f\ + r 1+r» 1 + rS y

T"" VT^^' ï=75~" TlTTr- •;' c'est-à-dire, de vertu de la formule (8')

d'où

Eu faisant dans l'expression de ):d:

on a

et donc:

d'où l'on tire en vertu de (12):

Enfin si l'on fait dans la formule (11) 6= ^, on trouvera.

■/.'•O = ]^(1 — c"") = b, (>* = r, donc

et par suite

2v/r En comparant ces valeurs de A, A', A" à celles plus haut, on en déduira ces formules :

14) i^c = h:zL. ^-'\ }-'" ...,

15) l/^ = V2.Vr.\±^.l±l

dont l'une est une suite des deux autres.

Si dans l'expression de Xd, après avoir divisé les deux membres par

es

on fait 0-=0, et qu'on remarque que

-^ =z 1, pour 6 = 0,

on obtiendra

17^ vc i/^ — (i-^^xi-^^jg-^-^)---

De là on tire, en substituant la valeur de Yc:

^ V TZ ~ (l-r)(l + r-^)(l — /■3)(l + /-4)...

= (1 + rf (1 + r^f (1 + r'f . . . X (1 — ?'') (1 — r*) (1 — ?•«) . . .

=((l+r)(l+7-')...(l+^-*)...)Vi+'-)(l+>-')(l+^-')-X(l-?-)(l-»'')(l-^')-" A l'aide des formules (16, 14, 18) il est facile de trouver l'expression des

produits infînis

En effet, si pour abréger on fait

^ lP'=(l + r^)(l+0(l + 7-«)...

et quon ait égard à la formule

les formules (14, 16) donneront sur le cbamp: d'où l'on tire:

Cela donne les produits P et P'. En les multipliant entre eux, il viendra:

Vh

De mênip la forniulo (18) donne, en substituant les valeurs de P, P':

l/-^ = P».P'.(1 —r)(l — ?-Vl — ?•").. ., et de là:

22) (i,.)(i;.^xi.3)... = .li4£.-|/^,

formule due à 31. Jacobi (Tome III. pag. 195 du journal de M. Crelle, où ce géoiuètre en présente plusieurs autres très remarquables et très élégantes).

Des formules démontrées précédemment on peut tirer aisément un grand nombre d'autres.

En voici quelques unes des plus remarquables. Si l'on fait pour abréger

on aura

04^ )(^'A— '^ .Va sin.r l-Vc"^2x + y^ l-2g4co.2x + y>' -*; '\^-^;— 7^- ''9-^'n-^-l 2^ ^„,2^^ç2 1-293 cos2x + ç«-- •

25) ;■{^.^•)^2^/lry■cos.r.^^'f-f"^^;^?;;-"-•f^t.. ^ Vtc / F c ^ ' 1 — 2? cQs'lx+q^ 1— 2^3 cos2j- + jfi

Ofi^ :'/î:*!:r^— T/A l + 2ycos2j + ?-^ 1 + 2y3 cps 2.r + g^

Ces formules ont été déduites respectivement des formules (10, 9, 11), en changeant c en b, et en faisant ensuite

En comparant ces valeurs avec celle que M. Jacobi a données pour les mêmes fonctions à l'endroit cité, on parviendra à des résultats remarquables. Savoir, en faisant dans la formule (5) de M. Jacobi, k = c, on aura :

Îl +2q cos 2j + 2q* cos 4x + 2q^ cos 6j + . . . 1 — 29cos2x + 2q* cos 4x — 2^' cos 6j + . . . (1 +2ycos2j + y'')(l +2q^ cos2j+9°)(I + 2yS çqs 2.r 4- ?'")•• . (l — 2j cos 2j: + î2)(i 2j3 cos 2j + q'^){l — 2q^ cos 2s + y»") . . .

formule qui doit avoir lieu pour des valeurs quelconques réelles de x et q, en supposant q moindre que l'unité.

