IX

Usage des fonctions ç, /, F dans la transformation des fonctions elliptiques.

M. Legendre a fait voir dans ses exercices de cale, int., comment l'intégrale / ? r-5 flU', en faisant sinm = ;r, se change en

* ./ V/(l — c'sin^ç) ' 1 ' f y o

— — , peut être transformée en d'autres intégrales de la même

forme, avec un module différent. Je suis parvenu à généraliser cette théorie par le théorème suivant:

Si l'on désigne par a la quantité ('" + !^)" + ('»-|^)t»' q^ ^^ ^^^-^^ y^ des deux nombres entiers ;h et /< est premier avec 2n-\- 1, on aura:

où

(H-e2c2ç2g.x2) (l+e^c^çîSg.j;*) . . . (l+eV^ç'^ng. jr^)»

« = /(9?a . (f2a . çSa . . . (fiiaY,

f étant une indéterminée, de sorte qu'il n'existe qu'une seule relation entre les quantités c^, e^, c, e.

Les quantités e* et c" pourront être positives ou négatives.

Par ce théorème on peut trouver une infinité de transformations différentes entre elles et de celles de 31. Legerub'e.

Soient vi et /< deux nombres entiers, et faisons pour abréger:

^^^^ "— 2^Ti '

où l'on suppose que l'un des deux nombres m, /t soit premier avec 2n-{- i.

En désignant par 9 une quantité quelconque, il viendra, en vertu de (22)

En mettant 9 — na au lieu de 9, on obtiendra:

250) y (9 + («+!)«) = 9) (9 — wa).

Cela posé, considérons l'expression suivante 231) ,;p^(9) = qp(9)-fqp(9 + «)-|-9j(9 + 2«)+...+ (;p(9 + ««) + ... + .]p(9 + 2««).

En mettant ^-\-a au lieu de 9, il viendra à cause de l'équation (229): 252) y^(0 + „)^<^^(9),

donc si m désigne un nombre entier quelconque:

233) (p,{^-i-ma) = (f,{0).

En vertu de Téquation (250) on peut écrire l'expression de <]Pi(9), comme il suit:

23i) yi(6)=ff (e) + <f (O + f^ + fC^ — «) + 'P(0 + 2«) + </'(9 — 2«)+ • • •

• • • +(p{^ + nci)-j-(p{'i — na), c'est-à-dire, en vertu de la formule

, 299 ./«.Fa I 299./2a.l''2a ■ , ^ç^.fna.Fnci.

— ^ "i fi72c2(p2(x.(p26~f'l+e2c2ç22a.92e~'~' ' ' ~^ l+e^c^i^-hia.(fH'

En faisant 96 := a-, ff j(9) devient une fonction rationnelle de x. En la

désignant par ip{x), on ama:

, . ^^ I 2/a..Pa ^ I 2fnoL.Fn7. \

'iob) i/'(.r) — .r . ^1 -|- ;i^g2^2ç2(^.j,a -r • • • -r i + e2c2ç2«a. JV •

Maintenant soit s une quantité quelconque, je dis qu'on aura

o-^N ^-r y """çT/V ~cp(s + â)A ~9(£+2a)/"'\ ~ 9(£+2«a)/

En effet il est clair que la fonction

238) R = (l ^)(l + eVVa.:r^)...(l+eVV«a.a:')

sera entière et du degré 2n -\- 1; mais en faisant x=qe, y^x deviendra =7),*, et par suite R se réduira à zéro pour cette valeur de x. t)e même en faisant a; z= q>{€ -\- mu), où m est entier, on aura rpx = (pi{s-\-ma); c'est à dire, en

vertu de (233), tf .r = ^jf. Donc 1 ^ = 0, et par conséquent x^(f{e-\-nm)

sera une racine de l'équation ^ = 0, quel que soit le nombre entier m. Or généralement toutes les quantités

239) <ipf, fp{t + a), (p{6 + 2fO, •••?(« + 2?ia) sont différentes entre elles. En effet si l'on avait

(f{£-{-7n'c() = (f{e-\-n'ce), il en suivrait en vertu de (31)

t + m'a = (— 1)^+^' . (é 4- /«'«) -f kco + k'ai,

d'où

k -\-k' = Zk", ' k =k"-\-I, k' = k' — J, {m'—fi')a={k'<-{-f)oi + ik'' — f}ai.

De l;i, iMi subsUtuaiK la valeur de cc= (>» + 1^)» + (»' - P-)"> (,i. lire

(;„. ,r) (m — ,,) = (2// + 1) (k" — I) et

m' — n' = {2ti-\-l) . — = {2u-\-\) — ,

711 [JL

équation contradietoire, parceque nous avons supposé que l'un des deux iionibfes m et /t soit premier avec 2« -f- 1, et ?«' — ^i' est toujours moindre que 2n -f- 1. Maintenant les 2w + 1 quantités (25Î)) étant différentes entre elles, elles sont précisément les 2m + 1 racines de l'équation /? = 0. Donc ou a

^ \ çs/V ç(£+a)/ V ç(ï+2«a)/'

OÙ A est un coefficient constant, qu'on trouvera eu attribuant à x une valeur particulière; p. ex. en faisant .r = 0, on a Iî=z A; or l'équiition (258) donne pour x = 0: li = 1, donc A = 1, et par conséquent l'éipiation (257) a lieu. Eu multipliant cette équation par cpe et faisant ensuite i = 0, il viendra:

2 i n w(v) = ax ~?^^^ ~^^)"\ ~y2»a/

où f) est la valeur de — pour f = 0. En faisant 6 = 0, après avoir divisé

par 7^0, on trouve l'expression suivante de cette constante:

242) .y=l + 2/"«.F« + 2/'2«.F2« + ... + 2/>/«.F««. En faisant dans (250) 0 = iia — (/«' -\- 1)«, on trouve

Kf{%nu — m'a) = f/( — {»i'-\- l)a) = — (fi»i'-\- 1)«. Donc on peut écrire l'expression de i/'.r comme il suit:

245) x^'x = ff.x.

(l+e-c292a.x2)(l+e-^c2cp22a.jr2)...(l+e2c2(p2«a.x-^)

Maintenant faisons dans l'expression de 1 '^ { = --. En supposant

pour abréger

244) p = (l + eV9)^a.a.--)(l + eVg)*2«..r-')...(l+eVç.^w«.a;^), on aura

or, en faisant dans (250.)

on a

donc en vertu de la formule (voy. 17.):

il viendra:

Cette équation fait voir qu'on peut écrire l'expression de 1 — comme

il suit:' ^^2

^""'"'r ^(1^)1 i'~,"(f:^)rT~,"(ït;ôl '^'

En mettant — x au lieu de -j-.r, on aura scmblablement

Ml+r:r).{l + -^!"fl+-^r...fl+

Donc si l'on fait

247) ij^=k.xi'x, f,=

^•Çi^

OH ^ est indéterniiiié, et

on aura:

De la même maiiiôrc, en faisant

^••9i(|-0' on trouvera ces deux écpiations:

2.>2) l+eiî-y=(l— e/.r).*^; l + <',/y=(l + cia;). — . Les équations (249) et (2o2) donneront:

(l-r?/) = (l r^O/-!^^ (l+^y) = (l + ,'^^"-).£!lI

et par consé(juent:

253) K((l - '1^^) (1 + ey))=± ^K((l - r^r"-) (1 + e\v^)).

Maintenant l'expression de y donne </^ = — . r/av, où P sera une fonction en-

?" tière de x du degré 4wj donc:

dy , P dx

Or je dis que la fonction se réduira à une quantité constante. En effet on a

Pds eu différentiaut, et mettant pour dy sa valeur — ^, on aura

On voit de là que P est divisible par t. De la même manière on prouvera que P est divisible par les trois fonctions t^, Sj, s^. Donc si deux quelconques des quatre fonctions t, t^, s, s^ n'ont point de facteur commun, P sera divisible par leur produit. Or c'est ce qu'on peut voir aisément à l'aide des

expressions de ces fonctions. Donc est une fonction entière de x. Or

P est du degré 4?^; et chacune des fonctions t, t^, s, s^ est du degré w. Donc

il est prouvé, que est une quantité constante. En la désignant par a,

tt mSS *

il viendra

Pour déterminer a il suffit d'attribuer à x une valeur particulière. En faisant p. ex. x=o, on aui'a

Or en différentiant l'expression de i/^a:, et faisant ensuite xr=o, il viendra ip'x = g, donc

On peut donner d'autres formes plus simples aux expressions de c^, e^, g, a, et , qui mettront en évidence plusieurs propriétés remarquables de ces quantités. Par la formule (240) on voit que le coefficient de .r'"+^ dans la fonction

R est ~ — ; — ^^ — r; or d'après (238.) et (245.) le même coefficient

ç£.ç(E+a)...ç(£+2wa)' r \ / v /

sera

ç,e (ça.o2a . . . ç«a)*' donc en remarquant que ^ = 1 :

En faisant dans (256.), (245.) x z= i, après avoir divisé par x, on obtien-

dra deux valeurs de ^, savoir

1 et

(ec)"^"(9a.92a . . . ç«a)*'

donc, en les égalant:

2o6) S = {— !)"• i^f)'" («P" -f 2« . . . (fnu)",

et par conséquent:

2o7) (f^{t)=z{ecY''{(pa.(p2a...(pnaf(ps.(p{e-\-u).(p(t-{-2a)...(f{i-\-2nc() = ^{é)-i-ifit + a)+cfie-\-2a)+ . . . +(fie-{-2ncc). Cette équation exprime une propriété remarquable de la fonction çi. En y posant f = -^ et f = Y '» ou obtiendra

|V(f)=îj7=w-^"'a)-'(t +«)-^(î +^"«).

oii l'on a fait pour abréger

2o9) d=(fa. f2ii . ifSu . ■ • (fna.

