lY^{m, ^,) - V„(- 1>" . ô

Cela posé, il s'agit de mettre 27J— l)"9(m,//) sous la forme P-| ^—.

Or c'est ce qu'on peut faire comme il suit. On a:

[i'„(-l>"eKA/) = !■ (— l>"G(/«,//) — i- (1)."G(»»,^) et JL;„(—1)".0(w, //)=(— l)''(6(?w,?<)—ôKn+l)4-0K«+2)— . . . etc.).

Or d'après une formule connue on a:

où ^, 5 . . . sont des nombres ; or

a2— [(OT+^)u+(n+J)a»]2 ' donc en substituant

De là il suit, que

es*, «a ' „a 2n+l

Donc en vertu des équations (14o)

S^(-1>"9Ka.) = l^C-l)" • 6(»«,//) + ^l^j- , et par conséquent

UQ) ^^J,-iyxp{m,^i) = |;„(-1)" . 9(/»,^/) + ^ ■

Ayant transformé de cette sorte la quantité 2^ ( — l)" .f{m,iu), on tire de l'équation (146) : ' •

1 i7) l\'£^{-ir+^'^{m, f,) = S(-i)- . (,.„ + 2). -^ ,

en faisant

148) p„. = 27(-i)''.eKA0;

«"â^Hl" 2n+r~~ 2w+l 2 '

V ayant zéro pour limite. Donc l'équation (147) donnera, en faisant n infini:

149) lim. i'„.Z' (— l)"'+'"-#w,/') = 2'(— l)*"-?».- De même, si l'on fait, pour abréger:

ou auiM

loi) \im/£\^{-ir'^f'.x}',{m,f,)=i{-ir.ç'^ 00" 0

Ayant trouvé ces deux quantités dont l'expression de cpa est composée, on aura en substituant:

€C ^) tV Q W Q

ou bien, en remettant les valeurs de ç'^ et q,,,, 152) (/:« =

Maintenant

donc

I (2;j.+l)nt ^(2[i.+l)t3/

"■" [a— (7«+^)o]2+(.j.+i)2a'^ [a+(»«+v])oP+(lJ.+i)2î32'

donc l'expression de çia deviendra sous une forme réelle:

lo5) (f(C =

c'est-à-dire, ou aura:

154) <pa=^(â,-ô\-\-ô^ — d, + ... + {-ird„,-...) — Tr i^'o-à\ + à>^-d',+ . . . + (-1)"M'„.- . . .)

[a + (mH)«]^+ ^ [a+(m+l)(o32 + ~ [a+(m+»)o]2 + ±^

Si Ton commence la recherche de la limite de la fonction

2^2^ A — 1)'"+'". If (»?,/') par -celle de 27( — iyxp{m,^) au lieu de celle de

2^{ — lY■^l{m,^^), comme ilous l'avons fait, on trouvera au lieu de la formule

(155) la suivante

156) ça =

1 v- (1Y« V C—IV" ( C^!^+1)Q (2iJ-+l)a "^

c'est-à-dire

a ec

ec OÙ

Y (a-|-)V(.HPn^ (=c-|^)V(.-*-èr.^ (a-^)VHr 158U ^-i^ \2/ \2/

Cherchons maintenant l'expression de fa-, au moyen de la deuxième des

formules (126). En y faisant [i =z "■ . et ayant égard à la formule (131), on aura:

En suppposant maintenant n infini, et reniaïquaut qu'alors la limite de la quantité

ëlvCi^)+4-.<-')-[Ki^)+/(ï:ï)]+4iKei=>Kï,s-)]i

devient égale à zéro, on aura:

lo9) fa = liui. (— l)"i;^^ (—l)'^>,^(„—.m, 71— u)

+ lim. (-l)"!- i',(l)"4.^(«,«, n-^i), 1 1 où l'on a fait pour abréger:

Maintenant on a:

Soit on aura:

ps ^ V2 ' 2 y ^V 2« + l /'

çs

Donc on aura, en substituant et mettant m et /t respectivement au lieu de n — m et n — //:

On aura la valeur de ViC»', i"), en changeant seulement le signe de t. En faisant maintenant

er/w .r) — -- (2"» + l)o + (2[x+l)ne ^ '^^ a-2— [(m+i)o + (jj.+^)n*]-2

et cherchant ensuite la limite de la fonction

de la même manière que précédemment, on trouvera:

lim. ï\£\{-ir.v{m,^,)^^.Z:(i:j-iy\Hm, f^))

n-i n-i -j oo ^ oc V

lim. ^„^^ j-ir.t/;,K /O = '-.i:(2:j- irM'", /o);

donc en substituant dans (159), et remettant les valeurs de G(w,/<) et 9j(?«,/(), on a:

160) fa =

La quantité renfermée entre les crochets peut aussi se mettre sous la forme :

2[a— (;n + j)(o] 2[a+(OT + ^)»]

[a— (;rt+A)o]-^+(lJ.-4)-G32 [a+ (m + 4)o]- + (iJ.+è)"^o'^' donc aussi:

161) fa==

L T f^- (—U- 2[oi-(m+i)a] ^. , .„ 2[a+(m+^)o] \

On aura de la même manière:

Venons maintenant aux formules (130). Pour trouver la valeur du second

membre, après avoir fait (j = ^ , et supposé n infini, nous allons d'al)ord chercher la limite de l'expression suivante:

i6o) t^n.,,nj

où A' et / sont deux quantités indépendantes de 11, m, ,</.

Ea prenant le l(»u;ari(Iiiiu', et faisant pour abréger:

16 i) n.im,/.i) = los'

'^'' V — 2;rrï — J

on aura: ,

i6:i) iog«3=i;i'^.^.(«,,^).

ConsiJérous d'abord l'expression 2Ju ^li>», //)• Soit

16G) 9K«) = loï{ <'"" + '""'+^)';,

on aura:

#«, //)— e(w, ,//)=iog ^ î^ — ' ^ >

{m(ù + \).ai+ky^

Cela posé, je dis tpie le second membre de cette équation est pour toute valeur de m et /t de la forme

Pour démontrer cela, il faut distinguer deux cas, si la limite de " ^^*

est une quantité ditTérente de zéro, et si elle est égale à zéro.

a) Dans le premier cas on aura, en nommant a la limite dont il s'agit:

n-2^Tr-) = '^^'+'''

donc:

On a de même

^2 ff

En substituant ces valeurs, l'expression de i|''(»w,//) — 0(»J,/') prendra la forme:

t(w,^) — 6(»/,//) = log/ î--— ^^ —^>

les quantités v, v', v^, v\ ayant toutes zéro pour limite.

On a donc:

loo- (i "^ ") = i^ etc.

et par conséquent:

b) Si la limite de la quantité "'^J"^°^' est égale à zéro, on aura:

^Z m(ù+\LTsi+k\ (mQ + \t.ai+ky' , j (ma+\x.vii+k)* ,

* V2« + l/~~ (2«+l)-^ "^ ■ (2« + l)* "T • • •' donc:

Si maintenant mm-\-fiTsi ne va pas indéfiniment en augmentant avec n, on aura:

de même:

j \'Àn+l / . g-^ 1 ^

^ /»no + [xra« + / \ (»!{.> + [J.f3i+/)- (2?/+l)2'

' V 2« + l / donc dans ce cas :

i5' et C' ayant des limites finies, ou bien:

la limite de D étant également une quantité finie.

Si au contraire la quantité »iro -j- /'Gî augmente indéfiniment avec n, on a:

^ V 2/;+l / ^ 1 g^ ) (7/iG) + ij.OT + )(•)''

g'^ ' (2«+l)2 " \ Ano+jxOT+^Y^

(wo + .ira? + A)-2 ( ^ "^ ^ V 2« + 1 /

2«précédente sera de la forme

or les quantités . , ,. — , ''^ ' ont zéro pour limite; donc la cmantité

^ W20 + U.OT + *: ln + \ ^ ^

A" ayant une quantité finie pour limite. En changeant h en /, et désignant la valeur correspondante de A' par A\, la valeur de i/ (/«,//) — 6(?«5/0 deviendra:

^ , (2« + iP ' (2«+l)=

Maintenant la limite de A" est la même que celle de ^; or il est clair que cette dernière limite est indépendante de k, m, /t (elle est en effet égale au coefficient de «* dans le développement de (f'^u). Donc on aura:

et en changeant k en l

d'où A" — A\ =^v — V' = t\ Donc A" ■ — A'^ a zéro pour limite, et par conséquent on a:

Donc nous avons démontré, qu'en faisant

1G7) tK/O-0K/O= ^"'"^

la limite de A„,^fi sera égale à zéro toutes les fois fpie ma -\- ftisi augmente indéfiniment avec n, et qu'elle sera égale à une (juantité finie dans le cas contraire.

Cela posé, considérons la quantité

1 ^ En substituant la valeur de %p{m,fi), il viendra:

168) i^;^K/0 =i^6(/«,/<) + -^^;^ -^J^-U,)- Soit V le plus grand nombre entier, contenu dans V^ii, on peut faire:

n ^u '"if ^^^ -""'/i "T -^"'ii. ~r • • • ~r -"»•,»' ~T~Am^^^i-\-A„,^,.^^-f- ...-)- yî,„^„.

Or, d'après la nature des quantités A,„ u, la somme contenue dans la première ligne sera égale à v.A^, et la seconde égale à A'„,{it — v), où A„, est une quantité finie et A',,, une quantité, (jui a zéro pour limite, donc:

2;A„,^ u = v.A^-\- {n — j') A'„= {2/1 + 1) . i9„. , où

Donc la quantité li„, a zéro pour limite, en remarquant que p ne surpasse pas ]/?*.

Par là l'expression de 2^ \p{m,fi) se change en:

169) i>(r«,/0 = i;„GK/.) + ^.

Pour avoir la limite de ^ 0(/«, /'), j'écris

2 Jim fi) = 2:j(m,f,)— >;,«e(/»,,o = 2:ji»hf<) — z-jiC»", /<+«).

Or on peut trouver la valeur de 27 9(w,/i+«) comme suit.

I <" On a:

K»hn-hn) = log ; ^ ^-^ ^

De là on tire:

+ etc.

où

orJi)= î î ,

\n/ /ma + l . u. .Y /ma + k . u. A*'

e fji'j 1 1

^\n) (miù-¥l . u. A* {mo + k . u. A*'

etc.

Or on sait que la limite de

donc

etc. , et par conséquent, en substituant:

(mtù + l . A2 /mo+i . .V

etc.

donc on aura:

mf 0 a» \ /mu + K . A /mii + l \ }

VtUtù + k \ /?tl(ù+l ^

ai n fintù + l . A/wJU + i-

hrnù + l . A /ma + k . A 1 l-OT + :n3î ) 1 ■ + wt+swij

Vil n /iiia + l A /mo + k A

La limite de cette expression de / f^{x)dx est zéro pour une valeur quelconque de ;r. De même on trouvera que la limite de / ^^{x)dx est zéro, donc:

f .»("''"+") = Ï ■"- è ■" + 3^ ■ ^'" — • donc aussi, en faisant // = oo :

d'où:

170) i^^'K.") = i„GK//) + 2^,

??„. ayant zéro pour limite. De là on tire

nn n« \"«

En prenant la limite des deux membres et remar([uant que

on aura:

171) lim. ^.^^-^ t.(»^^0 = Z'i v-^^ôC^^/A

En remettant les valeurs de ^{m,fi) et ô(«*,//), et passant des logarithmes aux nombres, on en tire:

172) lim.77„77„

= njn

(/HO + [j.n/

(mu + [J.C5J + /)2

Par une analyse toute semblable à la précédente, mais plus simple, on trouvera de même:

173) lim. 77

(jno+/)*

, ^ V 2n + lJ

174) Uni. 77

"2^rfr/

(ij-raj + /f)'^ (\).xsi+iy^ .

Maintenant rien n'est plus facile (pie de trouver les valeurs de ça, /«, Fa. Considérons d'abord la première formule (130). On a:

donc :

(?^ — 7»+^)o + (w — |j.+.^)gi>" 2«+l -

nn,,

'm "// \ „ „ , /OTU+U.C3I \ „

(M-/n+^)o+(«-|j.+^)ar 2«+l >

Cela posé, si l'on fait j^ = - — - et qu'on suppose n infini, il viendra, en faisant usage des formules (172), (173), (174), et remarquant que la limite de (2« + l)(/3(2^) est égale à «:

OO ■ oo

xnjn,^

(»io + [xa?)-

(mu — (j.ot)*

[(;«-i)G)-(iX-^)ai]2

Les deux formules (150') donneront de la même manière, en faisant /? = 2^^» et remarquant, que f{0) = 1, F{0) = 1 :

oc I co

176) fa = nJn,,<

[{m — ^)u — tia/]-

l ^ [(»î-è)u + (iJ.-i)n/]V l [(OT i)o(p.— i)aiT x5 (l — ^),

fr (i-\ "■' "j fr }fr } ^ ~ [>»"+(p-— è)^'3^ l^ "~[mo+(ix— i)mi]2

[(m-J-)6)+(ix4)c50- ; V' l{m-^)(ù + {\}.-^)t3iY^ On peut aussi donner une forme réelle aux expressions précédentes comme

suit:

178) ,«=«.js^^(i+^).^„(i-^:y

Ces transformations s'opèrent aisément au moyen de la formule:

\} {a + bi^A {a—biT)^^\ "■" 'a + biA "^ a—biA Ï+6/A ~ a—bi)

(a+«)-^+ft-^ (a g)2+ft2/ (a+«)-W. i (a-«)-\ 1

Dans ce qui précède nous sommes parvenus à deux espèces d'expressions des fonctions (pa, fa, Fu: les unes donnent ces fonctions décomposées en fractions partielles, dont la totalité fonne des séries infinies doubles, les autres donnent ces mêmes fonctions décomposées en un nombre infini de facteurs, dont chacun est à son tour composé d'une infinité de facteurs.

Or on peut beaucoup simplifier les formules précédentes au moyen des fonctions exponentielles et circulaires. C'est ce que nous allons voir par ce qui suit.

Considérons d'abord les équations (178), (179), (180). En vertu des formules connues, on a:

donc

iizikL-

En vertu de cette formule il est clair que les expressions de ipu, fa, Fu peuvent être mises sous la forme:

lsin(a+mu)— i.sin(a— mo) — j.cos2(ot— A)o)— » (wio— i) f

1 "* /cos[a+(?n— ^)o]— 8'.cos[a— (m— l)o)]— I■.sin2w^o^^• (a+wio)(a— wio).— j* (

Xn^ (tangCa+(m-^)o,]J,-.tang[a-(7«-|)o]^ /.cot2(m-i)oi^,-. ('"-è)'»' Y I ^ ta es es »■' — (ffi — ^j'^o-'/

(X =o I cos(a+7no) — ?.cos(a — ma)—i-cos-(m — X)o — i I a^i).n { ^- — •

* lcos[a+(?re — ^)(o] — ï.cos[a — (m— i)o] — i.cos^wio. — » I

V tu 0 a J

On trouvera des expressions réelles, en substituant au lieu des fonctions circulaires leurs expressions en fonctions exponentielles. On a:

sin (a — b) . sin (« -j- 6) = sin'^a — sin*è. cos {a-\-h) .cos (a — è)=:cos*« — sin*6, donc:

sm(a + mo) — ï.sin(a — mo) — t

cos[a+(ffi — ^)o] — î.cos[a — (m — 4)"] — -' 8În*a — î

cos-(ot — ^)g) — I cos''(?« — A)o — I

sin2(/rt — i)o — «

D'après cela et en remarquant que

(m— ^)2o2 il est clair qu'on aura:

sin* a — »

181) qpa=Ji. 1^— r.TJ o^

cos'*(/n — ^)t) — »