loo. / 6j. v/(9i.r) + 9iJ. v/(9.,j
^ (x — a)\/(9J:)' ' V6j:./(9iJ^)-Ôi-'^-/(Ç2J^)>'' Or l'équation (15) donne
»/ (j- — a)\/(9jr) '
donc en faisant
et désignant par f^, i^,... f^ des quantités de la forme +1, on aura la formule
If^^:x^ + fjtf'Xj + fjif'^g j . . . | e^^l'X^ = C f'^ loo- /'^°^V(9i'^) + ^«V(92C^)'\ V'9a * \ea.v'(9,a)— Oia.\/(9.2«)^ (x — a)i/(9j) *\0x.\/(9jX) — ô^j:.\/(92x) /' qui s'accorde parfaitement avec la formule (4).
Les valeurs de fj, f^,...Eu ne sont pas arbitraires, elles dépendeut de la grandeur de x^, x^, . . . a-^ et celle-ci est déterminée par l'équation
^x.}/'{(p^x)^i^j^xy((p^x), équivalente aux équations
26) U, . Vir.x^) = ,j . O.^Ti . V{(p^x^) ; ^x^ . ViVi^^) = ^A-^'^ Viv^^.^) • ■ • •
fix„.}/'{(p^x^;) = fu^^XuViffr'^'fi)-
D'ailleur les quantités e^, f^, . . . tu conserveront les mêmes valeurs pour toutes
les valeurs de x^, x^,...Xu, comprises dans certaines Ibnites. Il en sera de
même de la constante C.
La démonstration précédente suppose toutes les (quantités x^, x^,...x„, différentes entre elles, car dans le cas contraire F'x serait égal à zéro pour
un certain nombre do valeurs de x, et alors le second membre de la formule (li) se prcsentorait sous la forme 5.. Néanmoins il est évident, que la formule (2o) subsistera encore dans le cas même, où plusieurs des quantités x , x^, . . .x^^ sont égalcs entre elles.
Eu faisant x.^ = x , on aura (26)
et cela donne, eu supposant que B^xcp^x et ^x.(p^x n'aient pas de diviseur commun:
En vertu de cette remarque on aura le tliéorème suivant: Théorème 11. Si l'on fait 27) (U)'^.(p^x — {^^xy.(f^x = A.{x — xJ'"' (.r— .r.J"» . . . (x—x^)"'/^, où les fonctions entières %x.if^x et %^x.<f^x n'ont pas de di viseur commun, on aura:
Î'i^m^xi^x^ + fi»hn'-ri + fi^hn'^s + • • • + '/-W/.-^'-'-.u = c— f'^ io.y ^^- w"(9i«) + Si«- y/ (9.2^) \ A/ (ça) 'VOa.v/(Via)— 6ia.A/(ç2a)/ 4- 77 /-^ lo-T ^-^^ ^(?i-^) + ^i-^- v'(92-^) ") '^ (j— a)v/((pJ^) '^\ex.v'(9iJ-) — ©[^.^(OaJ-)/'
Si l'on suppose fx divisible par x — «, on aura f(i=zO, donc en mettant {x — «).fx au lieu de fx, il viendra:
Théorème 111. Les choses étant supposées les mêmes que dans le Théorème ïl, si l'on fait
/'fx.dx
oit fx est une fonction entière quelconque, on aura
29) f^m^x^'x^ + f^nh\\.x^ . . . -f f ,<7«„i|'.r„
__ ^1 77 -f^ io„Y^-^V(9i-^) + ^-^v^(92-r)A ^~ /(9-r) '" \9j7. v/(9iJ^) — OiJ-v/(92-ï')/
Si dans la formule (28) on suppose le degré de la fonction entière f{x) moindre que la moitié de celui de (fx, il est clair que la partie du second membre affectée du signe II, s'évanouira. Donc on aura ce tbéorème:
Théorème IV. Si le degré de la fonction entière {fx)"' est moindre que celui de qx, et qu'on fait
on aUra
30) B^m^'ipx^ + f^m^\px^ + . . . + f „?«^V'a^„
v/(9a)' "^ V0a.v/(9ia) — ôjaVCÇa*)^"
En faisant fa=z 1 dans le théorème précédent et différcntiant k — 1 fois de suite, on aura le théorème suivant Théorème V. Si Von fait
ydx ' (x — a)*V(Ç-i^)' on aura
fj7Wji^i.r^ + f-i^hV^^i + • • • + ffi^iu^px^,
1 rf'-i
(ça)* ^\6a.v/(Oia) — ô^a. v'(92a) /"
Si dans le théorème IIT. on suppose le degré de {f.vy moindre que celui de ^x, le second membre se réduit à une constante. Cela donne aisément le théorème qui suit:
Théorème VI. Si l'on désigne par if.r la fonction '{h„ + l^x+h^x^ + . . . + S,,,.j'")f/x
v/(?o + Pi-»^+P.2a^^ + --- + M")
ou v' =■ — 1 , SI V est impair, et v' = -^ — 2 si v est pair, on aura
toujours :
51) e^m^xi'ÇvJ -\- f.^m^\iix^ + • • • + f <,w«T/(.r„) == à une constante. Ou voit que v' a la même valeur pour )• r= 2/« — 1 et pour r = 2w/, savoir v' = in — 2.
