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Développement des fonctions ça, /a, Fa en séries et en produits infinis.
En faisant dans les formules du paragraphe précédent /? = -- — -, on obtiendra des expressions des fonctions qa, fu, Fu, qui, à cause du nombre indéterminé n, peuvent être variées d'une infinité de manières.
Parmi toutes les formules t|u'on obtiendra ainsi, celles qui résultent de la supposition de n infini, sont les plus remarquables. Alors les fonctions cp, /", F disparaîtront des valeurs de fpct, fa. Fa, et on o])ticnilra pour ces fonctions des expressions algébriques, mais composées d'une infinité de; termes. Pour avoir
ces expressions, il faut faire dans les formules (126), 130) /?= ^ -, et ensuite chercher la limite du second membre de ces équations pour des valeurs toujours croissantes de n. Pour abréger, soit ii une quantité dont la limite est zéro pour des valeurs toujours croissantes de n. Cela posé, considérons successivement les trois formules (126).
En faisant dans la première des formules (126) T^ = ^ — -, et remarquant que
151) S^ V 6(,„,^)^e(o,o)+i'Jo(/«,o)+6(-7«,o))+i' (e(o,//)+e(o,--M))
il est clair qu'on peut mettre la formule dont il s'agit, sous la forme: lô2),»=.^.,(^-^J + ^,i-.(-l)-[,,(«)+,(î— )]
+ - i:^2J^{—ir+!^.xi>,{n—m,n—p),
où l'on a fait pour abréger,
Maintenant, en remarquant que
2q(~^ f(^^^ fCJ^^
où ^„ et B^ sont des quantités finies, la partie de l'équation (132) jusqu'au membre qui a le signe — , prendra la forme:
2h+1 ^ 2w + l ' (2«+l)2 j or la limite de cette quantité est évidemment zéro; donc, en prenant la limite de la formule (132), on aura:
(pa=: lim. 2J 2J ( — l)"^'".î/'(w — m, n — /<)
ec 1 " 1 ^
+ ^ lim. >,;2;^(l)"'+/'.v> — 7w, « — //),
ou bien:
134) W = -- lim. Z'„:L'J-1)»+.«.vC«,i")
ec „ - 0 ''
+ £ lim. ^„,^„(-l)"'+^.V'.(v«,^).
ec
11 suffît de connaître l'une de ces limites, car on aura l'autre en changeant seulement le signe de i.
Cherchons la limite de
Pour cela, il faut essayer de mettre la quantité précédente sous la forme
P + v, où P est indépendant de n, et v une quantité qui a zéro pour limite; car alors la quantité P sera précisément la limite dont il s'agit.
Considérons d'abord l'expression:
Soit
^ (—lY.yi{m,n).
et faisons
136) ^im, /0-Ô(«/, Ai)-= ^^, . R, , on aura
137) S^(-l>" . T/.(;«, /0-S?,/-l>" • 6('«> /O = 2« • ïj-l>" • (^ Cela posé, je dis que le second membre de cette équation est une quantité de la forme — ^— .
D'aprùs (12), (13) on aura
9(?+£)^9(?-£) ç(^+ç).ç(^£) ç"-^-çH' donc en faisant ,^ =-^ et . ^ imH).H^).i^ ^ ^^ fe.Fe = ,e, on a
* V2«+iy * V2n+1/ Maintenant on a:
'^ V2n+1 / 2«+l "^ (2n+l)3 ' donc VK /^) = ■ ^^^^ f ^^^ + -?^1 ,
et par conséquent:
V'K^)— 9KjU) =
{-in+iy
* KUn+lJ ^ \2n+lJ
Donc la valeur de i?^ deviendra
Cela posé, il y a deux cas à considérer, savoir si — ^^ a zéro pour
limite ou non.
a) Si ^^-r- a zéro pour limite, on aura:
2/ g \ gg . J).7.*
OÙ ^„, Cu, D ont des limites finies: donc en substituant:
139) n, = Au-.^___<L^!!^
or soit que f^ soit fini ou infini, il est clair que cette quantité convergera toujours vers une quantité finie pour des valeurs toujours croissantes de 7i. Donc on aura
où Vft est une quantité finie indépendante de n.
s b) Si ^-^^ a pour limite une quantité finie, il est clair, qu'en nommant
cette limite d^,, on aura:
Cela posé, considérons l'expression ^^( — l)".— — ^^^r^- Ou a
Supposons d'abord que *" ait pour limite une quantité finie, quelle que soit la valeur de fi. Alors en remarquant que
on aura R^, — //^+i = ^^/, — î',i+i ,
donc
f.(-""- i^==(à!v ('■:-»■;+<-";+•••+"■'--''■'-.)+ (sf,K-
où k = 7i ou ?? — 1, selon que w est pair ou impair. La quantité B a toujours pour limite une quantité finie, savoir B^O, si 7i est pair, et B=B„^, si n est impair.
Maintenant on sait, qu'une somme telle que
peut être mise sous la forme k.r,v ayant zéro pour limite. Donc en substituant:
>v jy, ^,« __ k.v+B ,
or, k étant i''«;al à // ou à n — 1, et B fini, la limite de '"*" . sera zéro
2rt+l '
donc :
Supposons maintenant que - — - a zéro pour limite, ^lors ^
iji + i 2«+l
a également zéro pour limite, à moins qu'en même temps ^ n'ait pour limite
une quantité finie. Soit dans ce cas v le nombre entier immédiatement inférieur à ]///, et considérons la somme
//„ - B, + /?., R3 + ... 4- ( l)"->/.',,. En supposant que // est un des nombres 0, 1, ....»■, il est clair, que
,., ' .. = -^ ^ — '^ — - — a zéro pour limite ; donc, selon ce qu on a vu, B,^
sera une quantité finie, et par conséquent
où B est également une quantité finie.
Considérons maintenant la somme
Si ' a pour limite une cpantité différente de zéro, on a, comme on a vu:
si au contraire — a pour limite zéro, on a:
Ba = ?',« + *',i , or, si en même tems fi>}/n, il est clair qu'en vertu de la valeur de B^,
or il est clair que B^ et C„, tous deux, ont pour limites des quantités indépendantes de fi, donc en nommant ces limites B et C\ on aura:
B^, = B-C-i-r,., et par suite, aussi dans ce cas,
Donc comme dans le cas où — ■- — aurait une limite différente de zéro
pour toutes les valeurs de fi, on démontrera que
jt^ («.-«.,. + ... + ( i)—fl..,) = ^^ .
Maintenant en combinant les équations ci-dessus, on en tirera
