III I III
OÙ m-\-m' est. un nombre pair. Eu donnant à m et vV toutes les valeurs entières depuis zéro telles que m-\-ni' soit pair, ).{(l-\-t(.) prendra les valeurs
A(0 + £0 + to'), etc.
mais, d'après le théorème II, il est clair que les seules de ces valeurs qui soient difléreutes entre elles sont celles-ci
donc puisque /,{0-\-a) doit être dillërent de 10; 7.(0 -\- a) ne pourra avoir que l'une de ces trois valeurs
Eu exceptant ces quantités, il répond donc toujours à ).{p-\-u) une autre ).{6 — a). De là il suit qu'on pourra écrire l'expression de cpO comme il suit:
j A(ô4-«^)+;.(6— «j4;.(e+«,)+A(9— aj+...-f;.((y+«„)+/(ô— «„)
où k, k', k" sont égaux à zéro ou à l'unité.
Pour avoir maintenant l'expression de fpO en x il faut recourir à la formule (5), Eu y faisant d'abord 6' = ^ on aura k6' = — donc A(fl') = 0 et par
conséquent :
V — 2/ — c 1— e^V^ô' or A(0) = Y({l — e\i''){l — c^x"-)} donc:
De la même manière on aura eu faisant 6' = ~
'•(»+l)=M/(feS)-
La l"*^ formule donne
donc en mettant W + ^- au lieu de 0,
En multipliant A (d — |-) par ;. (o + if) on aura
d'où l'on tire en mettant 0 -{- ^ et 6 -\- ~ on lieu de 6:
) V ^ 2 ^ 2/ ec XG ec x'
( V ' 2 ^ 2 / ec X(0+o) ec x
La formule (3) donne encore en faisant 0' =. «
20) ;.(a + «) + ;.(6 «) = ^ ^";tf.^ ^ .
1 — e*C''A*a.j:* Par là on voit donc que l'expression de qpô sera toujours une fonction rationnelle de x savoir
21) yfl = (1 — Rr + ^^:=± • - + ^ ^''•^^''^
^ ^ ^ '^ ' ec j: ' 1— e^cn^a.x*
en employant pour abréger le signe de sommation 2.
Cela posé il faut considérer plusieurs cas selon les valeurs différentes de k, k\ k".
Premier cas. Si k z=z k' =.lc" z=:.(i.
Si les trois quantités k, k', k", sont égales à zéro l'expression de (pd deviendra :
22) If o=;j+/.(/?+«,)+;.(ô— «j+;.(o-f«,)4.A(e-«,)+ . . .-j-;.(6-}-«„)+/(e— «») et
25) (fe = .T-\-2x.'2 ^ .
Donc la première condition que y soit rationnelle en x est remplie. Il faut maintenant sul)Stituer son expression dans l'équation proposée et voir si elle pourra être satisfaite.
On tire d'abord de l'écpiation (14)
1 + e 1/ —S'±^if' + (s±^if)-9^
Cela posé désignons par â, ô', f, t' les valeurs de 6 qui répondent respectivement à y = -\- ~, y ■= , y= -\ , y =. on doit avoir
En vertu de ces équations les valeurs de 1 — c^y, i-^-r^i/, 1 — e^7/, i-\-e^i/ deviendront en faisant pour abréger
2fi)
En substituant dans 1 — -^ l'expression de (^9 en .r, on obtiendra un résultat de la forme:
~ ^ (1 — e2c2ViaiJ:2)(l — e2c2X2a2J'^)...(l — eîc^X^a.x*)
En faisant 0 = (^ le second membre s'évanouira, mais il est clair par ce qui précède que y(9) ne cbange pas de valeur en mettant au lieu de 9 une quelconque des quantités 9+«j, 9 + «2...9 + a„. Donc le numérateur du second membre doit s'évanouir toutes les fois où x aune des valeurs ).d, A(d-f-aJ, P.(^+«2),. . . A((54-a„). Donc puisque le nombre de ces valeurs en général toutes différentes entre elles est 2ra+l il s'ensuit que
donc en substituant et faisant pour abréger,
27) p = (1 — é'V;?«jX-)(l — é'cn''a^x^) ... (1 — pV^r «,,r^)
formule qui a lieu pour des valeurs quelconques de à et 9.
A l'aide de cette formule il sera facile de trouver les cas dans lesquels on pourra satisfaire à l'équation proposée. On peut écrire cette équation comme il suit:
ce qui nous fait voir que l'une des quatre fonctions 1 + c^, 1 + ''i^ doit s'évanouir en attribuant à x une des quatre valeurs + — , + — c'est-à-dire à 6 une
des valeurs + y, +^-
Supposons d'abord 1 — Cji/=0 pour 9 = -^, l-f-CiW=0 pour 0 = — -^, 1 — é'^y = OpourO = __, l-|-^iy = 0 pour 0= — -^5 on pourra prendre (î:^:-, <5' = — -^5 6 = -^5 *' =: — ~. En substituant ces valeurs dans les équa-
mm m
tions (24) et remarquant que 9 (— |-) = — 9 |-, ç(— -|-) = — «^ i^Ç)^ on en tire:
On satisfait à ces équations en prenant:
où A est arbitraire.
La valeur de // deviendra donc:
et ensuite:
Cela posé faisons dans la formule (28) (5=+ -^j + ^ on obtiendra:
or l -^= — 5 et d'après la formule (16) or aura l i— -[- ^0 = ''■ ( -^ — «) 'lonc
<PT ^ ^ ^("l-'^O^ ^ >'(|-aO^ * ^(.ï-°'0^
On aura des expressions analogues pour 1 + -? — , 1 -1 — 5-— en faisant
En faisant donc ponr abréger
on trouvera:
35) l r,V=:(l-r^f-).-^, l-e,hf = {l-e\v-). l^, et de là
36) V(H - r,Y) (1 -''xV)) = ±^ V({l-c'x-) (i-e^x^)).
Maintenant les deux écniations (5o) nous montrent que q'^ ~ est une fonction
dx
entière de x qui est divisible par les deux fonctions entières t et t'; donc puisque ces fonctions n'ont point de diviseur commun il en résulte que o^ —^ sera
dx
divisible par leur produit, mais le degré de la fonction q^ --^ est précisément
dx
dx
le même que celui de la fonction tt' savoir in. Donc l'expression ^— se
réduit à une constante. En la désignant par a on aura donc
57) (lij = a . ■ — . dx,
et par suite l'équation (56) donnera
dy . ^ dx
) ./rn /.2v■2^^ ^ Ii.im i '^
c'est-à-dire l'équation proposée.