Soit maiuten.int
/•/•rfx «/ v/(9^) où r est une fonction rationnelle quelconque de x. Quelle que soit l;i forme de r, on pourra toujours faire
où A> fi^i ft^i • • • /"u.^' sont des fonctions entières. Cela posé, il est clair qu'en vertu des tlu'orènies 111. et V. on aura le suivant:
Tln'orhne VU. Quelle que soit la fonction rationnelle r, expi'imée par la formule {52), en faisant
55) wx=f "'^•^ et ^•^V(9i^)+S.-^V(9.-»-) .
on aura toujours:
e^vi^xpx^ + f^w^ii-r., + . . . + if,inu^.'x^ = C -f Ily^ log x(^) , 1 rf*.-» /.a, , 1 #=>-! /,a, ,
'OgX'<<u,
eu représentant par r{k) le produit 1.2. 3... (A- — 1).
Précédemment nous avons considéré les quantités x^, x^, . . . a comme des fonctions de or„, a^, a^, . . . r^, e^, c^, . . . Supposons maintenant cpi'un certain nombre des quantités x^, x.^, ...x^ soient données et regardées comme des variables indépendantes; et soient x^, x^,...x^. ces quantités. Alors il faut déterminer a^, a^,...c„, c^, . . . de manière que le premier membre de l'équation (5) soit divisible par
Cela se fera à l'aide des équations (26) Les fi' premières équations i^^,y{fp,x;) = e^.(i^x^.Y{cf^x^),
donneront un nombre de ^h' des quantités a^. a^,...c^, c^ ,... exprimées en fonctions rationnelles des autres et dea-^, a:^,...Xu.\Y{'^x^,V{<fx^,---V{^Xi^')- Le nombre des indéterminées </„, a^,...a,„ c„, c^,...c„, est égal à ?« + ''+!; donc, comme il est aisé de voir par la forme des équations (5o), on pourra faire //' = w« -|- n -\- 1. Cela posé, en sul)Stituant les valeurs de a^, Gj, . . . r„, c^, . . . dans les fonctions ô.r, Oj.r, . . ., la fonction entière (Oar)*.^,^^: — (()^xY.(p^ deviendra divisible par
(.r.r j(.f — .rj . . . (.r— .r„.).
Désignant le quotient par R, on aura
56) R = A{.T — x„,+i){x—Xu+^) . . . (x — Xf,).
Donc les f^—fi' quantités Xf,.+i, Xu'+^,...x^, seront les racines d'une équation ^=0 du degré /t — n', dont tous les coefficiens sont exprimés rationnellement par les quantités x^, x^, x^, . . . x^.; Y{^^ù^ V (^-^a)? • • • Vif^t*)- Faisons
Cj == ,^2 = f3 = ... = «/,, = 1, Vi + l^=^l".+2^^ . . . = f^. = 1,
•*>+i = Vi ' ^,« +2 =2/2' • • • '"^"^ = yy
on aura, en désignant par i|i(a:) la ioncûonj "^ ,
"* '^ I z=V — ^1J^ — ^'ij^ — %'i/3 — ... — i^y;/', où V est une expression algébrique et logarithmique. Les quantités x^, x^,...Xft^; x\, x\,'...x'^^ sont des quantités variables quelconques, et y^, y^,...y^, seront déterminables à l'aide d'une équation du degré v'.
ftlaintenant nous verrons qu'on pourra toujours rendre v' indépendant du nombre [a -\-^ des fonctions données. En effet cherchons la plus petite valeur de v'.
En supposant indéterminées toutes les quantités a^, a^,...c^, c^,..., il est clair que // sera égal à l'un des deux nombres 2n-\-v^ et 2m -{-i>^, où v^ et v^ représentent les degrés des fonctions cp^x, (p.^x. Soit p. ex.
on doit avoir en même temps: >
ju = ou > 2m -\- Vj, d'où, en ajoutant, on tire
fi= ou> m-\- ?i-\
or
donc
y' = OU> -J^— 1,
ou bien, désignant le degré de (fx par v,
38) »" = ou>y — 1.
De la on voit, que la plus petite valeur de p' est ^"~ - ou -^ — 1, selon que
V est impair ou pair.
Donc cette valeur est indépendante du nombre //i + z/j des fonctions données; elle est précicément la même que le nombre total des coefficiens d^, ô^, fTj, . . . dans le 6"* théorème. On aura maintenant ce théorème:
Théorème VIII. Soit '\\)x=J-^—^-t, où r est une fonction rationjielle
quelconque de x, et (fx une fonction entière de degré 2v — 1 ou 2v, et soient x^, .r„, ...:r„, x\, ar'^, . . . .x'^ des variables données. Cela posé, quel que soit le nombre //j-j-iWa des variables, on pourra toujours trouver au moyen d'une équation algébrique, v — 1 quantités y ^y V ^^ • • • y r-\i telles que:
3î)) \ '^'^i "'" ^''^•' "!"■••+ '^''^'"' ~ '^^'i ~ '^'•^'■i — ... — V'•^•'^, (= *'-f-fi- V'»/i + ^,'/•.'/•2 + • • • + f'-iV^,'-i,
V étant algébrique et logarithmique, et e^, e.,,... f,i égaux à -{- 1 ou à — 1.
On peut ajouter que les fonctions y^, y.,,---y,'-i restent les mêmes,
quelle que soit la forme de la fonction rationnelle r, et que la fonction v ne
change pas de valeur en ajoutant à r une fonction entière quelconque du degré
Les équations (33) qui déterminent les quantités a^, a^,...c„, c^,... deviendront en vertu de la formule (59)
/Ô.r, .V{cp,x^) = ^^x^Y{cp,^x^), 9.r'^ Yi^p ^x\) = — 0'^x\ .^(y^^g, 40) )'*-^-2-l^(yi^-2) = 6 1^-.- 1^(^2-0, 6;r'.^.K(r/)^.rg = ^^x'^Y(fp.^x'J,
(ea;^,.l/(9?,a;„)=9^a;„.l/(y,,.r„), Wf,^Y(Vi^'f^,)= — ^i^'f^-Vi^Pz^'f.)' Pour déterminer f^, f, , . . . f,.-i, on aura les équations:
41) ]^y-,-Viv x,y.J = f J ,y., . Vi7.,y.dy
iiCS fonctions y^, y^, • • • J/v-i sont les racines de l'équation
42) (Si/)--9iy — (Siy)'-9-2y -o.
(^ — ■ri)(^— ■r.,)...(5^— J„,)(ir— x'i)(^— x'.,)(^ — a'„ )
Le degré de la fonction ^y est 71^— — ^'- et celui de 0,y est
m = Il -f- r , — »'.
La formule (39) a lieu si plusieurs des quantités x^, x^, . .. x\, x'^,... sont égales entre elles, mais dans ce cas les équations (40) ne suffisent plus pour déterminer les quantités «„, a^,...Cf,, c^,...; car si p. e\. x^=x^ = . ..=Xk, les k premières des équations (iO) deviendront identiques. Pour avoir les équations nécessaires dans ce cas soit pour abréger
Gj;.1/(9j^) — ^^x.y{(p^x) = ).x.
L'expression — ■- — doit avoir une valeur finie en faisant x = x^. De la on
tire d'après les principes du calcul différentiel, les k équations 43) ;.x, = 0, ;.'.r^ = 0, '/."x^ == 0, . . . Âf'^-'>;r^ = 0, et ce sont elles, qu'il faut substituer à la place des équations
Ix = 0, hx^ = 0, . . . /.Xk = 0, dans le cas ou x^ = x^ = . . . x^.
Note sur quelques formules elliptiques.
fl ai présenté plusieurs formules qui tiennent au développement des fonctions elliptiques qpcf, fa, Fu, dans le cas où les modules e et c sont réels. 11 sera facile de tirer de ces formules d'autres formules analogues pour le cas où c' est une quantité négative. C'est ce que nous ferons voir.
Soit pour plus de simplicité c = 1. Cela posé, si l'on fait
1) ;.« =/•("- — ba\ où b = î ,
on trouvera aisément, en vertu de la définition de la fonction f, que
en faisant
X = ).a et c =
Donc le module c est plus petit que l'unité, et comme on a 6 = |/'(1 — c% b sera son complément.
On trouvera aussi
rfO
2 Jo v/(l x2)(l — 62x2) J o
V/(1 — 62sin26) ' Si l'on fait
4) ;.'« = Y{\ — A*a), Va = YiX — c^AV),
on aura encore
et en faisant
n\ ^^ /*T d% xa' /•
' 2 ~~Jo /(l — c^sia^O)' 2 "Vo
>/(!— ô^sin^e)
on a, en vertu île (3) 7)
ta
- = — -, W = htù\ BJ := fto'
Considérons maintenant tVabord la formule (18o) pag. 216, qui donne la valeur de fa. Pour en tirer celle de la fonction A«, il suffit démettre ~ — b.a
à la place de «. Faisons a = — — h.O et pour abréger,
(» = e , r=.e alors la formule (183) donne sur le champ:
