w — 1), ,

U'*2.i+i=0, dont les racines sont xz=:^if{-^ — w+ «-^f °') (les limites de >w et /i étant — ii et +«)■

2) En faisant dans (60) « = -|- et dans (61) « = -|- «, et remarquant

que /"f-^ji=iO, i^(— M = 0, on obtiendra les deux équations :

63) P'„ = 0, dont les racines sont y = /" U^m + i) ii+ Ji oi)) C^s '''»it*'S ' «^ ' V ' -^^ M ' « /f de ?H et /<

6i) /*"„= 0, dont les racines sont z = /^(^ w + (2.// +|) -^)j ""^^^^^

3) En faisant dans (58) « = -*^ -f- t- 'j <"* en remarquant, que qpf — + — 'J = ^, on aura l'équation

dont les racines seront:

x = ±^ (('«-}- ^ (- 1)"*+.'') -^ + (/' + i (- 1)""^") • -|J)- Les valeurs de x doivent être égales par couples, et l'on verra aisément que les valeurs inégales peuvent être représentées par 65) ..=. ^ ((,« +1) » + (,. + 1)^),

en donnant à m et ^ toutes les valeurs entières depuis 0 à 2// — 1. Done ce sont les racines de l'équation

Qi„ = 0, par rapport à .r.

En luisant de même dans (a9) («=:—-(-/, on aura l'équation

dont les racines seront:

m et u ayant pour valeurs tous les nombres entiers de — n à -j- «•

Parmi les v.ileurs de x, y, z, il faut remarquer celle, qui répond à m=7i, fi = il. Alors on a

.=(-ir.F(|-+|-,) = i.

Ces valeurs infinies font voir que l'équation Q-i„+i = 0 est d'un degré moindre d'une unité que celui des équations dont elle sort. En écartant ces valeurs, les restantes, au nombre de {2n-\-lY — 1, seront les racines de l'équation Qîn+l = 0.