l-f y — g'±<'lf'+(ë±'^lf)^ l ,c^,^g'±^lf' + (g±^lf

— '^ g'+gs ' ^ "^ g'+gT

dij = ^f, ~ S, dx. Par là l'équation (1) deviendra, en substituant:

fg'-f'S ^ àx

^ L\ g^cj' J\ g'-cj' J\ g'+ej' A g'-ej' /J

, (fx

L'on trouve aisément que cette formule ne peut être satisfaite que de l'une des manières suivantes:

10) y=ax, c^^=-, e^^=-.

^ "^ 'l+x\/ec' * 7rt ■ Vv/c+Ze/'

On peut prendre les quantités r, e, Y^c, ye avec cpiel signe qu'on voudra.

Cela posé reprenons l'équation (9). En désignant par /"' et g' les coefficiens de x^~'^ dans p et q on aura:

d'où l'on tire eu faisant pour abréger

15) c;o=/.9+/(e+fO+;.(o + «.)+---+^-(ei-«,.-i),

g' + ^.çO'

équation qui pourra servir à déterminer la fonction y exepté dans le cas oii ç9 se réduit à une quantité constante.

Selon riiypotlièse y doit être une fonction rationnelle de x, donc la fonction rpO le doit être de même. Il faut donc d'abord examiner dans quels cas cela pourra avoir lieu.

Soit A(9-{-«) une quelconque des quantités }.{^-\-c>.^, ^(O + ttj)? • • • il suit de ce qui précède que /.(9-t-A"«) sera de même égale à l'une d'entre elles. Or soit ).{^]-\-n(i)=/.^ ce qui a toujours lieu en déterminant convenablement le nombre entier w, on aura en mettant 9 — « au lieu de 9: /.(9-|-(// — 1)«) :=:/.(9 — u) donc A(9 — a) sera encore contenue parmi les quantités dont il s'agit. De là suit que si A(9 — «J est différente de P.(9-j-«j), la quantité ^.(9 — «^) sera égale à l'une des quantités /.^O-f-f'aX K^-{-"ùi • • • Cherchons donc d'abord les valeurs de a qui donneront /(9 — «) = /.(94-«); c'est-à-dire /.(9 + 2«) = A9. Or selon l'équation (7) on eu tire