Pour déterminer le coefficient a faisons dans (57) x infini, on obtiendra
d'après les valeurs des fonctions q, t, V
'^•^ (-eV^)-^".A*ai.X-»a,...X%,.X2(^--ai)...A2(|--«.).À2(|a,)...À2g a,)'
mais d'après (18) on a : /.^ (^ — «) . '-{— — «) = ^^g^ >
donc
dy a 1
dx X*ai.A*a2...X4a, (e^c*)»' or en différentiant l'équation
et faisant ensuite a:=-- on aura — ^ = — . En éaralant cette valeur à la
0 dx k
précédente on en tire:
On pourra donner à l'expression de y une autre forme plus simple à quelques égards. Eu multipliant les deux membres de l'équation (28) par (fd et faisant ensuit dz=0 il viendra
^« = f('-x-€7)('-x^)-('-ît)
OÙ A est une quantité constante. En attribuant à ;r la valeur ^ après avoir divisé par x on trouvera:
42) A = (e V^)» . aV 1 . A^s • • • A*«„ = ak.
L'expression de y deviendra donc:
45) „=. -('->-gr)('-xgr)-('-^)
^ -^ '(1— c^cn^aiX^Xl — eViX*a2x2)...(l— eac2Xaa,J:*)
11 y a encore une autre manière d'exprimer y qui est très simple. En faisant dans (28) x= ^ après avoir divisé les deux membres par .r on trouvera {tpd={e'cy.):'a^.}.hc,...).\<,,.?.d.?ia^-\-d).).{a^—ô)...).{a„-\-ô).?.{a„-ô) ^ \ =,;.^+A(^|.c,J + ;.(c5«J + ...+ /(c)-+«„)-}-/.((ï-«„)
formule qui a lieu pour une valeur quelconque de â.
En mettant donc 6 au lieu de â et multipliant par — on aura y exprimé
comme il suit:
3a) 3^ = 1 (eof- . 6 . ;j . A(« ^ +*^) . /.(« ^ — Ô) . . . ;.(«„ + «) • A(«,. — 0)
où l'on a fait pour abréger:
46) i = /.Vj.;.^«,.;.^«3.../.^,„.
En faisant 0 = -\- '^, 6 = -{- ~ \es valeurs correspondantes de y seront — et — donc :
" (i=4^'-''-'[Kt-".><|-"0- •'•(l-«.)]'
Si donc les (juantités f,, p^, a, y ont les valeurs exprimées par les érpiations (45, i.'>, 47), l'équation (1) sera satisfaite en déterminant convenablement le signe du second memlire. Il faut remartjuer que ce signe n'est pas le même pour toutes les valeurs de .r; mais il sera toujours le même pour des valeurs de .r entre certaines limites. Ou doit prendre le signe -\- si x est très petit; et alors ou doit conserver le même signe jusqu'à une certaine limite. Dans tous les cas le signe qu'il faut prendi'e se détermine par l'équation (56).
Le théorème de Mr. Jacobi est contenu comme cas pai'ticulier dans ce
qui précède. En effet on l'obtiendra en faisant «
Alors on trouvera «^
L \'ln+l 'iJ \'ln+\ -2.) V2« + l 2/J
rfv
rfj
V[(l-r-) (l-^î/-)] ^ " V [(l-x-^) (1 -e"-x-^-)-] Il faut prendre le signe supérieur si x est compris entre les limites -|-^(^^t-^)
et -j- /■ r '" ' • ^j et le signe inférieur si ;r est compris entre les limites
En faisant dans notre formule générale «, —"'"+'" " où ?« + ?«' est un
nombre pair et où les trois nombres m, m', 2n-{-i ne sont divisibles par le même facteur on aura une formule plus générale que celle de Jlr Jacobi savoir celle que j'ai démontré dans les 'Recherches sur les fonctions elliptiques."
On aura dans ce cas eu faisant u=: '■ : ce^ = ct, ci^ = 2c<, «3 = 3»,...
...«„ = nr(, ce qui sufiit pour déterminer les quantités c^, e^, a et y.
Dans ce qui précède nous avons démontré qu'on aura une valeur convenable de la fonction y en prenant dans l'expression générale de cette fonction
'U'z=r '^ , /■' = o = 0. On peut aisément trouver tous les autres cas pos-
sibles à l'aide des formules (10, H, 12). Soit
et désignons par c^, e^, les valeurs correspondantes de c, et e^ on doit avoir
SO) . -^^1 = + a.
mais en faisant y = — (pu le second membre sera d'après ce qui précède égal
k à 4- — • —TT, ^ rq, donc on doit avoir
5 |A ^^i = 4- ^ 'Il
où
Selon les équations (10, 11, 12) on satisfait de la manière la plus générale à ces équations en prenant
a. V,=+ -i- V, cl = -i — , e^ = -! — ,
f \ ae^c^ y - «; ";
Ces trois formules en y faisant y-^ — . (p6 contiendront donc touttîs
les manières possibles de satisfaire à l'équation (oO).
On peut sans nuire à la généralité faire A: = 1. La 1"^ de ces formules
est la même que celle qui résulte de y = — -(fO- La seconde en résulte en
mettant — au lieu de ?/. Les modules restent par cette substitution les
mêmes. La troisième est en général différente des deux premières.
Deuxième cas. Si /.• = 0 e^ l'une des quxmtités ¥, h" égale à l'unité. Si, k étant égal à zéro, l'une des quantités k', k" est égale a l'unité il faut nécessairement que l'autre soit égale à zéro. En effet si l'on avait A'=/i"=l,
les racines /. {() + " t "'), ).{(l + ?^ + y) donneraient celle-ci
^■(o-{- ^4" Y — ~-^) = H^-\~^'^)> c'est-à-dire k ne serait pas égal à zéro
comme nous l'avons supposé. Désignons donc par ,5 l'une des quatités ilLtii'j
l'expression de qiO deviendra:
et exprimée en x.
oi) (r0 = a:-f ~. — + 2ar.2- —
' — ce X 1
?i:i) i-ry=iI:z£ÎZj
Soit comme dans le premier cas 1 — ^^^ = 0 pour .r = — on aura:
IMaintenant entièrement de la même manière qu'on a démontré précédemment la formule (28) on étîiblira la suivante:
««) '-$=}■ (' -5)('-.^5^,)('-x-(5^))('-Ml~i)
ou Ion a fait pour abréger:
o7) () = + ecx . (1 — ^c^'fP'u^x^) (1 — é^c^'iP-u^x^) . . . ( 1 — e^(?^'/?-n^x^).
En faisant d= + — on aura les valeurs de 1 + — et 1 5 qui multipliées
— > . Cette valeur substituée dans l'ex-
pression de 1 — c^y* (00) donnera:
\—c\y'=^^J^^-^^{\—c'ar) (1— e^^A*) 1 -^ -( ...|l-
\ ■«'(!-.,)'* Kl-)*'
et par conséquent si l'on fait
^^^'^'-Kf^lhKf^)l-('-KFI)î-
Cette valeur mise dans l'équation (29) donne
1 '^•P dy
«/(^'2— CiV'2) < rfx
On voit donc que |/(1 — ^i^) doit être une fonction rationnelle de x. Il n'est pas difficile de démontrer qu'on satisfera à cette condition en supposant
que 1 — Cj^y^ s'évanouit pour x=+ A ( "~ j et on aura alors:
Les équation (24) donneront dans ce cas:
auxquelles on satisfera en prenant f:=ff'z=zO
De là résulte:
1 ec
Connaissfint ainsi une solution de l'équation proposée on aura toutes les autres possibles à l'aide des formules (10), (11), (12). Le cas le plus simple est
celui où w=0. Alors on aura en faisant c^=ic = i, ^"^=2-^-^- — :
/[(l-î-')(l-ei"/')] ' ' l/[(l-x'^)(l-e'^^-^)]
Troisième cas. Si ^- = 1.
Dans ce cas l'expression (15) de qp0 deviendra,
f^e=id -I- ;.(e+w) + i{d-\-u^) + A(e— «j + . . . + /.(o+«„)+A(fl— «„).
Or cette quantité se réduit à zéro jiour une valeur quelconque de ô dont on pourra se convaincre aisément en remarquant que 78 doit rester le même en changeant 0 -f- w en 0 c'est-à-dire -|- 9 en — 0.
La fonction ç9 étant égale à zéro si l'on désigne par ^(f' — t/'y) le coefficient de .r"""^ dans le premier membre de l'équ-ition (9) on aura en faisant pour abréger
F9 = /.-^g -I- ;.^(o +«)-!-... + ;.2(9 + cQ,
f'—ff'y = — (f'—ff!/)-F^, il'oii l'on tire,
Maintenant il n'est pas difficile de trouver toutes les solutions qui résultent de ce troiscnie .cas eu se servant de l'expression (61). Je ne m'arrêterai pas ici à développer les formules mêmes, je vais seulement faire connaître un théorème plus général que celui exprimé par les formules (48).
Théo7'ème. On aura:
V/[(l-2^^)(l — ^iV)] - /[(l— a:2)(l— e^J:^)] -I-
ou a^=k.?.— ./. /.^ — '^, e =e". [?.-.. k--...).{?i — ^)^) ,
n étant un nombre entier quelconque, —=i ■.
En supposant n impair la formule (60) est la même que celle que nous avons trouvé (48).
Si l'on fait .r = siny, y = s'inyj on obtiendra
V/(1 — e/sin^ij;) ;/(l — e^sin^ç) '
OÙ l'on pourra exprimer la quantité ip comme il suit:
67) n'' = cp + Arct. { tang rf.y[l— eV.^ (^)] J
+ Arct. { tang y . ]/[l — eV.-Ç"^^ nj)] J
En supposant 7i = 2 on aura
ip=z(p -{- Arct. (tangy .|/^(1 — e*)),
ou bien
tang (t/) — </))= tang 7) . V( 1 — <?''). (Voyez: Legendre Exercices T. I. p. 81.)
Si l'on suppose n très grand on aura à peu près e^ = 0, donc
Soit cp = — on aura •w = 11. ^, donc n-~z=.a.—-, donc — =—.—. De la ^2 2 2 2 a tz n
il résulte eu faisant n infini
/"' l9 ^ ^ 2 . /""Arct. (tango) . |/(1 — c^/.^.r)) . dx.
Nous avons vu précédemment que le nombre des valeurs inégales de l'expression /.(04-^i«i + ^V<2 + - • • + ^"»'«»') est toujours fini. On peut dans tous les cas trouver ces valeurs comme il suit.
Soient
68) {/.(O+zv's) ='^-(^+»'i«i+»V'2)'
,A(9 + W;,a^) = A(9 + ^«i«i + ^"a«2+ • • • + W'y-ifV-i), oii n , «25 «3,...??^ sont les nombres entiers les plus petits possibles qui puissent satisfaire à des équations de cette forme, m^, m^, . . .my i étant des nombres entiers qui pourront être difiérents dans les diiîërentes équations. Cela posé je dis qu'on aura toutes les valeurs inégales de l'expression ^(ô+A'jK, -j-^-^Kj-f- . . • + kyc.,,) en attribuant à A-^, k^, . . . k,, toutes les valeurs entières et positives respectivement moindres que ?i^, n^,...n,,. En eifet si l'on avait
;.(e+/;:',«j-f AV2 + --- + A"V«^) = À(0 + Z-^«,-f Av<2 + .-- + ^V«v) où l'on n"a pas à la fois
k'i = k^, K'^=k2, . . . k'y=ky,
on en tirerait en mettant
0 — Â-,«j — k^a^ — ... — A'„,if(,„i — k',„am — A-„.+i«,„+i — ... — ky((y au lieu de 0
He+(A„.— /fg«„)=A(9+(A-^— Aj«^+(A',— Ag«2+---+(^'".-i— -^".--O^'-O'
ou l'on a supposé que k,„ — k',„ est la première des quantités ky — k',,.
ky i — ^"V-u • •• <pï' soit différente de zéro. Or en supposant ce qui est permis que k„ — ^"'„ soit positif ce nombre sera en même temps moindre que w,„ ce qui est contre Thypotlièse. Le nombre total des valeurs inégales de l'expression KO-\-k^c(^-\-k.Jî^-\- . . .-\- k^dy) sera donc égal à
jt^./t^.n,.. .71,,, car il est clair qu'on n'aura ))as des valeurs nouvelles en attribuant à k , k^, ...ky des valeurs respectivement plus grandes que ?i^, n^,...ny.
Le degré de l'équation j!> — qy^Q est donc
Si donc ce degré doit être un nombre premier on doit avoir v = 1 et m =z n , Les racines de l'équation p — qijz=Q deviendront donc dans ce cas: A0, A(ô+a), /.(Ô+2«), • • • ;.(0 + (« — !)«), . ).{d-\-nu)=i'kO,
yiiQ + m'a'
et (( =
m et m' étant deux nombres entiers dont la somme est un nombre pair et qui n'ont pas le même commun diviseur avec n.
