V.,^= s 9." . Ru —V(a- e'^')(l + ^'^"-)) -Ëjf^. R'u

-nf

Maintenant Ru et R'u étant des fonctions rationnelles de x, les quantités

2J ô".^„et ^ ^".R'u le sont également. En élevant donc rpi^ et V'i/^ ^ '*

(2« + 1)'^°" puissance, les deux quantités (1/7^)*"+' et (Vi/?)'^""''' pourront se mettre sous la forme:

(rp^f"+^ = f-\.t'.V{{i — c'.v^){i + o'x^)), i^•Jf''+'= t - r.l/((l -c^;r^)(l +e"-x% t et i' étant des fonctions rationnelles de x. En prenant la somme des valeurs de (1/^/?)*"+* et (i^i/?)*"+S on aura

(#)"-"+• + ('/'»/?)'"+' = 2<- • Donc la quantité {\i)^Y''+^ -f- ('^1,?)''"+^ peut être exprimée rationnellement en X. Il en est de même du produit i///S.t^j/?, comme on voit par les équations (70).

Donc on peut faire

A(ar) et A,(^) désignant des fonctions rationnelles de x. Maintenant ces fonctions ont la propriété, de ne pas changer de valeur, lorsqu'on met à la place de X une autre racine quelconque de l'équation

Considérons d'abord la fonction /(.r). En remettant la valeur de x = ?>/?,

d'où l'on tire, en mettant ,f + 2 o ■ ^l au lieu de p':

^- bl'^ + 21^+ -2^;J = '^V^ + 2^+ 2^;-'^A'^ + 2^+ 2^> Cela posé, en remarquant que

72) é ^itn4-k) = 2: v(»î) + 27 .Uini-\-ii) — yp{m — n — i)),

2ka

ou

aura, en faisant dans l'expression de (fift (^ = A^+ ^

doue

En mettant dans l'expression de vA I» + ^ + ST "" ''™ ''° l*' °" trouvera

^ (-^ + 2^+ 2;^) = f '^ ^' • "^^ V + 2«+l ■+ 2„^1 > or eo vertu de (73) on a

"fA!^ + -Wi + 2^^ — «^1 V^ + 2« + l > donc

En vertu de (72) on à

-^ , t.. /a I 2(a— «— l)aA

donc, en remar(juant que 6"+."-''' = 9.«-"-i-* et il viendra

De la même manière on trouvera aussi

^.(^ + lî^+^)=»'-''.''-

Ces deux équations donneront

En vertu de ces éfjuations ou obtiendra, en mettant dans les valeurs de A(y/S) et X^{ifp), i'] + ' "^^^^"^ °' au lieu de <?,

'Or,(f(^-] ^ ^) exprime une racine quelconque de l'équation

rf(2« + l),?:

Donc comme nous avons dit, les fonctions A(.r) et ?.^(.z) auront les mêmes valeurs, quelle ({ue soit la racine qu'on met à la place de x. Soient donc x^ , x\ , x^. . . x^^ p^s racines, on aura

^^^-'^^^ 2^ (''(•'«) + ^■^^^■^^+ • • • + ^■'(''■"-"^)- Or le second membre de ces équations est une fonction rationnelle et symè-

trique des racines de l'équation (p(2n-\-l)î^ =^ '"^^ , donc /.(.r) et ).i{x) pour-

ront s'exprimer rationnellement en (f{2n-\-l)ii. Eu faisant

).{x) = B, ).,{x) = 2A, les équations ^^7I) donneront

d'où l'on tire

75) v.':J = K(j+i/( j^-z?-+^)) = ^^e.« . y. (p^ + Igi).

Ayant trouvé la valeur de «(■?, on en déduira facilement celle de y^/?.