En remarquant que

•P (1 + (2« - ni')a) = cf(l- + {o>' + 1)«) et

9>(|-^+ (2«- »'')«) = ? (|^+ ('«'+!)«)' en faisant

on tire de ces équations

iT=±(Wî'+«)-^(i'+^«)--*(î'+''«)r-

Multipliant et remarquant qu'on a (18)

on obtiendi'a + -=■, ' "r, ,

' Ci^i (ef)2'>+i

do il

262) Ti^i = + ^./ ^ •

De même en divisant on obtiendra:

{ + '^=i-ir-~ierr-[f{^ +«).<,(! +2«) ...,.(|- +..)]*,

Précédemment nous avons trouvé a=zk.g, et ff=z[ — i)".{ecy"d*, donc

Egalement nous avons y = k.i{.>{x), donc en vertu de (243)

O6o^ y = (—n"f r (9''°^-^') (y'2«— ^") (9''3a-x') . . . (y^wg— r^) " } J ^ > ' '' (l + e^c^^^a.x^) (l+e2c2(p22a.x2) . . . (l + e^c^ç^wa.j^^)

Donc les valeurs précédentes de c^, e^, a et y donneront :

Of»/î\ ^ i «<^J

et de là

^^') 7^r(i-c?«--')(i+e:w"-)l iVi/[(i-c'^x2

Les formules (261) donnent les valeurs des quantités q et e^, exprimées en c et e à l'aide de la fonction 9. Or on peut aussi les déterminer à l'aide d'une équation algébrique. En effet on a

WT+»)]'=M^y=i-'ïï

donc il est clair que les valeurs de ^j et e^ pourront être exprimées en fonctions rationnelles et symétriques des quantités ça, (f2c(, . . . (f?iu. Donc si 2n-\- 1 est un nombre premier, on peut, en vertu de ce qu'on a vu §. V., déterminer c^ et e^ à l'aide d'une équation algébrique du (2m + 2)'"*= degré. On peut encore démontrer que la même cliose aura lieu dans le cas où 2n-{-l est un nombre composé. Alors on peut même déterminer r^ et e^ l'aide d'une équation d'uti degré moindre que 2n + 2.

Donc on aura un certain nombre de transformations correspondantes pour chaque valeur de 2w -f- 1.

On a supposé dans ce f{ui précède que e et r soient des quantités réelles et positives; mais ayant exprimé fj et i\ en e et c par des équations algébriques, il est clair que la formule (266) aura lieu également en donnant à e et c des valeurs réelles et imaginaires quelconques. Dans le cas ou e*, c^ sont réelles, on peut même se servir des expressions (261), (26o). Mais alors (0 et a ne seront pas toujours des quantités réelles. Au reste l'ime des quantités c^ et é*!, à cause de l'indéterminée f, peut être prise à volonté; seulement il faut excepter les valeurs zéro et l'infini.

Si l'on suppose c et e réels et 2n -j- 1 premier, les valeurs de c^ et e^ seront imaginaires, excepté deux d'entre elles, dont l'une répond à

et l'autre à

2ULÎ3/

A. Supposons d'abord

2«+l Dans ce cas on aura (261):

^=74n2+2«Tî)-n2-+2-2^)---'^U+^'-2^JJ

Soit fi.2m = {2n-\-i)t + a,„, où i est entier et a,,, entier positif, et moindre

2« + l que —^—, on aura

Or les nombres Oy, a.^, fi^ • • • fi„ seront les mêmes que les suivants 1, 2, 3,...n; mais dans un ordre diflerent; donc l'expression de — pourra être mise sous la forme.

' c, cL^V2« + l 2/^V272 + l 2/ ' V2«+l 2/J

De même l'équation (265) donnera

Soit maintenant c ^1, f i = 1, on aura, en posant + ( — 1)" = 1 :

2^2) « = /■ K2;^i)-^'(2lfJ-K2^)]"^(-i)"'

^V2« + 1/ ^ V2?/ + 1/ ■ V2// + 1/ ( r— iv

l^V2« + l 2/ ^V2w + 1 2/ ^\2« + l 2/; Si l'on suppose f moindre que l'unité ou égale à l'unité, e^ sera toujours moindre que e, et lorsque 2m -{- 1 est un très grand nombre, e^ sera extrêmement petit

Le signe du second membre de l'équation (270) dépend de la grandeur de X.

Il pourra être jugé aisément comme il suit. On a par ce qui précède.

