VI
Expressions diverses des fonctions (p(«^), /(«P), P{n^)-
En faisant usage des formules connues, qui donnent les valeurs des coefficiens d'une équation algébrique en fonction des racines, on peut tirer plusieurs expressions des fonctions ip{np), f(nft), F{n^) des formules du paragraphe précédent.
Je vais considérer les plus remarquables.
Pour abréger les formules, je me servirai des notations suivantes. Je désignerai :
1) Par 2Jjp{m) la somme, et par JJ '>p{m) le produit de toutes les quan-
tités de la forme '^{m), qu'on obtiendra, en donnant à m toutes les valeurs entières, depuis k jusqu'il k', les limites k et k' y comprises.
2) Par ^^JL* '/'(»2,/') la somme, et par JI^II ^^{m,/^i) le produit de tou-
tes les quantités de la forme \p{m,ft), (pi'on obtiendra, en donnant à /« toutes les valeurs entières de k à k', et à /< les valeurs entières de v à v' en y comprenant toujours les limites.
D'après cela il est clair, qu'on aura:
119) ^jim) = xiik) + ipik+1) -f . . . ^}>(k%
120) njpim)=^{k) . xp{k+l) . . . ipik'),
121) 2:„2; 1/^K//) = 2^^{k,^^) + EM^u^)^ . . . + y:^ik',fi),
122) nM^n>im,^i)=n^xp(k,^,) . n^^pik-\-u>) îi^M'^'^ti).
Cela posé, considérons les équations
Nous avons vu que /^^n+i est une fonctiou rationnelle de x du degré (2m 4" 1)* et ^^ 1'' forme a;.v(^'^)- De même P'^h+i et P"2„+i sont des fonctions de cette même forme, la première de y et la seconde de z. Enfin Q.2.h+i est une fonction qui, exprimée indistinctement en x, y ou z, sera du degré (2w-|-l)' — 1, et contiendra seulement des puissances paires. Donc on aura
/^,,^. =. A . x^^"^^^"- +... + /?. or,
PWi = ^' • y^"-^^^^ +...4-^'-y,
Q,^^ =r;.a,-f^»+»)^-^ + ... + /?, jp,„+^ ==c".y^"+'>^- + ... + z?',
!p,,^, =Cvt^2«+' '=-> + ... + />".
En substituant ces valeurs dans (125), il viendra {A . x(2''+i>^ ^.,,^B .x) = 9)(2w+ 1),5.(C . x^'^"+'>"--' + . . . -f Z>), (J' . /'-'■+')= + . . . 4- ^' . 3/) = /■(2« + 1);:?. (C' . y'^"+i'^-» + . . . + D% (A" . i:f2.+i)= ^__^S''.z)= F{2h-\- l)li . (C" . z"^+^y'-' + . . . + D"). Dans la première de ces équations A est le coefficient du premier terme,
— 9)(2«4-l),'?-C' celui dn second et — (f{27}-{-l)fi.D le dernier terme. Donc
— (f{2n-\-l)^ est égal à la somme et +-^(f{2n-\-l)ii égal au produit des
racines de l'équation dont il s'agit, équation qui est la même que celle-ci:
Donc en remarquant tpie A, C et D (et en général tous les coefficiens) sont indépendants de {i, on voit que (f{2n-\-l)ti est (d'un coefficient constant près) égal à la somme et au produit de toutes les racines de l'équation (124).
De la même manière on voit que /'(2?/ + l),5 et F(2w + l)/5 sont respectivement égaux au produit ou à la somme des racines des équations
A2« + l),î = ^, F{2n +iW = ^ ,
en ayant attention de multiplier le résultat par un coefficient constant, choisi convenablement.
31aintenant les racines des équations (125) d'après le No. 11. sont respectivement :
où les limites de m et /i sont — w et -\-n.
Donc en vertu de ce qu'on vient de voir, et en faisant usage des notations adoptées, on aura les formules suivantes:
,/, {2n + \)(i = A. 3^2: A- ir+'"-9 ù 4- "";7 )'
ç.(2.+ l),. = 5.i7„|^.c,(^ + ^gP>
Pour déterminer les quantités constantes A, A', A", B, B', B", il faudra donner à /? une valeur particulière. Ainsi en faisant dans les trois premières
formules (j z=. — — |- /, après avoir divisé les deux membres par cf/^, il viendra, en remarquant que y (-^ -}- — 0 ^ è "
on a;
Soit ^ = ^+|/-f-«,
oa
oL^ " o. "^ \ (p(2«+l)a'
pour a =0.
<-yO
Ces expressions de A, A', A" deviendront de la forme ^, en faisant «=0, donc on trouvera daprès les règles connues:
D'après cela les trois premières formules deviendront:
126) \f{2n+ l)^=yi!.|J^(i).v/-(,; + ^^),
Pour avoir la valeur des constantes D, B', B", je remarque, qu'on aura: 127) S„.i7^i/'(w,//)=v;(0,0).J7„.i^(7«,0)v^(— w,0).^i/.(0,/*)t/'0— /i)
X TlJlMm,(i) . ip{—m,—fi) . njlMm—^i) . yp{—m,n). 1 1 1" 1 I "^
En appliquant cette transformation aux formules (123), divisant la première par (f§, la seconde par f^i et la troisième par F^, faisant ensuite dans la première ^ = 0, dans la seconde /? = — et dans la troisième ^ ■= —-i, et remar-
quant que i(?^±l)L = 2« + 1, pour /? = 0, que ^^^^^^llË. = ( l)" (2/î + 1),
pour /?= ^, et que :^ï^iîlË. = (l)» (2?^ + 1), pour /? = |^i, on trouvera: 2 W^ 2
(2»+l) (-1)" = B.. n/» (^ + £ïj) . 77/' (f + ^)
^^J{j lY+-2^Try- ' V¥"^ 2«+i >'' \ ^ i"> vT*"T""2;^Tr/-'^ ^y'^ 2«+i y*
En tirant de ces équations les valeurs de 5, ^', iS", et les substituant ensuite dans les formules transformées, il viendra:
y.TI II "^ ^V^ 2/< + l /•'PVP 2« + l /
xjj J7 '^V^^'2^^>^^^~"2;^Tr; ^i^+-2^Tr>n^— 2^;
\2^ 2«+i / ^ vs'"*" 2«+i y
On peut donner à ces formules des formes plus simples, en faisant usao'e des formules suivantes:
Hh^'-^)
qu'on vérifiera aisément au moyen des formules (lô), (16), (18).
En vertu de ces formules il est clair qu'on peut mettre les équations (129) sous la forme:
xnn..
„ /7nG)+u.t3î \ „ / mo — u.ai\
(2w+i)(-i)"/p'.iï.„ ^ . n^ -
xnn ^^^*'^^' ■^Vï^-srrr;
•--■-» f^ , Cl
^ \2'^2n+lJ ^ \2'^ -2,1+1 J
Ces formules donnent, comme on voit, les valeurs de ç(2h-j-1),^, f{2n-{-i)^ et F(2;/ + l)^, exprimées respectivement en fonctions rationnelles de y,^, f^ et Fi3 sous la forme de produits.
Nous donnerons encore les valeurs de f{2n-\-l)p\ F(2«-j-l)jS sous une autre forme, qui sera utile dans la suite.
On a /V = 1 — t^*<f V. Jonc
Poi Pa poi ^ '' /2a
et
or en vertu de (IG) on a:
donc
On trouvera de même:
En vertu de ces formules, et en faisant ^ = 0, pour déterminer le facteur constant, il est clair qu'on peut écrire les expression de /"(g» + 1)/?, F(2w-}-l)i*j comme suit:
A2«+ 1)/?=/>^77„ -,..;""^^ .iî,
xnn..
loO')(
„ /« î7! . 7HU \ /o cï . p.ra» \
/o n5 »i6)+u.t3/\ /o o . wiu — u.m\
Dans ce paragraphe nous n'avons considéré les fonctions (f{n^^), finfT), F{np), que dans le cas des valeurs impaires de n. Ou pourrait trouver des expressions analogues de ces fonctions pour des valeurs paires de n; mais comme il n'y a dans cela aucune difficulté, et que d'ailleurs les formules auxquelles nous sommes parvenu, sont celles qui nous seront les plus utiles dans la suite, je ne m'en occuperai pas.