On doit remarquer qu'à la même valeur de tn répondent toujours plusieurs solutions différentes du problème général. Le nombre total de ces solutions est en général égal à 3m.
On peut de ce qui précède déduire un grand nombre de théorèmes remarquables sur les fonctions elliptiques. Parmi ceux-ci on doit distinguer les suivants.
a. Si l'équation (1) pourra être satisfaite en suppos.int >/ = ip(x) = —
où le degré des fonctions entières ^> et q est égal à un nombre composé m.n, ou pourra toujours trouver des fonctions rationnelles cf et /"telles qu'en faisant:
P^ nn îiit » — /Y ». ^ — Pi
x^ = (fx^ J-j- on ait y = f{x^) — —,
dx, dx
dii. dx, ^1 — ff, '
le degré des fonctions entières p' et q' étant égal à l'un des facteurs m et n et le degré de p^ et q^ étant égal à l'autre.
b. Quel que soit le degré de l'équation p — qy = 0, on en pourra toujours tirer la valeur de .r en y à l'aide d'opérations algébriques. Voilà doue
une classe d'éqwations qui sont résolubles algébi'iquement. Les racines auront la forme suivante:
70) X = fonct. ration, [y, 7'i">, r^''^, r^^i . . . i',,">),
ti , n^, . . .Uy étant des nombres premiers entre eux dont le produit est égal au degré de l'équation eu question, et les r^, r^,...ry de la forme
71) ^j^tV({i-cy)ii-ey-))
où f et ^ sont des fonctions entières de y.
c. Il y a un cas remarquable du problème général, c'est celui oii l'on demande toutes les solutions possibles de l'équation:
dy dx
V/[(1— cV)(l— eV^)] /[(l — c2jr2)(i e2j,2)]
On aura à cet égard le tbéorème suivant.
Si l'équation précédente admet une solution algébrique en xeiy, y étant rationnelle en x ou non, la quantité constante a doit nécessairement avoir la forme fi' -\-Y^ — a
où //' et // désignent deux nombres rationnels, le dernier étant essentiellement positif. Si l'on attribue à a une telle valeur on pourra trouver une infinité de valeurs différentes pour e et c, qui rendent le problème possible. Toutes ces valeurs sont exprimables par des radicaux.
Si donc on suppose que a soit une quantité réelle il faut qu'elle soit en même temps rationnelle. Dans ce cas on sait d'ailleurs qu'on pourra satisfaire à l'équation différentielle dont il s'agit quelles (pie soient les valeurs des quantités c et e.
d. Du théorème précédent, on peut par un simple changement de variables déduire ce-ci.
Si l'équation
du dx ^ — a.
où é^ = 1 — c* admet une solution algébrique entre x et y, le coefficient a doit avoir la forme suivante:
/(' et /i ayant la même signification que précédemment. Si donc l'on veut que a soit réelle il faut qu'elle soit égale à la racine carrée d'une quantité rationnelle. Cette condition remplit le problème à une infinité de solutions. Comme cas particulier on en déduit le théorème:
Si en supposant cp et xp réels et le module c moindre que l'unité, l'équation
a une intégrale algébrique entre sin g? et sin i/; il faut nécessairement que a soit égal à la racine carrée d'une quantité rationnelle et positive.
Ainsi par exemple si l'on suppose e^ == 1 — e* on aura «i=|/w comme nous allons voir.
En faisant dans l'expression (65) de y, 0 = — on trouvera, en vertu de
la valeur de Ar, ^ = 1 donc
^ Jo Vi{l-y^){l-e]y^)] J 0 i/[(l-x2) (1-6^^2)] 2«' en remarquant qu'on doit dans le second membre de ré([uation (63) prendre le signe supérieur depuis x = (i jusqu'à x-=).(^\ Cela posé en remarquant
que A le H j = ^.y- 9 ), il est clair qu on aura:
en multipliant cette valeur avec celle que donne (6o) on aura en faisant usage de la formule
qu'on obtiendra à l'aide du théorème 1.
En faisant maintenant x=pY — 1, ^ = ^K — 1 on aura en supposant p réel pour toutes les valeurs de cette (juantité:
y» - dz /» P dp
0 /[(l + s2)(l + ey^)]~X ^[(l+;'")(l + e^i'-^)]' mais si l'on fait /> = i on aura de même ^ = ^ donc
y'i ^ ^rt/*^ ^^ 0 •[(l + =2)(H-eT=2)] y^ V[(l+;^-^)(l + e-^i'^)]'
Le premier membre de cette équation est la même chose que ^ et le second
dy
la même chose que «y^^^——^^-^^ ce qui est facile à prouver, donc
Cette équation combinée avec (73) donne
c'est-à-dire
u au
Addition au mémoire précédent.
iPaus le mémoire précédent j'ai fait voir comment on pourra trouver toutes les transformations possibles, réelles ou imaginaires d'une; fonction elliptique proposée. Les modules c, e, c^, e^ pourront être des quantités quelconques. Le cas le plus remarquable est celui où l'on suppose les modules réelles. Dans ce cas le problème général pourra se résoudre par une méthode particulière, entièrement différente de celle que nous avons donnée dans le mémoire précédent. Puisque cette nouvelle méthode est remarquable par sa grande simplicité je vais l'indiquer ici en peu de mots.
Le problème général que nous allons complètement résoudre est le suivant:
"Trouver tous les cas possibles où l'on pourra satisfaire à l'équation
"différentielle:
I \ dy dx
^ V/[(l-^^)(l-''iV)] "" v'[(l-ar'^)(l-cV2)]
"par une équation algébrique entre les variables x et y, en supposant les
"modules c et c^ moindres que l'unité et le coefficient a réel où imaginaire."
En désignant par Aô la fonction inverse de celle-ci
dj;
en sorte que x=./.^, on aura en vertu de la for-
Jo Vîiî—^-Ki—c-^'^)] mule (4) du mémoire précédent
;.(( — l)"^""' 0 + mw 4- ni'co') = ÂG, où les quantités constantes ro, oj' sont (léterminées par les formules: ffx o /°i dx
") "2 J 0 v/[(l — J^2)(l — 0^x2)] o' /»7 dx
Dans le cas que nous considérons, la quantité a est réelle mais a' est Imaginaire. On aura en effet
o' /» * dx^ 1 /» c dx
c'est-à-dire :
OÙ il est clair rpie le coefTicient de "j/ — 1 est une quantité réelle. En faisant
OÙ
^/[(l — jr2)(l 62j;2)]
Le théorème II du mémoire précédent donnera donc ce-ci:
"On satisfera de la manière la plus générale à l'équation
A6' = À9 "en prenant
4) e' = ( — l)"'e4- wîcû + m'cj.]/^ — 1
"où m et m' sont des nombres entiers quelconques et w et o deux quantités "réelles données par les formules (2^ et (5)."