En prenant les logarithmes des valeurs de /. (^ xj etc., on trouvera après quelques réductions faciles:

28) logA^— a;j = log2— ilogc— 1^. ^Ti-f logsin:r

+ 2(cos2:r. -^-+|co.s4.r.jl!^ + ^cos6.r. j?L4...),

29) log A'f — .r) = log2+ ^logô — jlogc — ^ ^ ti -(- logcosa; + 2(cos2a: ? |-icos4ar. -^^ 1- 1 cos6:r.--?— -• + . . .),

30) logA"(^;r).-^log6+4.(cos 2.r. j-?^^ + |cos6:r.^ + ...). En faisant a: ^ 0, on trouvera :

En posant dans les formules (206) et (207) pag. 220: « = 1 ^^ on

trouvera les expressions suivantes :

35) ;. ("^x) = ^,.Yq. Uin x.-^ + sin3:r. -^ + sin5:f . -^ +••.),

34) A'f-.r) =4^.lA/. fcos^. --— + cosS.r.— ?- 4-cos5^. ^+ . . .),

Ces formules offrent peut-être les plus simples expressions des fonctions elliptiques en quantités connues.

Voici encore deux autres formules, ({u'on déduira des équations (204) et (205) pag. 219, en y faisant « = -5 f'^:

> ^ ' c'-a' V 1+r 1 + /3 ' l+rs P

>* ^ ' CCJ' \ 1 — r 1 — r' ' 1 — r* /

où r signifie la même chose que précédemment.

Il y a à remarquer que les quantités r et q sont liées entre elles par l'équation:

37 ) log ?• . log ^ :=: n^.

A l'aide des expressions des modules c et b données plus haut, on pourra trouver une relation générale entre les modules de deux fonction elliptiques

qui sont réductihies lune à l'autre. En eflet on pourra démontrer, comme je l'ai fait (voyes pag. 28.'>) que si deux fonctions elliptiques réelles:

^ ^'' ^0 v(l — c- silice)' ^^' > Jo V(l— c'-^siii^O')'

dont les modules c et c' sont moindres que l'unité, peuvent être réduites l'une à l'autre à l'aide d'une relation algébrique entre sin Q et sin 6', on peut trouver deux nombres entiers vi et n, tels que l'équation

' "Jo i/ri — c^sin^e) Jo

\/(l — c^sin^e) J o v(l — 6'*siii*ô) n n

'Jo v/ (1—62 silice) ' J ç,

• (1— 62siii2ô) Jo v^(l — c'^sin^O) soit satisfaite. 6' est le complément de c', savoir b' = |/^(1 — c'*).

Si cette condition est satisfaite on pourra toujours déterminer sin B' algébriquement en sinfl de manière que

où a est un coefficient constant.

Cela posé, désignons par lo", o", ?•', q', les valeurs de w', es', r, q, qui répondent au module c', on aura en vertu de la formule (14):

^C' = il-r')(i-r'^)il-r'^)-..

OÙ r' = e °° . Mais l'équation (30) donne :

donc

c'est-à-dire :

Donc on a ce théorème:

Une fonction elliptique réelle étant proposée, si son module c est donné par la formule:

0/i ««?■« le module de toute autre fonction elliptique réelle, réductible à la

première, en mettant au lieu de r la puissance r^ , oii n et m sont deux

nombres entiers et positifs quelconques, c'est-à-dire, on aura en désignant par c' le module de la nouvelle fonction:

42) i^C = (l-r^Xl-r'^)(^-r'^)--- .

En faisant

45) f, = i/2.|^^.lti!.l±^.l±4...

on aura encore la formule suivante:

44) y-c' = V2.y'q^.l±i^.^±iJ-^J±l.

Dans le cas particulier où le module c est 'Y\-, on a i3' = a)', donc:

r ■=. e'" =■ q. De là il suit que le module c de toute fonction elliptique réelle, qui est réductible à la

fonction /* — — j — r-^ j est donné par la formule :

45) Vc =

2ti: 4ii 67C

ijl l + e' ^ l + e ^ l + e f^

l + e H- i + e" 1^ l + e~l^ où (i est un nombre rationnel quelconque.

Au reste c pourra toujours être exprimé dans ce cas en termes finis à l'aide de radicaux.

Si l'on suppose b'=.c, on a c' = b, o)" = w', a'' = w', mais:

xs" ma' 6)' '

donc:

ts ' m

De là nous concluons:

Si deux fonctions elliptiques réelles, dont les modules sont leurs compléments réciproques, peuvent être réduites l'une à l'autre le module sera donné par la formule:

46) Vc =

j p-Tc/|x i e-3n;/(i j e-5TC/ix

et son complément 6 par celle-ci:

z 3tc 5t

1 + e ^^ 1 + e ^1^ 1 + e ^^ OÙ ^ est un nombre rationnel quelconque.

Nous ajouterons qu'on a en même temps:

48) F{b,^') = kVf,.F{c,^},

où k est UD autre nombre rationnel.

Cela donne immédiatement le théorème suivant: Si l'équation différentielle

tn\ ^ ; „ ds^

est intégrable algébriquement, il faut nécessairement que le coefficient a soit égal à la racine carrée d'un nombre rationnel et positifs en supposant que les quantités A, B, C, et a soient réelles ; et si a a cette forme, on pourra trouver une infinité de valeurs convenables pour A, B, C.

Nous terminerons ces remarques par la démonstration d'une formule curieuse, qu'on tire de l'équation (20) savoir de la formule

(1 +,.)(! + ,.3)(1 +,.a) . . . = KS. -4^.

V{hc)

En y changeant c en b, b se changera en c, et r en q, donc:

V(bc) En comparant ces formules, on voit que l'équation

SO) ^- {^ + r){i + r^){\ + r^)...^~{i + q){l + q'){l + q'')...,

a lieu toutes les fois que les quantités r et q sont moindres que l'unité et

quelles sont liées entre elles par l'équation

log r . log q = -^'.

Il existe un grand nombre de relations semblables entre q et r, par exemple la suivante:

]/[loî,^(-l)].(| + r + r^ + .•' + r^^.0=l/[Iog■(l)].a + y+9* + ry» + .^^^^

qui est due à Mr. Chaïuhij {Exercices de mathématiques). On pourra la déduire de la formule

j/^: = 1 + 2<? + 2^* + 2/?^ + . . ., donnée par Mr. Jacobi, en y cliangeant c en h.

xvn.

Sur le nombre des transformations différentes, qu'on peut faire subir à v?ie

fonction elliptique par la substitution d^une fonction rationnelle dont

le degré est un nombre jn'émier donné.

k^oit pour abréger

1) ^ = {\ — x''){X — c•'x% A' = (l — /-)(1 — c'V) et supposons qu'on satisfasse à l'équation différentielle

2) A = «.iL

en y suljstitxiant pour y une fonction rationnelle de x de la forme

où 2n -|- 1 est un nombre premier et au moins un des coefficiens ^2„+i et 5.2.i+i est différent de zéro. En supposant, ce qui est permis, la fraction précédente

réduite à sa plus simple expression, nous dirons que -^ se transforme en «. —

par la substitution d'une fonction du degré 2n-{-l.

Il s'agit maintenant de trouver toutes les valeurs différentes de y «jui répondent à la même valeur de 2«-j-l. Si l'on fait

et qu'on désigne par A9 une fonction de 9, telle que 5) d^ = -^ pour X = ;.9,

et en outre

A(0) = 0, il suit immédiatement de ce que j'ai dit sur le problème général de la transformation des fonctions elliptiques dans le mémoire XIII., qu'on satisfera de

la manière la plus générale à l'équation -^ ==«.—- dans le cas où i52^j=0,

en prenant

|y ^ ■ (i c2X2a.x2) [1— c2X2(2a). JT*] ... [1 — c-^\\no.).x'^'\ '

a = '-^. (/«.i(2«)...;.M)^ où « est une quantité de la forme

TM et 7W* étant deux entiers. Maintenant, ayant trouvé cette solution, il suit encore de la formule (ol) du mémoire cité que toutes les autres valeurs de y

seront de la forme ^ ,'^^'^ , où y est donné par (o), et p, f, g, o* sont des

quantités constantes qui doivent satisfaire à l'équation

Cette équation donne vingt-quatre systèmes de valeurs différentes. On trouve ainsi qu'à chaque valeur de « répondent 24 valeurs de y et douze valeurs du module à. Mais comme les valeurs de y sont deux à deux égales, mais de signes contraires, nous n'en compterons que douze. Par la même raison nous réduirons le nombre des valeurs de c* à six. Cela posé, si l'on fait pour abréger:

= Ma(|-+«)---^(|-+ ^«)]'; à=c-HQ,a.).{2a)...l{na)y,

on trouvera aisément ces valeurs correspondantes des trois quantités c', «, y: I. II. III. IV. V. VI.