En effet, en prenant pour 9 successivement toutes les racines imaginaires de l'équation 9*"+^ — 1=0, et désignant les valeurs correspondantes de A et B par Aj, B^, A^, B^ etc., on obtiendra:

V{A, + V{A\- fi-+')) = 1k ■ <P. Ç^ + IS)'

K(^..„+ K(^i,.- ^ra+'))= ^;^".- V. (,^ + 1^)-

De même on connaît la somme des racines:

qui est égale à (2^+ l)9)(2/«+l)ft comme nous le verrons dans la suite. En ajoutant ces équations membre à membre, après avoir multipié la première par 0"*, la seconde par ^-^, la troisième par ^-^ ... et la (2w)'^"« par ej;, il viendra :

or la somme

i + 9r''+er'' + ... + ô^„^

se réduit à zéro pour toutes les valeurs de h, excepté pour kz= ^. Dans ce cas elle devient égale à 2n-\-l. Donc le premier membre de l'équation précédente devient

(2»+l).^(^+Sj>

donc, en substituant et divisant par {2n-{-l), on à:

, / 2n +1 în+i

... + r,-; Vi^^n + KML-^^n))

Pour A:=0, on a: ^

77) y ,^=,^(2;^^-l)^+ .^( V{A,+V{A\ - ^f +^)) + v^( J^+|/( J,^-fi-+>))+.

...+ V\A^n + l/M^..-fi-+^))).

Ayant ainsi trouvé la valeur de cp^^, il s'agit d'en tirer celle de 9/?. Or cela peut se faire aisément comme suit: Soit

78) ,,^ = |.r..(^ + ^); ,.,=|,r..(^-^^); on a

De là suit qu'on peut faire

f '«i" = r + f^] .Fti.s; ^■,^ = r — ff} . F(j . s, où r et s sont des fonctions rationnelles de q:[i. De là on tire

J Va/* •f'3(*=X (?-/?),

%{(f^) et Xi (T/*) i'tant deux fonctions rationnelles de (p§.

Cela posé, je dis que x{(f^) et Xi{f§) pourront s'exprimer rationnellement en (p,/î.

On a vu que

En faisant q>^ = x, on aura une équation en x du degré {2n-j-l). Une racine de cette équation est x =(pfi; or, en mettant /S -{- - — - au lieu de /?, (p^^ ne

change pas de valeur, donc x= (p (^ -\- ^—7) ^^^^ ""^ racine, quel que soit le nombre entier k. Or, en donnant à k toutes les valeurs entières de — n jusqu'à -|- fi, <P\^-\- ^~i) prendra 2»+l valeurs diflérentes, donc ces 2«+ 1 quantités seront précisément les 2n + 1 racines de l'équation en x.

Cela posé, en mettant /? -)- - — - au lieu de /? dans l'expression de 'W^^, il viendra en vertu de (72) :

donc en ayant attention, que ô'-'+'-^^^^g'—'-i-t et ?> f/?+ ^('"~"^'~^) (pj =:(f (^ + ^^£t^), il en résultera ^

De même on .aura

On voit en vertu de ces relations, que les équations qui donnent les valeurs des fonctions xi'Pi^) et y.i{(f§), conduisent à ces deux égalités:

De la on tire

Or, ces valeurs de x{f?) et Xi(y/^) sont des fonctions rationnelles et symétriques de toutes les racines de l'équation (80). Donc elles peuvent être exprimées rationnellement par les coefficiens de la même équation, c'est-à-dire rationnellement en qo^/?.

Soit ^(^^^.)^/>^^^(^^),^2C,

les équations (79) donneront

d'où, en remettant la valeur de \p^i;i:

82) v{c+V{C'- n^"^^)) = ^j- -^i^ + trù-

De là on tire, en mettant 9^ au lieu de G, et désignant les valeurs correspondantes de C et Z> par (7„ et Z>^:

6,/K(ç,-|-K(<^â-/>r^)) = Sj^r'-v i^ + t^ù-

Eu y joignant l'équation

on en tirera facilement

83) (2« + 1) . <y (/5 + ^) = ç,^ + ^„ G,;;^ . ViC^ + V{C-^ - />r '))• En supposant â- = 0, il viendra:

84) ^'r^=~[^,li+V{c^+V{C\-Dr^')) + . . .+/{€. ^,:^V (Cl -Dll^'))]-

Cette équation donne cp/i en fonction alijébriqne de cp^^, or précédemment nous avons trouvé ff ,,? en fonction algéiuique de (p{2ii + 1)-}. Donc en mettant

- "^ . au lieu de fi, on aura cp C '^ J en fonction algébrique de (pa.