Cela posé soit
l'équation algébrique entre y ei x qui doit satisfaire à l'équation différentielle (1). Si l'on fait x^Kj ety = )^()' où 9 et 9' sont deux nouvelles variables et Aj la fonction elliptique qui répond au module c^ en sorte que
l'équation (1) deviendra
rfô' = + «f/9 d'où l'on tire en intégrant: 9' = f + «9 où £ est une constante." On a donc
2/ = A, (f Hr «9) ou bien en mettant -\-a pour +«:
L'équation (3) entre x et y donnera donc celle-ci
8) /-(AiCf + aO), ;.9) = 0
qui ne contient que la seule variable 9 et qui aura lieu quelle que soit la valeur de cette quantité.
Il ne serait pas difficile à l'aide de la formule (8) de trouver la fonction f{y,x)\ mais pour notre oltjet il suffit de connaître le coefficient a et ime certaine relation entre les fonctions complètes. Voici comment on y parviendra. En mettant ô + 2»îci) au lieu de 9 on obtiendi'a, en reraai'quant cpi'en vertu de (4)
A(9 4- 2mm) = M, cette autre équation
9) /■(;,i(é-j-2»mw4-«9), ;,0) = O.
On aura de même en mettant 0 + '"o^ l'oi"" 0, où i = |/^ — 1 :
10) /"(AiCf -f mam -f «9), A9) = 0.
Dans ces deux équations m pourra être un nombre entier quelconque. En faisant x = A9 on voit donc que l'équation algébrique
f{y,.T) = 0 est satisfaite en mettant pour y une (piantité quelconque de l'une des deux formes :
A,(i -\- 2)>ia(o -\- «9), P.i(« + maai -\- «9), mais m peut avoir une infinité de valeurs tandis que l'équation dont il s'agit n'a qu'un nombre limité de racines ; il faut donc qu'on puisse trouver deux nombres entiers k et k' tels que
1 1) X^ie + 2k'acû + «9) =: ?.i{s + Zkmo + «0) et deux autres v et v' tels qiie
12) ?.^(f -{- v'aai -\- o9) = Aj(i + vaai + «9).
En vertu de la formule (4) ces deux équations donneront respectivement: . „. 1 2k'am = 2ka(o -j- 2mio^ -\- m'ts^ . y — 1
\v'(mi = vajsi -\- 2fAto^ -{- /('Oj.]/" — 1 où Wj et Oi désignent les valeurs de (o et rs qui répondent au module e, c'est-à-dire on a:
dx
Cela posé les équations (15) donneront en mettant v pour k' — k et v' pour
Jil, Oi 2(1.
et (le là en comparant les parties réelles et imaginaires:
Mn\ ^ O]^ J^ ^. ^ Oi 2(1 o,
Ces deux équations donneront celles-ci:
Maintenant — ^ est une fonction continue de c, donc les équations (17) ne sauront avoir lieu que pour des valeurs particulières des modules c et c^. Si donc on suppose c indéterminé il faut que l'une des équations
19) mz=fM'z=0
ait lieu. Dans le premier cas les équations (15) et (16) se réduiront à
ui a
et dans le second cas à
^CJi "'^ IJ.V o
Mais si la valeur du module c est telle que la 1^"^' des équations (17) ait lieu, on doit avoir en même temps:
t}Q\ " i V -,// m^m:\ Oi 1 -, // m'ii.' \
et alors a est donné par l'une des équations (15).
Quant aux nombres m, m', /<, /(', v, v' il faut les prendre tels que m, Wj, o, Oj soient selon leur nature des quantités positives. Si donc on suppose, ce qui est permis, v et v' positifs, il fout que m et j«' soient du même signe et m' et f^i du signe contraire. On pourra d'ailleurs sans diminuer la généralité supposer m\ m et //' positifs et /< négatif
Par ce qu'on vient de voir on a immédiatement ce théorème: I. Théorème. Pour que l'équation (1) ait une intégrale algébrique en x et y il faut nécessairement que les modules c^ et c soient liés entre eux de la
manière que l'une des deux quantités — ^ et —^ soit dans un rapport rationnel
avec — : c'est-à-dire ou doit avoir l'une des équa<ions
OÙ k et k' sont des nombres rationnels. Si la première de ces équations a lieu mais pas la seconde, on aura en même temps
où s est un nombre rationnel. Si la seconde équation a lieu mais pas la première, on aura en même temps
23) rt = c5. ^|/1.
Enfm si les deux équations (23) ont lieu en même temps, les modules c et Cj seront tous deux déterminés, savoir respectivement par les équations:
et alors le coefficient a doit avoir la forme:
oii (5' et d* sont des nombres rationnels.
Les conditions indiquées dans ce théorème doivent donc nécessairement être remplies pour que l'équation (1) ait une intégrale algébricpie. 11 reste encore le point le plus important, savoir de déterminer si ces conditions sont suffisantes. Or c'est ce que nous allons faire voir à l'aide de la formule (60) du mémoire précédent. Cette formule peut facilement être démontrée en faisant effectivement la substitution de ^; mais il existe une autre démonstration, tirée des considérations entièrement différentes et que nous allons donner ici en nous servant d'une fornmie démontrée dans "les recherches sur les fonctions elliptiques." Il s'agit de la formule (185) de ce mémoire
OU
29) Q=ie°', )' = e°';
les quantités to' et o' étant données par les équations
2~yo
do:
On a de plus:
où X est lié à « par l'équation
SI l'on fait e = ,./ „,=4? ^ = K(1— /) on trouvera:
da=z — b .
dy
^/[(l-3,'^)(l-cV)]
et de là:
maintenant l'équation xz=\/'{l — y*) donne
^ = V^(l-^^) = /-«, donc:/-« = A(|— |-)
et de là en mettant b ^ — ba pour a
33) }.a=f{b^—ba).
Cela posé si l'on pose dans la formule (28) 6 ^ — ba au lieu de a on trouvera après quelques réductions faciles:
04; Aa ^ . (i^f2) (1+^2. r2) (l + i-2 .r2) (l + f^ . r*) (1+^'^ . r^) . . .
où
an Al
35) < = e"ô", rrzre'ô"
et ^ une quantité indépendante de a.
Si l'on fait pour abréger
on aura donc:
36) A« = ^.i/^('«i^\i/;((o + a)— .tf)(w— «) — .i/;(2to + a)^.
/ \ t3 / O CJ CJ
Tti(2co — «) — • i^(3co -j- «) -H . i^i(3ca — a) — . . . xs TS vi
Si l'on fait maintenant successivement
on aura les valeurs de A9, A To + —}• • • \^ + ^^^^^w) qui multipliées ensemble donneront sur le clianip
= A''.tt> (â.J^) . xp{w, + d) - . i/.<«j —d)~. If- (2(«i 4- â)JL...
\ Oj'' ©1 0j Ç5i
OÙ on a fait pour abréger
or si l'on pose dans la formule (36) le module c^ au lieu de c et désigne les valeurs correspondantes de
/.9, Cl, o, A respectivement par
AjO, tdj, Oi, -<^i il viendra
;.i« = Ji . V^ (a ^) . i/.'(Mj -f «) -^ . If' (m, — «) ^ . . . Le second membre de la formule (37) est donc la même chose que ---. P.^d = — -. Aj( — 0 ) et par conséquent on aura la suivante
cette équation a donc toujours lieu si le module q et tel que 40) «^r^l.ii,
quel que soit d'ailleurs le nombre entier n.
Si l'on fait '/.f)=x, ).^\J^(}j=y ou aura
^ V[(\-y')(l-cM')] v[(l-x2)(l-c2a:-^)]~ '
qui par conséquent est satisfaite par l'équation algébri(jue
La valeur de ij est toujours une fonction algébrique de x. En effet si n est un nombre impair on a
et si n est un nombre pair:
. __A^ ^ KVi) -^ H 2 n) "^ v/(l— r^)
Considérons maintenant les trois cas de notre problèiVie général.
Premier cas. Si a est réel. Dans ce cas on doit avoir comme nous
avons vu « = ^. — = — • — oii n et v sont des nombres entiers et l'équa-
tion proposée deviendra:
iti\ ^ A ELi ^î
On doit avoir de plus ^ = A;. — = i^. — où m et n sont entiers. Si l'on
fait X = /(caO) et i/ = P.j(/<c5j0) où 0 est une nouvelle variable, l'écpiation (iîi) sera satisfaite, car les deux membres se réduiront à //o^^/O. Pour avoir une intégrale en a; et ;y il faut donc éliminer ô des deux équations:
46) .V z= >.{i'TS^); i^ = ;.>Ci9).
Nous allons voir que le résultat de l'élimination sera une équation algébrique en X et y.
Soit c' un nouveau module et désignons par A'6, lo', m'. A' les valeurs correspondantes
de AO, (i), o, A. Cela posé si l'on suppose le module c' tel que ^= — .—
on aura en vertu de la formule (59), en mettant /«j-Qn au lieu de ô
47) l'i^ivxs'fi) = ^^ . }.(jnm^) . A (// J/G59 -h -^) . . . ).(fi rnô + '-^ œ) ,
maintenant ayant *^==1. -^ et^="^. —on en tire ^=—- '^■, donc la même
formule donnera:
48) ;.V.o'9) =-^. A,(//i'n,9).A,(/t^n3,0+^) ... A, (/ii't3,9+^ «,).
En égalant entre elles ces deux expressions de l'{/nva'^) il viendra en faisant pour abréger
49) va^ = d', //Oi9 = ô\
Le premier monibre de cette équation os( une fonction algébrique de ).(uô) et le second une fonction algébrique de ij(r(TJ: mais ;.(//(5) est à son tour une fonction algébrique de ).d=x et f-^ivà^) une fonction algébrique de / â — j^. Donc enfin les df ux membres de l'équation (oO) sont respectivement des fonctions algébriques de x çt de i/. Donc cette équation exprime l'intégrale cherchée en X et y de l'équation différentielle (io). Pour en avoir l'intégrale complète il suffit d'ajouter à (^ ou à d\ une quantité constante arbitraire. Quant aux quantités A et A^ on doit remarquer qu'on a
Pour donner un exemple supposons qu'on demande une intégrale algébrique de
l'équation,
dy Oj dx
dans le cas où ^ = |. . - . Ou aura alors /< = r = 1, w = 2, ?« :=: 3.
Oi ^ ta '
L'équation (îiO) deviendra donc:
cVe . ;.d. ;. (d + I-) . ;. (d + |>) = rj.A • /. (^\ + ^),
c'est-à-dire :
^ ■ /(l — cV) «-i ■ ■ o ■
Second cas. Si aY^ — 1 est réel. Dans ce cas on doit avoir selon (lo),
ff = — • — i- ]/^ — 1 où /i et V sont entiers. On doit avoir de même '^-—^JL. ^.
L'équation proposée (1) deviendra
^ Ij. t3, "^ /[(i-i/'-Xi-CiV)] v/[(i-x'^)(i-c-'x-^)]
Pour réduire ce cas au précédent il suffît de faire x = ' — où z est une nouvelle variable, on aura alors — =l/ "
v/[(l-x-^)(l-c2x2)] '' 'v/Ki-^-^xi-iv^)]'
où 6 = |/^(1 — c*) et par suite l'équation (o2) deviendra en y et z:
v/(I-3^=)(l-riV)] V ■ c ■ v/[(l-=^-)(l-i'^=-)]
dont l'intégrale algébrique est exprimée par la formule (50) en y faisant
; = '/.d = — -— — — et mettant a au lieu de w. /(j-*— 1)
Supposons pai' exemple qu'il s'agit de trouver une intégrale algébrique de l'équation :
v/[(l-2^2)(l-CiV)] " V'[(l-x2)(l.-c2x2)]'
;as où (50) deviendra
dans le cas où — i- = 2. — . Ayant u :=: v = l et m = 2, « = 1 l'équation
c'est-à-dire en remettant les valeurs de Xd et },^ô\ :
v^(i— y-) Cl -^
^(i—c^^y^) Vc ^/ (0-2-1) Troisième cas. Si — ■=iV^kk', —^ z^y ~-
Dans ce cas on doit avoir en vertu du théorème 1: «=J—. — +^- —'Y — 1
où jWj f, //', i/' sont des nombres entiers. L'équation proposée deviendra donc:
et cette équation sera toujours intégrable algébriquement. En effet comme on a tant
.^ = 1. :^que^ = A-.-îi où k etk
sont des nombres rationnels, on pourra en vertu de ce que nous venons de voir dans les deux premiers cas satisfaire algébriquement aux équations
dz [J. Oj ds
v^Ki— 3*)(i— ci^s^)] T' V "Tîâ^^^^p^Xï^^^ê*^
Par la l'équation (o5) deviendra:
rfi/ rfz j ^>
V[(l-^^-^)(l-fi2i^"-)] ~ A/[(l-a2)(l Ci23'^)] "f" v/[(l-"^)(l-«i""'')] à laquelle on satisfera comme on sait en pi'enant:
En y substituant les valeurs de y et c en x on aura une intégrale algébrique en a; et y de l'équation.
Nous avons ainsi démontré que les conditions nécessaires exposées dans le théorème I sont en même temps suffisantes.
En vertu do ce qui a «Hé exposé dans le premier cas on a immédiatement ce théorème:
Pour que deux fonctions elliptiques réelles /'(c',9'), F{r,(i) puissent être réduites l'une à l'autre il est nécessaire et il suffit qu'on ait entre les fonctions complètes
F'ic), F'{b), F'{c'), F\b') cette relation :
oo) 7i.F\c').F\b) = m.F'{b').F\c),
où m et il sont des nombres entiers. Si cette condition est remplie on pourra établir une relation algébrique entre sinS' et sinO telle que:
06) Fie, ^') = k. Ç^ . Fie 9),
où k est un nombre rationnel. On pourra ajouter que dans le cas où k = 1, 6' est lié à 9 par l'équation:
. i 9'4-Arct.(«'^.tang9')4-Arct.(«'2tang9') + ... + Arct.(a'„,.tang9') 1=94- Arct. («1 . tang 0) -j- Ai'ct. («^ tang 9) -j- • • • + ^^l'^t- («„-i • tang 0) où a^, a^...a\, a\, «',... sont des quantités constantes données par les formules
j.gx j (tu = 1/(1 — c' . sin 29„)
** ^ («'^=>^(1— c'^sin29'„)
après avoir déterminé 9u et &'„ tels que
59) "~ « ^ ^ ^"~ « A /(l-c-^sin^O)
En prenant 7i=zi on aura la formule (67) du mémoire précédent.
11 y a un cas du problème général qui mérite d'être remarqué; c'est celui où l'on suppose les deux modules égaux entre eux, ou en d'autres termes quand on demande tous les cas dans lesquels il sera possible d'intégrer algébriquement l'équation différentielle:
o/-j\ dy dx
^ \/[(l-y2)(l-cy)] ~ '^ V[{l-s'){l-c^x^)-]'
Dans ce cas on a oj' ■= m, u' = is et par conséquent les équations (15) deviendront :
a=:~4--. :^i/-— 1= t^Hi^. ^1/— 1
V ~ 2v o '^ v' V xa*^
et de là
Si l'on veut que a soit réel on a a = —, m'=^/=0; dans ce cas on n'aura
aucune condition pour la valeur de c, (jui peut être quelconque, mais on voit que a doit être un nombre rationnel. Si au contraire on admet des valeurs
imaginaires de a le modul c doit être tel que ^ • — = • -- d'où l'on tire
— =:i..l/r — .^-^j. En vertu de cette expression la valeur de a deviendra:
Soit — = y^k on aura xs
fl = d+(5']/A-.l/'— 1, où k, â, d' pourront désigner des nombres rationnels quelconques. On voit que pour que Téquation (60) soit intégrable algébriquement en supposant a imaginaire il est nécessaire et il suffit que
- = Y'k, a = d-\-ô'Yky—l. xs
k est essentiellement positif.
On pourra exprimer le modul c en produits infinis comme il suit:
On tire cette expression de la formule (5i) en y faisant « = — et remarquant que — = Vk etA = — . On aura en même temps le module b par cette
formule :
*r , 1— e"Vk l c~7k l e"7k
11 suit encore de ce qui précède que si le modul c a la valeur ci-dessus, l'équation ' ^
± z=k'Vk
ds
V/[(l j,2)(l 62y2)] ►^ /[(l-jr^Xl — C-=X2)]'
sera toujours intôçrable algrbriquement quels que soient les nombres rationnels k et k', ](Our\u que k soit jiositif.
Il y a encore beaucoup de eboses à dire sur la transformation des fonctions elliptiques. On trouvera des développements ultérieurs sur cette matière ainsi que sur là tbéorie des fonctions elliptiques eu général dans un mémoire qui va paraître dans le Journal de Monsieur Crelle.
Remarques sur quelques propriétés générales d'une certaine sorte de fonctions transcendantes.
i if'a: désigne la fonction elliptique la plus générale, c'est-à-dire si
/r.dx -
OÙ r est une fonction rationnelle quelconcjue de x, et R une fonction entière de la même variable, qui ne passe pas le quatrième degré, cette fonction a comme on sait la propriété très remarquable, que la somme d'un nombre quelconque de ces fonctions peut être exprimée par une seule fonction de la même forme, en y ajoutant une certaine expression algébrique et logarithmique.
Il semble que dans la théorie des fonctions trancendantes les géomètres se sont bornés aux fonctions de cette forme. Cependant il existe encore pour une classe très étendue d'autres fonctions une propriété analogue à celle des fonctions elliptiques.
Je veux parler des fonctions qui peuvent être regardées comme intégrales de différentielles algébriques quelconques. Si l'on ne peut pas exprimer la somme d'un nombre quelconque de fonctions données, par une seule fonction de la même espèce, comme dans le cas des fonctions elliptiques, au moins on pourra exprimer dans tous les cas une pareille somme p.ir la somme d'un nombre déterminé d'autres fonctions de la même nature que les premières, en y ajoutant luie certaine expression algébrique et logarithmique ). Nous démontrei'ons une autre fois cette propriété. Pour le moment je vais considérer un cas particulier, qui embrasse en même temps les fonctions elliptiques, savoir les fonctions contenues dans la formule
M\ Pr.dx
i) lpx=l-
*) J'ai présenté un mémoire sur ces fonctions à l'académie royale des sciences de Paris vers la fin de l'année 1826. Note de l'auteur.
B étant une fonction rationnelle et entière quelconque, et r une fonction rationnelle.
Nous allons d'abord établir le tbéorème suivant:
Théorème I. Soit tfx une fonction entière de x, décomposée d'une manière quelconque en deux facteurs (p^x et (f^x, ensorte que q)x=(p^x.(p^x. Soit fx une autre fonctio?i entière quelconque et
2) xi<x=f-^^
^ ^ ./(j — a)v/(çx)'
OÙ a est une quantité cvnstante quelconque. Désignons par a^,, a , a.^. .
^oj <^i» '"2>--- f^^^ quantités qnelconfjues dont l'une au moins soit variable.
Cela posé, si l'on fait
j-v \{<to+a^x-\-a^x-'-[-...-{-a„.r"f.(f^x—{c^-\-c^x-\-c^x-'-\-...-\-c^x^)-.(f^x ^ \ = A.{x — x^){x — x^{x — .r3) . . . {x — x^), oii A ne dépend pas de x, je dis qu'on aura
4) f j V'.^j + f^nx.^ + e^xfx, -|- . . . | f,^^■x^
ou C est une quantité constante et r le coefficient de — dans le développement de la fonction
/J 1q„ /(«„ + «! J+... + «,-r")/(9iJ)+(co + CiX+... + c..r"')v/(9^.r)\
(j — a)/9x ' '^ H«o + «i-^+--- + «''^")v^(9i-^)— (<'o + CiJ' + ...+ c„j'")/(92j)/'
suirmnt les puissances descendantes de x. Les quantités f ^ , t^, . . . f^ sojit
égales à -{- 1 oîi à — \, et leurs valeurs dépendent de celles des quantités
Désignons le premier membre de l'équation (5) pai" Fx et faisons pour abréger :
[ ea: = flp -|- ff jO- + a^x"- -f- . . . -}- a^x%
+ c.x + c^x^ + . . . + c^x^, nous aurons
6) Fx = (6.r)^ (p^x — {i^^xf. q>^x.
Cela posé, soit x une quelconque des quantités .r , x^, . . . x^, on aura l'équation
7) Fx = 0.
De là, en différentiant, on tire
8) F'x.dx-\-ôFx^O,
en désignant par F'x la dérivée de Fx par rapport à x, et par àFx la différentielle de la niènie fonction par rapport aux quantités a^,, a , a^, . . . c^, c , c^. .. Or eu remarquant que (f^x et q.^x sont indépendiuits de ces dernières variables l'équation (G) donnera:
9) dFxz=2U-.(p^x.è^x — 20j.*-.y2.r.(50j.r, donc en vertu de (8)
10) F'x . f/a: = 29 jO? . cf^x . (59 ^ x — 29.r .(p^x.àU. Maintenant ayant Fx=iQ^{(ixf.<f^x — {<)^xf.(p^x, on en tire:
où f = + 1. De là vient
(ix.(p^x = f^^x.Y{ip^x.(f<^x) = e^^x.YiV^), ^^x.cf^x = fOx . Y{(f.^x.(p^x)=iU . V((px),
donc l'expression de F'x.dx pourra être mise sous la forme
12) F'x.dx = 26.{dx.d()^x — ^^x.ôU-).V{(px).
Cela donne, eu multipliant par t . •'^ . ^ . ^ :
\/(çj:) F'x j- — a
f^\ ^ fx.ds /x.(29j-.59,j:— 2ô,;r.80x)
En faisant pour abréger
14') l{x) = 2fx{f}x .â^^x — ^^x. ÔDx),
il viendra:
fx . dx \x
{x—(f)s/{(Sfx) {x—a.).F'x^ OÙ Ix sera une fonction entière par rapport à x. Désignons par 2/.r la quantité
XX ^ -\-X^2 + %x^ + --' + X*>, et remarquons que l'équation (14) subsiste encore en mettant l'une quelconque des quantités x^, x^, . . . x^i au lieu de x, cette équation donnera
15) 2f. •^■^••^•^ -^2 ^"^ ^Sv
Cela posé, on pourra chasser sans difficulté les quantités x^, x^, . . . Xu du second membre.
En effet, quelle que soit la fonction entière Aa;, on peut supposer
1 6) }.x = {x — «) . ;. , .r + Aa,
où X^x est une fonction entière de x, savoir ^^fJZ^. En substituant cette va-
X — a leur dans (l.'i), il viendra
l(î') cy?; = 2-^ + A«.2
Maintenant d'après une foinuilc connue un aura
-' , {j; — a.)F'x Fol'
ayant égard que
Fa = A{n — .vj {a — .r.^) . . . (« ^ .v^,), donc
18) ôv=z — ^ +2 4r^.
^ Fa. ' F's
11 reste à trouver 2 -—; — . Or cela peut se faire à l'aide de la formule (17).
En effet en développant selon les puissances descendantes de et, il viendra:
Mn\ J Ji vJL-|-J v^i |__L 2 fL 4-
^ Fa. a"'Fx^ oi-i "^F'x~^ '"^ a''-+^ F'j: ~^'"
d'où l'on voit que 2 -^7- est égal au coelficient de -— dans le développement
de —- , ou bien à celui de — dans le développement de — -. De là on voit Ft. Cl. l'a.
aisément que 2 -^— , où ).^x est une fouction quelconque entière de x, sera
égal au coefficient de — dans le développement de la fouction -~— selon les
puissances ascendantes de — . Si pour abréger ou désigne ce coefficient compris dans une fonction quelconque r développable de cette manière par ///•, on aura:
' ^ ^ F'x ^ Fx '
Or la formule (16), en divisant par F.v.{.r — c), donne
Q,\ jj AX 77 'AjX
^ ^^' {x-a)Fx —^^Fx' en remarquant que 77 ~. '''°^- „ est toujours égal à zéro. Donc l'exprès-
sion (16) de <)?'. deviendra
22) ôv = — -^^f- + 77 ^-^
Fa. (x — a.)Fx
Maintenant on a (li')
•/.r = 2f.i-.{f)x.è(i^.v — Ij^.v.d^x),
donc en mettant « au lieu de x,
/.« = 2/« . (9« . ()0 j « — i)^u. ()6tt).
En vertu de cette expression et en substituant pour Fa sa valeur {^af .(f a — (OjfO'-ya^j **" obtiendra
j^ 2/a.(0a.SQ,a — 9,a.5ea) , jj 2/r 0.r.50i.r— Q^j.SSj
(ôa)2.Çia — (Ojay^.Çja '' x— a" (ôa-)2.Çij;— (6,j-)2.9^" On trouvera aisément l'intégrale de cette expression; car en remarquant que
fa, <Pi«, Vî»? A'j -^^ — «5 Tr^'5 92^ sont des quantités constantes, on aura en vertu de la formule
/'pdq — qdp __ 1 j^^ /^nAn + ç\/« Y
p^^m — q^7l 2v/(»i.w) '''\p^in—q\/nJ'
25) ^, — r — ^J^ lo». ( 6aV(9ia) + 9ia- v/(92a) \ -' V^(V»)' " ve«./(9ia)— ôi». /(Çia)/
