SI
4sin 1 +
(^m-(-l)o-T (2m+l)c5-js
[h -"> —h -'" ) 188) Fa=i7„ ^ y^ '-'
(2m+l)05i (2ni+l)ci?r>. a
4 sin''
incs?i m07i\2
, mes;! mwTix
.89) A=cos(^).7r„. ^^.,,(^)
Considérons maintenant les formules (160), (161), (162). On a:
donc, en faisant
v/.w (2ix+l)a 2z 1
ft " -f- rt "
En vertu de cette formule il est aisé de voir que les expressions (lo5), (162) de ça et Fa deviendront:
190) (fu =
191) Fa =
Les expressions précédentes de ça, Fa, peuvent être mises encore sous
beaucoup d'autres formes; je vais rappeller les plus remarquables. D'abord
en réunissant les termes du second membre, on trouvera:
!, an ctTTs, / (un W7Z\ \
lun lun , lùTi tan I
r, an (cn^ . tan '^^\'\
185) Fa = ^. ^. f ( /^^ + f^) {/r^'^ - + à^"^^^ ^)|
2an 2an , ton tait , C2m+1) (2in+l').
Si, pour abréger, on suppose:
194) Ao =£ et /i« =r\
ces formules, en développant le second membre, deviendront: 193) g>a =
rio+£2+ +
En mettant ai au lieu de « dans les formules (192), (195), changeant ensuite c en <? et e en c, et remarquant que les quantités
- al-
fa, o, (f{ni), F {ai), /i ° — h "^,11 '^ -\-h °, se changeront respectivement en:
a, lù, i(p(a), fa, 2i.sin« — , 2coSa— ,
il viendra:
(en , .^^^\
A '"+2cos2a— + «
tsn\
' /i' ^' cu L2cOS2«- + /i
En faisant pour :ibréger
es 71
et développant, on obtiendra:
1 3 1 si
SmCfi: ---).< ■ '- ^ ,
^'^ " t?2+2cos(a7u)+-^ p« + 2cos(a7t)+— pio+2cos(aTr)+-|o
1 3 1 si
|p2 + 2cos{ar) + — p«+2cos(a7i:) + — pi''+2cos(a::)+-Y5
En substituant dans les formules (190), (191) au lieu de h ° et h-° leurs valeurs « et r, il viendra:
-Oo) Fu= — • — • -^mVs . ^-2m-l + £-1 . r^m+l + £ . r^m+l + £-1 . ^-2m-iy '
En supposant maintenant « < -^5 on aura:
1 S.7— ^m-l ,,2m-l ,3 ^-Ôm-S l 5 ,,-lOm-â
donc
(pu=-.—. C^J— l)'»((i 6-l).r-2"'-l(i3 4-3).,.-6'"-3|.(^6^-5^,.-10«-5 ■)"\
Or
etc., donc;
204) y« = l.^.(!^^i!=^;+£:i:i:!-...)- De la même manière on trouvera:
20o) Fa = ?L.J^.(^A£l.-t±llj^t±^—..\.
En mettant « — i au lieu de a, et changeant ensuite e eu c et c en e,
se changent en:
o, 0), z>(a |-), /"(«-f^). ?. 2cos (w«-|-), 2isin(»ja|-); donc
(sin(a-— ) sinfSa^r) siii(5a— -)
,^js(a — ) cosfSa— -) cos(5a-— )
Ces quatre dernières formules offrent d'expressions très simples des fonctions (pcc, fa, Fa. Par les différentiations et intégrations on peut en déduire une foule d'autres plus ou moins remarijuahles.
Dans le cas, e-=z c, les formules précédentes prennent une forme plus simple, à cause de la relation w = ts, qui a lieu dans ce cas. Soit pour plus de simplicité e==:c=l. On a:
. (07T n riTT n
r = l^=1?, ç = I^ = I^, donc en substituant, et faisant dans (204), (20o) u=z u~ , il vient :
(7T (171 3fOT Zan 5CI7T 5r(7i
KTl
((TJ
BciTl
3an
5ri7i
5nn^
,,(«") = lî^îsin(«4).^^-sin(34).i^+-<54).i!^-, /•(«^)=*-I^îcos(.4).A cos(34).4l-+cos(54).A..
Les fonctions rp, f^ F sont di'tcrniinées pai- les équations
u p' dx o r'^ dx
Si dans les deux dernières formules on fait « = 0, et qu'on remarque, qu'alors la valeur de — ; r^ est = —, et celle de ; — =m, on trouvera:
^q JZLj-'ï -AI__ \ — ( f ^-^ V §. VllI.
Expression algébrique de la fonction ç ( — j rfans /e le cas où e = c = 1 . ^application à la letnniscate.
Dans le cinquième paragraphe nous avons traité l'équation P„ = 0^ d'où dépend la détermination des fonctions ?> (— ) et g)f— j. Cette équation, prise
dans toute sa généralité, ne paraît guère résoluble algébriquement pour des valeurs quelconques de e et c; mais néanmoins il y a des cas particuliers, où on peut la résoudre complètement, et par suite obtenir des expressions algébriques des quantités ^T— jetç(— j en fonctions de e et c. C'est ce qui
arrive toujours, si tp (— ) peut être exprimé rationnellement par rp ( — j et des
quantités connues, ce qui a lieu pour une infinité de valeurs de — . Dans tous
ces cas l'équation P„ = 0 peut être résolue par une seule et même méthode uniforme, qui est applicable à une infinité d'autres équations de tous les degrés. J'exposerai cette méthode dans un mémoire séparé, et je me contenterai pour le moment à considérer le cas le plus simple, et qui résulte de la supposition e = c = i et « :^ 4f -|- 1. Dans ce cas on aura
u= I —rr, — ou .r = (fa,
fu=V{l — (f^u), F«=K(l + <^=«).
De même
209) (p{ui) = L(fa,
ce qui se fait voir, en mettant xi au lieu de x. Cette formule donne ensuite:
210) fic'.i) = Fa ; F{ai) = fa.
Les deux quantités e et c étant égales entre elles, il est clair qu'il en sera de même des deux quantités que nous avons désignées par lo et c5. En effet on aura
En posant dans les formules (10) /Si au lieu de /S, on en tii-era, en ayant égard aux équations (209) et (210):
212) } fia + ^i) =f^:£È=i^^^^^\
Donc, pour trouver les fonctions cf, f, F pour une valeur quelconque imaginaire de la variable, il suffira d'en connaître les valeurs pour des valeurs réelles. En supposant a ^^ ma, fJ ■= /uâ, on voit que (f{m-\- fti)â, f{m -\- fii)â, F{m-\-fxi)ô pourront être exprimés rationnellement par les six fonctions suivantes :
q!{mô), cfifiô), f{mè), fiftô), F{md), Fifid), et par suite aussi par des fonctions rationnelles des trois fonctions qpd, fâ, Fâ, si m et fi sont des nombres entiers.
En suivant ce développement, on voit également et sans peine que dans le cas, oii m -{- // est un nombre impair, on aura :
(f {m -f- /< i)â =<f{ô). T, où T est une fonction rationnelle de {(fàf, {fôf, {Fôf, c'est-à-dire de {(fSf. Donc en faisant (fà = x, on aura
(f{ni -\-^n)8=zx. '^{x'^)- En cliangeant ô en ai, qpd se changera en if{èî)=zi(f{d):=ix, et la fonction n{m-\-(.d)ô en i(f{ni-\-fii)d', donc:
(p{m + /"')'^ = •*■ ■ f '( — ^*) ; par conséquent on doit avoir i/( — .r'*) = i/'(a;*) ; ce qui fait voir (|uc la fonction i|'(^) ne contient que des puissances de la forme .r*". Donc on aura
215) (f{m-\-fn)â = x.T,
où T est une fonction rationnelle de x^.
Cherchons p. ex. l'expression de q:{2-^i)3 en x.