Par une analyse toute semblable on trouvera f( — - — } en /« et

f(^^ en Fa.

Les valeurs, que nous venons de trouver des quantités (p^(i et (p(i, la première en 9(2?/ + !),? et la seconde en (p^fi, contiennent chacune la somme de 2w radicaux dilTérentes du (2?^+ 1)'"'" degré. Il en résultera pour (pfi, (p^fi ... un nombre (2«-j-l)*" de valeurs, tandisque chacune de ces quantités est la racine d'une équation du (2?«+l)'"°° degré. Or on peut donner aux expressions de (p^ et qPi/S une telle forme, que le nombre des valeurs de ces quantités soit précisément égal à 2ti-\-î.

Pour cela soit

0 = cos -^~ + i sin -^ , 2h+1 ^ 2n+l '

on peut faire

6j = 0, e., = 9% O3 = 6* . . . 0.2„ = O''". Soient de même

on aura en vertti de (74)

Soit maintenant 86) /('^'W'^"^ OI^SP)'""^^'^'''

P Up^) et Q{(f^) seront des fonctions rationnelles de ç)(9; or, en mettant |5 J 2w"+2ij.at ^^ jjg^j jg ^^ ji gg^ çi^jj. gjj ygfjy (igg formules précédentes,

que /* et !P ne changent pas de valeurs; donc on aura

or, le second membre étant une fonction sj-métrique et rationnelle des racines

de l'équation y(2?^-^- l),^ = ''^', A"?/^) pourra s'exprimer rationnellement en

ç,(2>i j 1),?. Il en est de même de Q{(pft). Connaissant ces deux quantités, les équations (86) donneront

or

donc

.2V{A\-Bl'^+')=Q{(p^)-(A-V{A\-Bl''+')).P(cp^).

Donc on aura

^%6)={r,3r.(F,-\-H,Y{A\-Bl'-^% où Fk et Hk sont des fonctions rationnelles de y(2?/+l)i^- En remplaçant A et B par ^ et ^ et substituant les valeurs de "tp^ii) et {^)^fJf, il \iendra:

donc la valeur ie cp^^ deviendra:

) <p^,^ = <y(2« + i),'?+ A. (^(A+ViA'-B^-ny-''

^ (F^ 4 ^j/(^- — ^"+1)) ( J + 1^( J^ — fi2,.+l))2„+l

Par un procédé tout semblable on trouvera

où JSr^, Z-j, K,, -Zj • • • ^2.o ^îr. sont des fonctions rationnelles de (piP.

Ces expressions de ç-i/î et qp/? n'ont que 2rt+l valeurs différentes, qu'on obtiendra en attribuant aux radicaux leurs 2>i-\-l valeurs. H suit de notre analyse, qu'on peut prendre }^{A' — B-"+^) et Y{C^- — />'^"+^) avec tel signe qu'on voudra.

La valeur, que nous avons trouvée pour (f.{(i) ou (f f ** j contient encore, outre la fonction (fa, les suivantes:

pour des valeurs quelconques de m depuis 1 jusqu'à 2n. Maintenant quelle que soit la valeur de m, on peut toujours exprimer algébriquement çf '" j.

Tout est donc connu dans l'expression de ç (^~~~r)' excepté les deux quantités indépendantes de a, ç. f -ii— V y ( °' j. — Ces quantités dépendent seulement de c et e, et elles peuvent être trouvées par la résolution d'une équation du degré {2n-^îy — 1, savoir de l'équation '"+' =r 0. — Nous allons

voir dans le paragraphe suivant comment on peut en ramener la résolution à celle d'équations moins élevées