En supposant x réel, q"^ sera toujours fini et positif, de même que Y(i -X- e^y^) et 1/(1 + e^x^). Donc le signe du second membre de léquation est le même que celui de la quantité

maintenant on a

/a . , "\ i Fa. .„

donc

donc, en remarquant que « est réel dans le cas que nous considérons, on voit que s.s^ sera toujours une quantité positive; or t.t^ est réel, donc la quantité

l/rinf- j sera positive également, et par conséquent le signe, dont il s'agit,

sera le même, que celui de la quantité tt^. 11 n'est pas difficile de voir qu'en

vertu de (248) et en mettant pour « sa valeur ,^^ , on aura

quantité qui est positive depuis .r r= 0 justpi'à a- = y \îir~\ ' t) ' "•^'S'''^'^'^ '^^' puis x=(f (^ . |-) jusqu à x = ii^ (^^ . -|), positive depuis

x=(p (. ^ ■ ^) jusqu'à x = (f(- — -• ^J etc. Si x est plus grand que

l'unité, tt^ aura toujours le même signe, savoir ( — 1)".

Donc, dans ce cas l'équation (270) donnera, en intégrant et comnien(;ant l'intégrale par x= l:

^^"'^^ fr v/[(2/^— l)(l+e?i/'^)]^"'J, ^[(^^-I)(l+e2x2)]* Si la valeur de x est moindre que l'unité, on aura

275) /°- -^ = a f - h Const.

^ Jv^[(i-»")(i+eî^")] y^/[(l-x^)(l+e^x•^)]^

entre les limites

276) — y ^, [;(,^.) (l+qi,*)]= Vv/[(l-^"-) (1+e^x^)] "^ ^'"'^*'

entre les limites .r = <rfi^. -^) et .r = a f"*!^ . iiV

Si p. ex. on suppose .v renfermé entre les limites on aura, en intégrant et commen(;ant linlégrale par x z=z 0,

En faisant x = (f ( " , ^ ), on aura v^^( — 1)", et par suite: \ (2« + l).2/ ^ V / ' I

y*' % «•" / IXn

0 v/L(l-ï'^)(l+<^'^)] 2(2« + l) ^ '' d'où

Cette expression de a est très commode pour le calcul. Eu négligeant les quantités de l'ordre e"^^, on obtiendra

En substituant et négligeant toujours e'^ la formule (277) donnera

y»' dx (— l)"w • / \

B. Dans le cas « = —!—-, on trouvera de la même manière la formule

^ Jo v/[(l-x^-)(l+e2x2)] J„ v/[(t-ï,-^)(l+e;y^:

r / 1 a \ / 2 m \ / 3 t3 \ /2m es M'^'

V\2n^- ¥V-n2^rTÏ' 2-Vn2;;r^- YV-n2;rn- 2"VJ

La formule précédente a lieu . pour toutes les valeurs de x moindres que l'unité.

Pour avoir une théorie complrte de la transformation des fonctions elliptiques, il faudrait connaître toutes les transformations possibles; or je suis parvenu h démontrer, qu'on les obtient toutes en combinant celle de M. Legendre avec celles, contenues dans la fonnule ci-dessus, même en cherchant la relation la plus générale entre un nombre quelconque de fonctions eltiptiqnes.

Ce théorème dont les conséquences embrassent presque toute la théorie des fonctions elliptiques, m'a conduit à u» très grand nombre de belles propriétés de ces fonctions.

Sur l'intégration de l'équation séparée dy dx

On peut toujours comme on sait présenter l'intégrale complète de cette équation sous__ une forme algébrique, lorsque la quantité constante a est un nombre rationnel, quelle que soit d'ailleurs la valeur léelle ou imaginaire de /«. Mais si a n'est pas un nombre rationnel, cela n'a pas lieu. A cet égard je suis parvenu aux théorèmes suivants:

Théorème I. En supposant a réel, et l'équation intégrable algébriquement, il faut nécessairement que a soit un nombre rationnel.

Théorème II. En supposant a inia(ji)iaire, et Téquation intégrable alyébriquementj il faut nécessairement que a soit de la forme »< + 1^ — ^-Y^^h où m et ?î sont des nombres rationnels. Dans ce cas la quantité fi n'est pas arbitraire; il faut qu'elle satisfasse à une équation qui a une infmité de racines réelles et imaginaires. Chaque valeur de /i satisfait à la question.

La Démonstration de ces théon-nies fait partie d'une théorie très étendue des fonctions elliptiques, dont je m'occupe actuellement, et qui paraîtra aussitôt qui! me sera possible. Je me borne ici à considérer un cas particulier, qu'on peut tirer des formules du paragraphe précédent.

Si dans la formule (270) on pose

et eyi à la place de y, il viendra ,

282) '^^ =aV—\.~ —^

e est déterminé par l'équation (260') qui deviendra j et a par

1^ rV2« + l 2/ A2«+l 2/'

Donc on connaît une intégrale particulit're de l'équation (282) et par conséquent on en pourra trouver l'intégrale complète.

Dans le cas que nous considérons, la valeur de a est |/(2« -|- 1); ce qu'on démontrera aisément comme il suit:

En mettant dans l'équation (282) ij = zY — 15 et intégrant entre les limites zéro et a i — - — ), il viendra

XS /»e dz o

en remarquant que les limites de z seront zéro et — En faisant de même

x-=zy^ — 1, et intégrant entre les limites zéro et —, on trouvera que les limites de y seront zéro et l'unité et par conséquent

y»i dy 0 pe ds

dv (ù /*e ds O

Donc on a

ts au

2 2«+l 2 et

d'où l'on tire

286) ^ = y(2îi-\-l).

Donc l'équation diflférentielle deviendra:

-) V/[(l— ^*)(l+eV)]~' "~^-l^(2"+^)- v'[(l x2)(l+e2x2)]"

Pour donner un exemple, considérons le cas où w= 1 et ?j = 2. ^. Si «= 1, on aura:

Ç2 /'iiV.ra

e est déterminé par l'équation:

On a

donc

Maintenant on trouvera en combinant ces équations et remettant pour « sa valeur ]/3:

et par suite 1 = 1- ,

delà e- — 2l/3.e=l

et e =1/3 + 2.

Ayant trouvé e, on aura

Donc on aura léquation différentielle :

OjiOA ^ 1/ 'i ^f

qui sera satisfaite par l'intégrale algébrique :

Si l'on pose .vV{2—V3) au lieu de .r, et y ]/(2 — 1/3) . j/— 1 au lieu de y, on obtiendra l'équation:

QQO\ ^ll 1/ ^ ^ .

qui sera s.itisfaite par

l + V'S.x-i B. Si w=:2, on aura léquation différentielle

v/[(l-i/-)(l + eV-)] '^ V[(l— i^-')a + e-x-^)]'

On a

Aï)

En multipliant ces valeurs de '- — et entre elles, et remarquant que

on obtiendra

Pz=

OÙ l'on a fait pour abréger

Cela posé, les équations (290, 291) donneront

donc, en substituant

1 y/S 1 e3~ ça 1 i ev/5

et de là

Ve =

1— ei/5

e^—1 — {5 + 2Vô)e{e — 1) = 0.

Les racines de cette équation sont

e=l, e = 2 -\-Y 5 — 2V {%-\-VS), e = 2 + ^5 + 2|/(2+K5). La dernière de ces racines

or (

n'-ponil à la ({uostion, car rrquation

^ \10^ ^ VIO/ l'ait voir que e doit être plus giau-1 que lunité. Connaissant e, on trouve la

valeur tles quantités (f T" j et 7^ f ""j comme il suit.

Xous avons

n faisant 7 (^J = u et cf r "j = ^, on aura

or nous avons trouvé plus haut, f(-/^ = — , donc:

Donc on connaît a^.,i* et «^ + ri^ et par suite a^ et p^ par la résolution d'une équation du second degré. On a donc aussi la valeur de 1/, qui satisfait à léquation:

donc

Si Ton pose — au lieu de x, et ^ "~ au lieu de y, on obtiendra l'équation

i de a-, et ^ au lieu de y, on 0

Dans les deux cas que nous venons de considérer, il n'était pas difficile de trouver la valeur de la quantité e, mais la valeur de n étant plus grande, on

parviendra à des équations algébriques, qui peut être ne seront pas résolubles algébriquement.

Néanmoins on peut dans tous les cas exprimer la valeur de e par des séries, et comme leur forme est très remarquable, je vais les rapporter ici.

En faisant dans la formule (206.) u-=l, on aura, en remarquant que f=l, 294) .„ = 4<^ + ^ + ^ +...),

OÙ

En faisant de même dans la formule (204.); f< = ^/, on aura «/"(-^^O

j > — X TC I . . TU .1

= ;f = A2 = cos — -f- « sin — = ?, donc

c'est-à-dire

où

Maintenant dans le cas que nous considérons, on a

-^==K(2«+1), et par conséquent

Cette formule donne la valeur de

'^~ Jo v/Ki— i-^)(l + e2.r^)]'

Ensuite on aura la valeur de e par la formule (294) qui, en sul)stituant pour

ç sa valeur h'" * =//y<*"+" *, donne

206) e = ^ JJ! 1 ^ f- .

A est le nombre 2,7182818 . . .

Addition au mèmoii'e précédent.

Ayant terminé le mémoire précédent sur les fonctions elliptiques, une note sur les mêmes fonctions par Mr. C. G. T. Jacohi, insérée dans le No. 123. année 1827. du recueil de Mr. Schumacher, qui a pour titre " Astronomische Nachi'ichten" m'est venu sous les yeux. Mr. Jacohi donne le théorème suivant:

Soit p un nombre impair et 6' un angle tel quon ait, en désignant l'intégrale rf9

/(l-Â-^sia-^è) P^"'^^ ^^ ^ jusqu'à 6, par F (A-,9):

et en général 9'"^ un angle tel, qu'on ait

soit déterminé encore l'angle vj par l'équation

tang (45"-^u) = ^iM(^:^.^-"g^(^'" + ^)...^^"g^(^^'"'^±^ tang (45»+le), '^ 2^ tang>(9'+6)tangl(5"'-6) tangKO^^-'^+ô) " ^

on aura:

Il faut admettre le signe supérieur si p est de la forme ^nA^\, et le signe

inférieur, si p est de la forme 4?? — 1. U' doit être pris entre — ,-r et-— -:t,

si 9 tombe entre 0^"^ et ô^"^^'. Les constantes // et A se déterminent de différentes manières. On a p. ex.