On a d'après les formules (212), eu faisant a = 20 et /5 = <î:
Or (10) donne:
.^,x 2o5./5.iï'5 ^„.. (/5)2— (oS)2.(ii'ô)2
l + (98)* c'est-à-dire, en remarquant que (f'd=x, /(5=|/(1 — .r*) et Fâ=]^{i-\-x%
Substituant ces valeurs et réduisant, il viendra:
lia) c[(2-\-i)d = X- , . . '-=xi.
Expression algébrique de ç (- l.
On peut, comme on sait, décomposer le nombre 4»- + 1 en deux carrés. Donc on peut supposer
«^ + ^2 ^ 4. + 1 = (« +,ï/) {a-(Ii).
Nous chercherons d'abord la valeur de œl — %rr); car celle-ci étant trouvée,
on en tirera facilement la valeur de (p ( ).
La sfomme des deux carrés u^ et [î^ étant impaire, l'un des noml)res « et ^
sera pair et l'autre impair. Donc la somme « -j- i > est impaire. Donc en
vertu de (215), ou aura
216) cf{a-\-^i)d=x.I,
où T et S sont des fonctions entières de x* ==■ {q>à)*.
En supposant (5= — ^ le premier membre de (216) se réduit à zéro.
et par conséquent x = (p ( ■ " j sera une racine de l'écjuation
Donc on aura la valeur de w ( — ^. ) au moyen de la résolution de cette
équation.
D'abord on peut trouver toutes les racines de l'équation 7^=0 à l'aide de la fonction (p de la manière suivante. Si T=0, on doit avoir
(fia + fi{)â = 0, d'où l'on tire, en vertu de (27): ■>
(a -|- ^i)<^ = »i« + /«ai = {m -\- f^i)(>},
Dans cette expression sont conséquemment contenues toutes les racines de l'équation T=0. On les trouvera en donnant k m et /u, toutes les valeurs entières depuis — oo jusqu'à -\- co .
Or je dis que les valeurs de x qui sont différentes entre elles, peuvent être représentées par la formule
218') a: = cp(-î!Ç),
où p a toutes les valeurs entières depuis ^ jusqu'à -| ^
Pour démontrer cela, soient k et A' deux nombres entiers qui satisfont à l'équation indéterminée:
219) ^.X — a.A' = —l; soit de plus t un nombre entier indéterminé, et faisons
220) k = /<;. -\-tc<, k' = — /<;.' — f/? ; on en déduira sans peine
// 4- p'A + uk' = 0, et si l'on fait
ç=.m-{-ak — fik',
on vériCera aisément l'équation
^L±Ji'=P k — k'i.
De là ou tire
/m ji|^^\__ /po — ^^ ^ — k'oai)
or suiv.iiit (22) le second membre se réduit à donc
cp te:») = (-1)---. cp (^)=cp (^).
Va + ^» / ^ Va + j5î/ ^ Va- + ^i/
Maintenant l'expression de q deviendra, en y substituant les valeurs de ketk':
(,=.;»+/,(;.« + A',^) + ;. («^ + n d'où l'on voit qu'on peut prendre t tel que la valeur de q, positive ou néga-
tive, soit inférieure à — ■ Donc etc.
Toutes les racines de l'équation T-=zQ seront représentées par la formule (218'); or toutes ces racines sont difl'érentes entre elles. En effet si l'on avait p. ex.
^ Va + ^0 ^ Va + p«/ ' on aurait selon (31), (en remarquant que îs = m)
d'où l'on tire:
aw + /S?« = 0 ; (j = (— 1)"'+" .q'-\-um — §n. La première de ces équations donne n^=. — ^t\ m = at, où t est un entier indéterminé. En vertu de ces relations, l'expression de q deviendrait:
(, = (— l)-+».p'-f(«^ + ^^).^, d'où l'on tire
a* + P^ ce qui est impossible, en remai'quant que q, ç' sont tous deux inférieurs à —~- •
Donc les racines différentes entre elles de l'équation T=0 sont au nombre de "" ~ • Il faut voir encore, si l'équation en question a des racines égales. En différentiant (216) on en tirera, en remarquant ([ae d(paz=ida.fa.Fa: (« + ^/)./•(« + ^;)J.F(« + ,?^V.^-f(g).ç(« + /î^)c^
z=zx. ^.fà.FÔ^ T.fd.Fâ.
Si maintenant T, a des facteurs égaux, il faut que T et — — soient égaux à zéro
ax
en même temps; donc l'équation précédente donnera
S.f{a-^ ^i)â.F{u-j- ^i)d = 0; or on a ç)(a + ^i)â=0, donc /(« + (^i)d=+ 1 = F{u -\- fii)â, et par conséquent S ■= 0,
ce qui est impossible, car nous supposons, ce qui est permis, que T et S n'aient point de facteurs communs. Par là on voit que l'équation
T=0 est du degré «* -f" /^* — 1 P''^'^" rapport à x, et aura pour racines les quantités :
— ^ Va + p?/' — ^ Va + pj/ :i-'f \ 2 a + ^iJ
En faisant x* = r, on aura une équation
du degré 1 = 2v, et dont les racines seront
220) (p-'iâ), if\2d), (f>\^d) . . . (^\2vS), où pour abréger on a supposé d^ — ^..
Cela posé, on peut aisément résoudre l'équation R = 0, à l'aide de la méthode de 3f. Gauss.
Soit £ une racine primitive de «* -j- ^\ je dis qu'on peut exprimer les racines comme il suit:
221) cf.\d), ff^eô) cp-i.'^d), cf^ie'ô) . . . cp%,''>-\d). En eifet, en faisant
où «„i est moindre que — --^, on aura:
(pie'^Ô) = cp(± aj H- *^"-^^Pco) = cp(± aj -\- t (a— /?i)co),
^ OC T" p* ^
c'est-à-dire, en vertu de (22):
ç)(6'"(î) = -j- fp{a„3), et par suite:
Je dis maintenant que tous les nombres
1, flfj, «2, fljj, . . . «2^-1
sont inégaux entre eux. En effet soit p. ex. «„ = «„, on aura
Des deux équations (222) et (223) on tire, en éliminant a„,
= à un nombre entier.
f^^^f:": nn trouve mie -
£2 m eîn
Donc en multipliant par t^ + t"; on trouve que — - — -— est entier, et
par suite — -- — , ce qui est impossible, car e est la racine primitive de
«* + /^' et 2m — 2?i est moindre que «* -j- fi^ — 1.
Dons les 2v nombres 1, a, etc. sont différents entre eux et par conséquent, pris dans un ordre différent, ils sont les mêmes que les suivants:
On voit par la formule ç -(*"" (5) = q:^ («„()), que les quantités (220) et (221) coïncident, mais dans un ordre différent.
Maintenant on pourra réso udre l'équation B=0 parfaitement de la même nianière que l'équation (106).
On trouvera (116)
224) (f'^{i'"d)=.±-. l^-j- J-}-9— .^ri^-}-*2e-^"'.<;2>'+ ...-|-*.„,je-'2'-')'».<; ^^ ) ,
où 9 est une racine imaginaire de l'équation 6-'' — 1 = 0, et ?', s^, s^.-.s^y-i seront déterminés par les expressions:
y (?Hh) + e' . 9^(£5) + 0".9^(s'^S)+ . . ■ +0^"'-'> . y^^s'"- . S)
A = ff^ô) + ri^ô) + <f-i,"-ô) + ...-}- cp^i^'-^ô),
qui par le procédé pag. 185, 184, 183 peuvent être exprimées rationnellement par les coefilciens de l'équation R = 0, qui seront de la forme A + ^^ oii A et B sont des nombres rationnels. Donc la formule (224) donne l'expression algébrique de toutes les racines de l'équation ^ = 0, et par conséquent les valeurs des fonctions
Ayant trouvé par ce qui précède la valeur de gr ( '"".) , on en tirera
celle de la fonction
comme il suit.
La valeur de cp ( '"" .) donnera celle de a» (-^^.) en changeant seulement
^ Va + ^1/ ^ Va— piV °
î en — i. De là on tire la valeur de <f (-'^.+ -^^.) par la formule (10), savoir 226) ('" I •'»W''(^^^['~'''^^-^]'"''^^^'^['~'''^S')]
or
mo , ma 2ma(i> 2OTau
a + pj ' a— ^/ a2+^* 4v + l' donc on aura la valeur de la fonction
4^)- Maintenant pour avoir la valeur de (p (7^ ) où 71 a une valeur déterminée
quelconque, il suffit de déterminer m et t de la manière que
n = 2nut — (4j' + 1)^, ce qui est toujours possible, en remarquant que les deux nombres 2a et4»'-j-l sont premiers entre eux; car alors on obtiendra
En posant p. ex. w:^ 1, on aura la valeur de (p ( " ).
Le cas, où ^v -\- \ a la forme l-)-2", est le plus remarqual)le; car alors l'expression de y i " jne contient que des racines carrées. En effet on a
dans ce cas 2j' = 2""', et par suite la formule (224) fait voir qu'on peut déduire ffit'^à) de 9 et v en extrayant seulement des racines carrées. Or v est une fonction rationnelle de 0 et de Y{ — 1)? et 9 est déterminée par l'équation 9* =1, d'où l'on tire 9 par des racines carrées; donc on trouve aussi v et la fonction
Connaissant de cette manière y ( "*" .), on aura de même * (-^"V-)^* ''^
Va + p<'/ V a — p»/
là, par la formule (22()) la valeur de cp (~~;J=(f(^) , en extrayant des racines carrées.
Un autre cas, où la valeur de ? T— j peut être déterminée par des racines carrées est celui où n est une puissance de 2, comme nous l'avons vu No. 13. Donc on connaît les fonctions:
où dans la dernière 1 -|- 2" est un nombre premier.
Soient maintenant 1 + 2", 1 + 2"S 1 + 2"*, ... 1 + 2> plusieurs nombres premiers^ on connaît les fonctions:
et de là la fonction:
2"(l+2"i) (l+2"2) . . . (l+2".«)/ ' OÙ m' est un nombre entier, qui, à cause des indéterminés m, m^, m^, ...iHu peut avoir une valeur quelconque. On peut donc établir le théorème suivant:
"La valeur de la fonction q) ( — J peut être exprimée par des racines carrées
"toutes les fois que n est un nombre de la forme 2" ou 1 -j- 2", le dernier "nombre étant premier, ou même un produit de plusieurs nombres de ces deux formes."
En appliquant ce qui précède à la lemniscate, on parviendi'a au théorème énoncé No. 22.
Soit l'arc JJ/=«, la corde AM^x et ^^
l'angle MAP = 9, on aura / ^\ A
, dx
En effet, l'équation polaire de la lemniscate est
X = ]/(cos 29),
d'où
rfj:V(cos29)
sin 29
et rfa* = rfx^+.r'.rf6%
donc
V ' (sin 2ô)* / '
mais de x =]/(cos 20) on tire cos 29=a;*, 008^^29 = a;*, 1 — cos^29=l — x*
■=. (sin 29)*, donc
da- = dx- (l 4- ,-^)= ,-^ , \ ' 1 — a:*/ 1— X*'
et par suite
V^(l— 0-*) et a: = (p{a).
Si l'on suppose x=l, on aura a = A3IB = "^. Donc la circonférence AMBN=- (û. Supposons maintenant qu'il s'agit de diviser cette circonférence en 71 parties égales, et soit l'arc A3I = — - A3IBN= — «, on aura
A3I=cp("^^
Donc on aura la corde, et par suite le m°^ point de division, si l'on connaît la fonction 93 (— j ; or c'est ce qui a toujours lieu lorsque n est décom-
posable en nombres premiers de la forme 2 et 1 -|- 2", comme nous l'avons vu dans le no. précédent. Donc dans ce cas on peut construire les points de division à l'aide de la règle et du compas seulement, ou ce qui revient au même, par l'intersection de lignes droites et de cercles.
