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I « = + - , + fVf, + 1 (1+.)=/, + 1(1-0% ± - (l+"0% + \iX—^i)%

"ïT' T * ^ 1+ s v^.p 1 — £ i'+5.j» 1 + Ei «+5-P-»' 1 — £»' t>Hh5-;>-»' » ^ ^' 1 — s'w+ô./»' l + £'f+6.;>' 1 — SI »+ô.j<.» ' 1 + £»■ i^+â-î»-» '

On voit qu'à chaque valeur de à correspondent deux valeurs différentes de la fonction y. Maintenant si l'on attribue aux nombres m et m} des valeurs entières quelconques, on aura toutes les -solutions possibles de notre problème. Or parmi ces solutions il n'y aura qu'un nombre fini qui seront différentes entre elles. Cherchons d'abord les solutions différentes qui répondent au premier cas, savoir c* = t* et y =■ — — • Pour les trouver soit

a} une valeur de « et désignons les valeurs correspondantes de y, p, v, ê, e par y^, p^, v^, è^, t^. Cela posé il est évident, que si y^ doit être égal à+y, on doit avoir:

Or en vertu de (8) on ne pourra avoir 2>^ = p, <» moins que les quantités /.'«, A*(2a), ... /*(««) ne soient, quoique dans un ordre différent, égales à celles-ci:

Soit donc

où fi est moindre que n. On en tire Ac<* ^ + /(/'«) et de là, en vertu du théorème II. du mémoire XIII:

a* = km -\- Ar'w^ -j- fia, où k et k^ désignent des nombres entiers quelconques. Cela donne

et puisque

;.(6 + (2,1 -f 1)«) = Â9, et 2rt -|- 1 est un nombre premier, il suit que

Donc les solutions qui répondent à a et a^ sont précisément égales entre elles.

Soit d'abord m} z=.0 en sorte que « = ^

ma

Si l'on fait k^ = 0, et qu'on détermine les nombres k et /( de la manière à satisfaire à l'équation

on aura

On voit par là qiie la solution qui répond à « = "*" est la même que

celle qui répond à « = , quel que soit m.

Supposons maintenant m^ différent de zéro, on aura

Si l'on détermine les deux nombres entiers [i et k^ par l'équation

-^2re+l 2b + 1

et h par celle-ci : h + -1^

2« + l 2«+l' où y est positif et moindre que 2w -\- 1, on aura

1 o* + vo

2m H- 1 ' On voit de là, que pour toutes les valeurs différentes de v et yt, il suffit de donner à « les valeurs:

oi+2no

oi+2o

-^ 2b + 1' 2w+1' 2« + 1' 2b+1''' 2n + l Or toutes les solutions ainsi obtenues seront effectivement différentes entre elles; car si l'on attribue à « et à «^ deux valeurs différentes de la série (10), il est clair qu'on ne pourra satisfaire à l'équation

u} ■=. k(ù -j- k^w^ 4: i.ia, qui exprime une condition nécessaire de l'identité des deux solutions qui répondent à « et à «^

Donc le nombre des solutions différentes qui répondent à y= — — est

2w + 2. Maintenant si l'on attribue à « toutes les valeurs (10), les formules (9) donneront 1 2. (2?^ + 2) solutions, et il est évident que toutes les 12.(2«+2) valeurs correspondantes de y seront nécessairement différentes entre elles. Cependant il ne répond a ces 24.(m-j-1) solutions que 12.(w+l) valeurs du module. Il faut ol)server que la conclusion précédente n'a pas lieu pour le cas particulier où n = 0. En effet, dans ce cas y n'aura que douze valeurs différentes, car les deux valeurs a = co, a = w^ auxquelles dans ce cas se réduisent les quantités (10), donneront pour y une même valeur, savoir y = x. 11 faut remarquer également que le module c ne doit avoir les valeurs zéro et

l'unité. Dans ces cas la fonction / — n'est plus une fonction elliptique, mais

circulaire ou logaritbmique.

On pourra mettre les huit dernières valeure de y (9) sous une autre forme qui est à quelque égard plus ('légante. En effet on pourra démontrer qu'on à

y^. , ...(l—2k.,yc.x-\-cx%

v—â.py—l={l—xV—c){î—2ky—c.x—cx') {l—2/iiy—c.x—cx^)„.

. . . ( 1 — 2k\ Y— ex — cx^).

En changeant le signe de x, ou aura des expressions semblables pour v-\-d.p Gt V -^ d.p.y — 1, Les quantités k^, k,^, k^, . . . k„ sont données par la formule

f, Mt^«)

Pareillement on a

où A(9) désigne la quantité