2(cosec6' — cosec6"'+. . .-f-cosec9^ ' ii)

;. == 2A-,(/ (sin9 — sin9"' + . . . + sin g'^-^'i i). Ce théorème élégant que M. Jacohi donne sans démonstration est contenu comme cas particulier dans la formule (227) du mémoire précédent, et au

fond il est le même que celui de la formule (270).

Nous allons démontrer cela:

En faisant dans l'intégrale

y»' dx

0 /[(1-^2)(1-A2x2)]' X = sin 0, on aura

/•O rfô

-k'^smH)y mais

donc:

a = i!'(^,9) donne sin9 = 9)«.

Si 9 = 90°, on a a; = 1, donc

Donc en faisant 9 = 9*^"^ on aura

F{k, 9('")) == ^ . :^ et sin9("') = q>(~- %\ p '2 \p 2/

Cela posé, faisons dans (269' et 270):

el=-X^ e^ = — F, /'=^^,

a; = { — 1)". sin9, y = sm\ii, 2?i-\-i =p, il viendra:

où les quantités //, A, ip sont déterminés par les équations

l = k^"+\ (sin 9' . sin 9'" ... sin 9^^"-*^)%

(sinO' si ^=1

( sin ô" SI

ine""...siiiô^^"^ ) '

2) sm -u; = -—- . Sin 9 i '-^ '—^ ,„ , '

VA (1— t2siu29»si„2o) (l A-2sin26""sin26) . . . (1 — Jl-2sin2e^^"-'sin2ô)

Nous supposons k moindre que l'unité, car dans le cas contraire w sera une

quantité imaginaire.

Cela posé, considérons les équations (249). En remarquant que c^ = c

= 1, on en tire

c'est-à-dire en faisant « = et ra = — 1 :

Maintenant on a

a;=:(— l)".sin9, et (p {^^- |-) = sinôH

donc en substituant:

-|//1— sinùN -|//1— (— l)".sinO\ sin9'— sinO sinO^^+sinO ginO^''"~'^ + (— l)'>sinO

y \L+sia<])/ y Vl + (— l)''.siu9/ ' sin9' +siaO" sine'"— sinO" gin 6 *^''""^ > ()insi„ q'

et de là

tang (45" — ^if)

^ tangK0'-6) tangK9"' + 0) tang^ÇS^""-') +(-l)"0] ,^.0 / . sn.A

tangos' +6) tangi(ô"'-e) tang^[ô^"''-'>-(-l)»e] ^ ^ ' ^'

C'est précisément la formule de Mr. Jacobi.

Dans la formule (1), on peut toujours supposer le second membre positif. En effet, en différentiant, on aura

— '^ ^ \/(l— A-2sia2S)

En supposant 9 toujours croissant, le second membre sera toujours positif. Donc en déterminant la valeur 'ip de sorte quelle soit croissante et décroissanté en même temps avec 9, on doit prendre le signe supérieur. Ou a donc

y» rfo /» d»]^

ou bien

F(A-,9) = //.F(;.,tf').

De la remarque que 1/» doit être croissant et décroissant en même temps avec ^, et en ayant égard à la formule (2), on tirera aisément la conséquence que \p

doit tomber entre -^ -x et ^-jtl n, si 6 tombe entre Ô^""^ et &("^i>.

Ouant aux quantités l et ix, il est évident qu'elles ont nécessairement les mêmes valeurs que celles de Mr. Jacobl Mais les expressions cjue j'ai données seront plus commodes pour l'application, et font voir clairement que A est extrêmement petit, si n est un peu grand. Au reste ou peut sans difQculté démontrer leur identité à l'aide de la formule (2o7).

