C. Sur l' équation

L'expression que nous venons de trouver pour (f f °^ j contiendra, comme

nous avons vu, les deux quantités constantes y f " j et y f — — -J. On trouvera ces quantités en résolvant l'équation

dont les racines seront représentées par

où m et /t pourront être tous les nombres entiers depuis — n jusqu'à -\- n. Une de ces racines, qui répond à m=0, est égale à zéro. Donc /*2„+, est divisible pai* x. En écartant ce facteur, on aura une équation 90) n = 0, du degré {2n-\- if— 1.

En faisant x" = r,. Téquation R=0, en r, sera du degré (^" + |)^— 1 = 2. n{n -{-!), et les racines de cette équation seront

jtt et m ayant toutes les valeurs positives, au dessous de w, en faisant alistraction de la racine zéro.

Nous allons voir maintenant, comment on peut ramener la résolution de l'équation lt=zO à celle de deux équations, l'une du degré u et l'autre du degré 2ra+2.

D'abord, je dis, qu'on peut représenter toutes les valeurs de r par

en donnant à ^ toutes les valeurs entières depuis zérojuscju'à 2w, et à m toutes celles depuis 1 jusqu'à n.

En effet (p' i-^ '-~j représente d'abord un nombre n de valeurs de >•; or

les autres peuvent être représentées par (p"^ (^i . ^"""'""' J. Soit, pour le démontrer, mfi=z(2j?-{-l)k-\-m', où m' est un nombre entier compris entre les limites — n et -\- n. En substituant, on aura

9^ iai • -^ — =— ) est donc une valeur de r; maintenant à chaque valeur de m,

répond une valeur différente de m'. Car si l'on avait

înji = (2}i-\-i)k^ + m', il s'en suivrait

{m — m^)^, = (2«+l) . (k — k^), ce qui est impossible, en remarquant que 2n-\-l est un nombre premier. Donc

*^* v' ■ ~2 — T"/ ^^^^^^^ ^^^^ V^( o"'"i ) représente toutes les valeurs de r.

CeLi posô, soit

«••')['-^^G^fl)]['-^'(^s)]-['-"=(£i)]

Les quantités /j,,, p^,.. .pn-x, seront des fonctions rationnelles et symétriques de fp^i^—)^ ^^(i~") • • •'f''(.T^)' ^^' ^^^ fonctions peuvent être trouvées

au moyen d'une équation du degré 2?i-j-2-

Soit p une fonction rationnelle et symétrique quelconque de

Par les formules que nous avons données plus haut pour exprimer (f{n[j) en <f§, il est clair qu'on peut exprimer ^'^yn'.-^j en fonction rationnelle

de(/)"r-^j. Donc on peut faire

0 désignant une fonction symétrique et rationnelle. En mettant va' au lieu de w', il viendra

or, en faisant:

où A-a est entier et compris entre — n et -\- v, la série

aura au signe près les mêmes termes que celle-ci:

donc il est clair, que le second membre de l'équation (9o) aura la même valeur que p. Donc:

««) 4*-G-Si)] = *['"- C^î)]'

équation, qui en faisant fo'=:w et co' = ;»m -)- o/, donnera ces deux-ci:

,,, (•.■'["'G^,)]=4^'G-;Sî)]'

ou bien, en faisant, pour abréger,

il vieudra:

Cela posé, soit

100) (^^"^"'i^ (p-'p'\J (p-nr,,,) {p—n'r^„) . . . (p-r-i,-^..)

Je dis, qu'on peut exprimer les coefticiens q^, q^ etc. rationnellement en e et c.

D'abord en vertu des formules connues on peut exprimer rationnellement ces coefficiens en t^, t.^...ti„, si l'on fait, pour abréger,

•101) /,-:(V'^)^ + ('/^,„r+(V^^„)*+ • • -+{^r,^^nf.

Il s'agit donc de trouver les (jnantités t^,t^, . . ., or cela se pourra aisément au moyen des relations (99). En effet, en y faisant successivement v =i 1, 2 . . . n, après avoir élevé les des deux membres à la A:^""= puissance, on en tirera sur le champ:

Donc en mettant pour ?w tous les nomlires entiers 0, 1,...2«, et ensuite substituant dans l'expression de tk, il viendra:

105) { -t- {^'V^J' + irpr^J' + . . . + (V'r„,0^-

+ i^Pr^.J'-^- (<^î-,„„)' + • • • + i^'r„,J'-.

Cette valeur de //, est, comme on voit, une fonction rationnelle et symétrique des w(2w-f2) quantités 7\, r^,...r,„ r^^^, r,,^^, . . . î-„o • • • ?-i,2,„ r.,^.,„ • ••''„,2„, qui sont les n{2n-]-2) racines de l'équation li^O. Donc comme on sait, f,, pourra s'exprimer rationnellement par les coefficiens de cette équation, et par suite en fonction rationnelle de r et r. Ayant ainsi trouvé les quatités 4, on en tire les valeurs de q^. q ,..<yo..+i5 yui seront également des fonctions rationnelles de e et c.

Cela posé, en supposant

104) 0=:y„+y^./.+ .y,.//^+ ...+v,„+i.yr"+'+/"n on aura une équation du (2w-|-2)^°"^ degré, dont les racines seront

V\, Wuo' V'-„i, i/Tj,, . . . ifr,^,„.

La fonction ij ?• , c'est-à-dire, une fonction quelconque rationnelle et symétrique des racines r , v.,, 7'^, ...?'„ pourra donc être trouvée au moyen d'une équation du degré 2ti-\-2.

Donc on aura de cette manière les coetTiciens p^, J\,- ■ .p„-i-, fn résolvant un nombre ii déquations, ciiacune du (2» + 2)"^""= degré.

Ayant déterminé p^, p^..., on aura, en résolvant l'équation

lOo) 0 = /^o + />i'- + • • • + P"-i ■ '■""' + '■".

la valeur des quantités

J\ , r.„ ...r„; ?-,,o, r^^^, ■ • • 'Xo; ^\,i ' ''.2,1 ' • • • '■«,1 <"*'■• •'*'.•. dont la première est égale à 'f''(-^ — )• Donc la détermination de cette quan-

tité, ou bien la résolution de l'équation 7? = 0, qui est du degré (2?< + 2).//, est réduite à celle d'équations du degré (2?/-j-2) et 7t.

Mais on peut encore simplifier le procédé précédent. En effet, comme nous le verrons, pour avoir les quantités p^, p^ . . ., il suffit de connaître lune quelconque d'entre elles, et alors on peut exprimer les autres rationnellement par celle-là.

Soient généralement p, q deux fonctions rationnelles et symétriques des quantités 7\, 7\, . . . ?'„, on peut faire, comme nous lavons va,

p = i- 7-, : q = (ii\, 1^?', et 9?' désignant deux fonctions rationnelles de r^ , qui ont cette propriété de rester les mêmes, si l'on change j-^ en une autre quelconque des quantités

Supposons maintenant:

je dis que s^. pourra être exprimé rationnellement en e et c.

En effet, on a (uvj* . 0/-^ = {nr„f . 9;v = ^ ({nr^f . tj)\ + (urj' . 0/-, + • • • + (V 'v/ • e/-„),

(uri,„)*.9r,,„^(u7v,„f 9r,. „= ^ ((îi'/',,„.)''-.Or,,,„+(ero,„f .9r,,,„+ • • • +( V",...)'-^''",-)-

En faisant )n^=0, 1, 2,. . . 2w, et substituant dans l'expression de s^, on verra que s,, sera une fonction rationnelle et symétrique des racines i'^, ?'j, ...?-j„ etc., etc. de l'équation 7?^0: donc s,, pourra s'exprimer rationnellement en e et c.

Connaisant s^, on obtiendra, en faisant A-=:0. 1, 2, . . . 2«, 2«+l équations, desquelles ou tirera aisément la valeur de (i/\, en fonction rationnelle de

ip 7\ Donc, une fonction de la forme p étant donnée, on peut exprimer une autre fonction quelconque de la même forme en fonction rationnelle de/*. Donc, comme nous l'avons dit, ou peut exprimer les coafficiens p^, p^, . . .p„i rationnellement par l'un quelconque d'entre eux. Donc enfin, pour en avoir les valeurs, il suffit de résoudre une seule équation du degré 2n-\-2, et par conséquent, pour avoir les racines de l'équation R = 0, il suffit de résoudre une équation du degré 2n-\-2, et 2«-j-2 équations du degré n.

Maintenant, parmi les équations, dont dépend la détermination des quantités 9 (-7— — jj y( .,"' ), celles du degré n peuvent être résolues algébriquement. Le procédé par lequel nous allons effectuer cette résolution est entièrement semblable à celui, qui est dû à M. Gaiiss pour la résolution de l'équation

Soit proposée l'équation

i06) 0=p,-\-p^.r-\-p^.r^--{-...-\-p„-r.r"-'-\-r'; dont les racines sont:

où td' a une des valeurs w, mat -{-ai. Désignons par « une des racines primitives du nombre 2n-\-l, c'est-à-dire, un nombre entier tel, que fiz=2n-\-i est le nombre le plus petit (mi rende c(f'~^ — 1 divisible par 2t/-\-l, je dis, que les racines de l'équation (106) peuvent aussi être représentées par 107) cf\e), cf.%ae), cp-\uh), ^%ah) . . . r^'^(«'-i . .),

6)' ou i:

Soit

«»' = (2« + l)A„,+6f„„ où k est entier et a„, entier, positif et moindre que w-|-l, je dis, que les termes de la série

seront tous différents entre eux.

En effet, si l'on a

il en résulte.

ou «•»—«." = (2«+ 1) (^-„ — ^-„),

ou «■• + a." = (2//+ 1) (A-„ + A-„).

Il faut donc qiu; l'une des quatités «" — a", «""+"" ^'^^^ divisible par 2n-\-l; or soit posé >n>f.i, ce qui est permis, il faut que «'""" — 1 ou u"'""4-l soit divisible par 2// -|- ^^ ^^ ^^^^ ^^^ iniposible, car m — // est moindre que w.

Donc les quantités 1, a^, a.^ . . . a„i sont difl'érentes entre elles, et par conséquent elles coïncident, mais dans un ordre différent, avec les nombres 1 " 3 4 w

Donc, en remarquant que on voit que les quantités (107) sont les mêmes que celles-ci:

c'est-à-dire les racines de l'équation (106) c. q. f. d.

Il y a encore à remarquer, qu'ayant

on aura*

et

Cela posé, soit 9 une racine imaginaire quelconque de l'équation

6" — 1 = 0 et

108) t(O = fA'(O + '^''(«O6 + 'f'(«^O0' + ... + ?'(«"-*O6""'-

En vertu de ce que nous avons vu précédemment, le second membre de cette équation peut être transformé en une fonction rationnelle de (f'^(t). Faisons

109) ^i,) = x{^cf\e)).

En mettant dans la première expression de »;(^), ('."i au lieu de f, il viendra: tf(a'-f ) = (f "(a"-^) + (p'{u"+h) . 9 + V -(«"'+-0 . 0 - + . . . . . . + y ^(«"-if ) . e"-"-' -j- (p'^ia^'f) . e"-'" -\-...-\-(f -(('."+"-'* )0"-S mais nous avons vu que (p"(«"+'";) = ç"(a'"6): donc:

Ea Diiiltipliant par 0'", le second membre deviendra égal a f{f), donc:

ou bien:

d'où, en élevant les deux membres à la n'""^ puissance, on tire en vertu de la relation 9""' = 1 :

111) (rp{,)yr=[x{cp%a-é))f.

Cette formule donne, en faisant successivement 7h = 0, 1, 2, 3 . . . «— 1, il équations, ({ui, ajoutées membres à membres donneront la suivante:

or, le second membre de cette équation est une fonction rationnelle et symétrique des (piatités ip'{f), Ç'^(«f) • • • Ç^^C"""^^)? c'est-à-dire des racines de l'équation (106); donc {\pi)" peut être exprimé en fonction rationnelle de /^o,^>j .../7„i, par censéquent en fonction rationnelle de Tune quelconque de ces quantités. Soit V la valeur de (^if))", on aura

Cela posé, soit 9 = cos -^ + / sin — . Les racines imaginaires de léquation '^ n 11

9" — 1 peuvent être représentées par

Donc en faisant successivement 9 égal à chacune de ces racines et désignant

les valeurs correspondantes de v par t\ , v^.. . v„i , il viendra

Yv^ = 9>^(0 + 0 . ^■'(«^) + • • • + ^'"" ■ '/'(«""'O.

En combinant ces équations avec la suivante:

on en tire aisément:

...-\-r^"-'^'^Yvn-i),

et pour m ^0:

115) cp%e)= 1 {-p„,J^Yi\ + Yr,+ . . . +Yvn~^)-

Toutes les racines de l'équation (106) sont contennes dans la formule (115), mais puisque leur nombre n'est que », il reste encore à donner à (p%t) une forme qui ne contienne pas des racines étrangères à la «jiiestion. Or cela se fait aisément, comme suit.

Soit Sk = —^

En posant ici (('"a au lieu de {, Y r^ se changera eu O"*'".!/*'^, et i\ en 6""*.?', , donc s^ se changera en

La fonction s^, comme on voit, ne change pas de valeur, en mettant oTe au lieu de f. Or s^ est une fonction rationnelle de f/)'-(f). Donc, en désignant Sk par /.[(f\i)), on aura

quel que soit le nombre entier m. De là on tirera d(! la même manière, et comme nous avons trouvé (»/*)", la valeur de s^, en fonction rationnelle de l'une des qualités p^, p^,. ..p„^i. Connaisant s^, on a

Donc en mettant r au lieu de i\, l'expression de (fi\(i"'i) deviendra:

116) <pV"*)= - (— i>„-i + r'".?'" + i^.,0-*'".?'"+ . . . +^„iO-'"-'>".y^ " J' pour ?rt ^ 0 :

i Cette valeur n'a que « valeurs différentes, qui répondent aux w valeurs de v". Donc en dernier lieu la résolution de l'équation /'o„+i = 0 est réduite à celle dune seule équation du degré 2« + 2 ; mais cette équation ne parait pas en général être résoluble algébriquement. Néanmoins on peut la résoudre complètement dans plusieurs cas particuliers, p. ex., lorsque e = r, « = c ]/3, <? = f(2+|/3) etc. Dans le cours de ce mémoire je m'occuperai de ces cas, dont le premier surtout est remarquable, tant par la simplicité de la solution,

que par sa belle application dans la géométrie.

En effet entre autres je suis parvenu à ce théorème: "On peut diviser la circonférence entière de la lemniscate j)ar la régla et 'Ve compas seuls, en 711 parties égales, si m est de la forme £" ou 2"+^, *)%.! "le dernier nombre étant en même temps premier; ou bien si m est un "produit de plusieurs nombres de ces deux formes."

Ce théorème est, comme on voit, précisément le même que celui de M. Gauss, relativement au cercle.