IV

Résolution algébrique des équations q:u = -~^, fa = -—-^^ , tu =

Qj.+i Qj.+i Qj.+i

Nous avons va dans le §. précédent, comment on peut exprimer aisément les racines des équations en question au moyen des fonctions (p, f, F. Nous allons maintenant eu déduire la résolution de ces mêmes équations, ou la détermination des fonctions t(— )> t (--)■> ^(--\ *^° fonctions de (pu, /«, Fu.

Comme on a

on peut supposer que n est un nombre premier. D'abord nous considérerons le cas où » = 2, et ensuite celui où n est un nombre impair.

A. Expressions des fonctions q> y^J, /(y)' ^(o)'

Les valeurs de (p (^), fv^r ^(y) P*^"^'*^"* ^^^^ trouvées très facilement de la manière suivante. En supposant dans les formules (3o) /S = .^,

et faisant

il viendra:

on bien, en substituant les valeurs de y"^ et z^ en x^:

Ces équations donnent

^ "*"'"— l+e2c2jr4 ' '"~ l+e^c^x* '

/<«__ 1 i^g.ip2^4 ' «-t-i— l+e2c2j,4 J

d'où ?^ = 6.^a^ ±=^ = c'x-,

et de là, en remartpiant que ?/^ = 1 — c^x-, c* = 1 -|- p'^or*,

,2 Fa+f'x 2

De ces équations on tire, en extrayant la racine carrée, et rempla(;ant

X, y, z par leurs valeurs if (-?-), t\^y ^(|") =

(*(i)=|y'(iît)=7)/(^)' "^ |Kf)=i/(^).<f)=/(^)-

Telles sont les formes les plus simples qu'on peut donner aux valeurs des fonctions ff(~), /"(t^)» ^\^j- '^*^ '"^**^* manière ou peut exprimer algé-

hriqucmeul t(y)' ^(t)' ^ (y) ^'" ^"' ''^"" '^^*' *" '"^'"'' "''■'"'^'■*^ ^(ï)' ^- (— \ f{—) s'exprimeront en f'(^\ ^{^p ^^ ^'"^' ^^ suite. Donc eij

général les fonctions fC^J, / f^)' ^(^)l'«"vent être exprimées au moyen d'extractions de racines carrées, en fonctions des trois quantités (pa, fa, Fa.

Pour appliquer les fornuiles trouvées ci-dessus pour la bissection à un exemple, supposons a = — .

Alors on aura /'(-|-) = 0, F Q^^= ^^^S^l^fl-, donc en substituant:

'^V4/ v/rc' + cv/(e2+c2)l ec '

ou bien

B. Expressions des fanctions (p Ç-^J, f\-^^p ^(âwT/' ^" fondions algébriques des quantités (pa, fa, Fu.

Pour trouver les valeurs de ^(2;^)' f {2^)' ^(2^^) ^" ''^'^"'^'"' il faut résoudre les équations

qui toutes sont du degré {2n-\-lf. Nous allons voir, quil est toujours possible, d'effectuer algébriquement cette résolution.

Soient

68) ^^^=-^^J\^^-^i^) et

69) ^^ = l^ô. . ,. (^ + |^> ,,^= 1^0. . ^. (it. - ^),

où 6 est une racine imaginaire quelconque de l'cquation 6*"+* — 1^0. Cela posé, je dis que les deux quantités

if./9.t/',/9 et (#)-»+' + (^-,,^f''+", pourront être exprimées rationnellement en (f{^n-\-\)^. D'abord en écrivant ç)j/? comme suit:

on voit que (p^^'i peut s'exprimer rationnellement en (fft. Soit donc ^j^ = %{fffi), on a de même:

'.C'±£ff)='K^±l^)]

ou bien, en faisant cpp = x:

'V-iK+l/ V2»+l/ '^V2w+1/ '

et en substituant pour f[i et F^ leurs valeurs V^(l — f'^a;^) et \/'{i-\-e^a.'^):

or, X désignant une fonction rationnelle, le second membre de «lette équation peut se mettre sous la forme

où R^ et R'f^ sont des fonctions rationnelles de x. Donc on a

En substituant dans les expressions de xpli et ip^ft, il viendra:

V/ï = 2!' Ô" .n^-\-V(ii- c"-^') (1 + c'a:')), i" 6" . R',