Solulion d'un problème général roncernant la transformation des

fondions elliptiques.

if ans le Nr. 127 du journal d'astronomie de il/?'. Schumacher (Astronomische Naclirichtcn) Mr. Jacobi démontre un théorème très élégant relatif à la transformation des fonctions elliptiques. Ce théorème est un cas particulier d'un autre plus général aucjuel je suis parvenu depuis longtemps sans connaître le mémoire de Mr. Jacobi. On en trouve la démonstration dans le mémoire précédent. 3Iais on peut envisager cette théorie sous un point de vue beaucoup plus général en se proposant comme un problème d'analyse indéterminée de trouver toutes les transformations possibles d'une fonction clli[»ticjue qui peuvent s'efl'ectuer d'une certaine manière. Je suis parvenu à résoudre complètement un grand nombre de problèmes de cette espèce. Parmi eux est le suivant, qui est d'une grande importance dans la théorie des fonctions elliptiques: ,

"Trouver tous les cas possibles dans lesquels on pourra satisfaire à l'équa-

"tion diflérentielle:

"en mettant pour y une fonction algébrique de x, rationnelle ou irrationnelle." Ce problème vu la généralité de la fonction y paraît au premier coup d'oeil bien difficil, mais on peut le ramener au cas ou Ton suppose y rationnelle. En effet on peut démontrer que si l'équation (1) a lieu pour une valeur iri'ationnelle de y, on en pourra toujours déduire une autre de la même forme dans laquelle y est rationnelle en changeant convenablement le coefficient a, les quantités Cj, e„ c, e restant les mêmes. La méthode qui s'offre d'abord pour résoudre le problème dans le cas où y est rationnelle est celle des coefficiens indéterminés; or on serait bientôt fatigué à cause de l'extrême complication des équations à satisfaire.

Je crois donc que le procédé suivant, qui conduit de la manière la plus simple

à une solution complète, doit peut-être mériter l'attention des géomètres. —

En faisant:

"^ Jo v/[(l-c2x2)(l e2^-2)]

la quantité x sera une certaine fonction de 6; nous la désignerons par /.9. De même nous désignerons par — et ^ les valeurs de 9 qui répondent respective-

ment à a: =z— et à a;= — ; et par A(0) la fonction ]/((!— <^V)(1 — e^x*)). Cela posé on pourra démontrer les théorèmes suivants:

Théorème I. En désignant pai- ô et G' deux quantités quelconques on aura toujours

(Voy. Exercices de calcul int. T.I. pag.2ô)

Théorème II. On satisfait de la manière la plus générale :» l'équation

;.6' = A9 en prenant

e'=( — l)'"+"''.9 + ?wco + »w'a)'

où m et m' sont des nombres entiers quelconques positifs ou négatifs. On aura donc

4) ;.((— 1)'"+'" . 9 -f- vm + ïrt'cû') = A9.

Ce théorème a lieu généralement quelles que soient les quantités e et c, réelles ou imaginaires. Je l'ai démontré pour le cas où e* est négatif et c* positif dans le mémoire précédent (voy. p. 154). Les quantités w, w' sont toujours dans un rapport imaginaire. Elles jouent d'ailleurs le même rôle dans la théorie des fonctions elliptiques que le nombre tt dans celle des fonctions circulaires. —

A l'aide de ces deux théorèmes nous allons voir comment on pourra déterminer facilement l'expression générale de y, et les valeurs qui résulteront pour fj et e^.

Soit

la fonction rationnelle cherchée. — Si l'on considère x comme fonction de y, sa valeur sera déterminée par l'équation (5), qui aura un certain nombre de

racines. Or il existe entre ces racines des relations qui nous conduiront à l'expression de •«f'(a:).

Si l'équation (o) passe le premier degré par rapport à x, désignons par aTj, une autre racine et par Oj la valeur correspondante de 9 en sorte que

En vertu de (2) l'équation (1) deviendra en désignant le radical du premier membre par \^R

+ orf9-

En changeant x en x^ ou ce qui revient au même 6 en 9, , la valeur de y reste

la même et par conséquent --^ reste la même ou se change en ^. On

aura donc

et par suite: rf9i=+rf9, d'où l'on tire en intégrant 9i = « + e, « étant une quantité indépendante de 9. On aura par conséquent ar^ = À (« -j- 9). Il sufTit de prendre 9 avec le signe -f- car on a d'après la formule (4) en y faisant w = l, ?«' = 0, /.9=A(m — 0) et par conséquent /.(« — 9) = /. (w — u-\-fi), où (0 — « est une nouvelle constante. On pourra donc faire :rj=:/.(9-j-«)- ^^ a ainsi établi ce théorème.

Théorème 111. Si une racine de l'équation y^y^{pc) est représentée par "^9, une autre racine quelconque sera de la forme /■(9-}-«) où « est une (pian- "tité constante."

Si l'on pouvait parvenir à trouver toutes les valeurs de «, rien ne serait plus facile que de déterminer ensuite celle de y. Or c'est cela que nous allons faire à l'aide du Théorème IL Les quantités /9 et /.(O -f- «) étant des racines on aura à la fois:

équation qui doit avoir lieu pour une valeur quelconque de 9. On en tire en mettant au lieu de 9 successivement 9 + f<, 9 +2«,... 9 -]-/»:«:

donc on aura

y=v(A(9 + A-«)) k désignant un nombre entier quelconque. On voit par là que non seulement /.(9 + «) mais toute quantité de la forme /,{h-\-ka) sera une racine de l'équa-

tioii ij=\p{x). Or k pouvant avoii- une infinité de valeurs différentes il faut nécessairement que plusieurs des (juantités /.(0 + M soient égales pour des valeur différentes de k, car l'équation y = if (j;) n'a qu'un nombre limité de racines. Soit donc l{h-{-ku)z=.).{^-{-k'a) où nous supposons k plus grand que k'. En mettant 6 — k'u au lieu de e il viendi-a: ).{()-{- {k — A"')«) = Ae ou bien en faisant k — k' = n:

Cette équation détermine la valeur de «, car en vertu du Théorème II on en tire :

e + wa = ( — l)"'+"'.9+mw+m'M' ce qui donne en remarquant que 0 est variable: ( — 1)'"+"';= i et na:=m(ù-]-m'io'; m-\-7n' doit donc être un nombre pair, et alors ou aura:

/J a := — . Cû -f-

ni , m' ,

— et — pouvant désigner des quantités rationnelles queIcon(|ues: on voit donc

que pour que la quantité /'.(0 + «) puisse être racine de l'équation y = i!(.r)en même temps que /.9 il faut que la constante a ait la forme

où /t et /i' sont des quantités rationnelles positives on négatives. La quantité et ayant une telle valeur, l'expression A(0-|-A"«) n'aura qu'un nombre limité de valeurs différentes, car ayant ;.(9-f-««)=/.9 on aura de même /(9 + (?z + l)«) = A(9 + a) ; ;.(9 + {n -f- 2)«) = A(9 + 2«) etc.

Cela posé si le degré de l'équation i/ = xj(.v) surpasse le nombi'e des valeurs inégales de ).{^-\-ka) soit /(9-}-«i) une nouvelle racine différente des racines }.{^-\-k((); on doit avoir de la même manière: a ^ -=2 f( j^io -\- fi\m' et V'0-9) = v(^(9 + ^"i«i)). En mettant ^-\-ka au lieu de 9 il viendra en remarquant que xp (;.(9 -f ka)) = v(;.9) = ij

v/ = V(;.(9 + Â-« + A-,«j)), donc X(^-^ku~\-k^aj) sera une racine quels que soient les nombres entières A" et A-j. Si maintenant le degré de l'équation y = ip^x) surpasse le nombre des valeurs inégales de l'expression /.(9 + A"«+A-j«j); soit ;.(9 -j- «J une nouvelle racine on doit avoir a^^ fi„m -\- f^'^o}' et \j(;.e) = ti'(/(9 -{- ^vJ) ''o» l'on tire en mettant 9 + A:«-|-^-jaj au lieu de 9

^ = T^(;.(9 + ku + ^, «1 + A-./g)

et par conséquent toutes les quantités contenues dans l'expression }.(^-\-ku +^i«i+^2«2) seront des racines, quels que soient les nombres entiers k,k^,k.^.

En continuant ce raisonnement jusqu'à ce qu'on ait épuisé toutes les racines de l'équation j/ = xp{a-), on aura donc le théorème suivant:

Théorème IV. Toutes les racines de l'équation y =z t/'(.r) pourront être représentées par les valeurs inégales de l'expression :

A(9 +A-j«j +^V<2+^a«3 • • • + ^V«y) en donnant à k^, k^, . . . ky toutes les valeurs entières, et les quantités «^aj, ... . . . Uy étant de la forme

//W -|- fl'tù'

où fi et n' sont des quantités rationnelles.

Cela posé désignons ces valeurs de l'expression A(04-A-j«j-j-^2S ~}" • • • . . . + kyUy) par ;.(9), ;.(94-c(i), A(e-j-«,), . . . A(94- a„J et faisons ip{x) = i^, p

et q étant des fonctions entières de x sans diviseur commun, on aura donc:

;; — <?^=^.(:r — /.9)(;r— ;.(0 + «J)(:r— ;.(9 + «J) . . . (^ — ;.(9 + «,)) équation qui à lieu pour une valeur quelconque de .r. A est le coefficient de :»*" dans p — qi/, il est donc de la forme / — gy où f et g sont des constantes. On aui'a par conséquent:

») P-r/y^{f—ff>/){:v->.^){.v — }.{^ + a,))...(.v-}.{0-\-a^,)).

De là on déduira une expression Ae y en 6 en attribuant à x une valeur particulière, ou bien en comparant les coefficiens d'une même puissance de x dans les deux membres. Une telle expression de y contiendra trois quantités constantes inconnues, et le problème se réduit maintenant à trouver tous les cas dans lesquels ces trois quantités pourront être déterminées de la sorte que l'équatiou proposée soit satisfaite. Or nous allons voir tout-à-l'heure que cela sera toujours possible quelles que soient les quantités «j, a^, . . . a^; en déterminant convenablement deux des quantités a, e^, c^. Mais avant de considérer le cas général nous allons commencer par celui où p et q sont du premier degré, car un théorème qiii en résulte nous sera utile pour parvenir à la solution du problème général.

Soit donc

on en tire: