__ Hv
Donc le numérateur et le dénominateur de la fraction (5) qui exprime la valeur de y, se trouvent décomposés en facteurs dans tous les cas.
Dans le cas où le module c est moindre que l'unité, les équations (9)^ nous font voir, que généralement les modules des transformées sont imaginaires, excepté ceux qui répondent à
a = et a « = ,
et en même temps à l'une des solutions I., IL, III., IV. Il n'y a doue que huit modules réels. Si l'on ne désire que ceux qui sont moindres que l'unité, on n'en aura que quatre. Cependant il pourra arriver, c ayant des valeurs particulières, qu'un plus grand nombre des modules transformés sont réels. Je ferai voir dans une autre occasion, comment on pourra trouver toutes ces valeurs particulières. Pour le moment je ferai connaître une manière d'exprimer toutes les valeurs du module c^ à l'aide de produits infinis.
Si c est moindre que l'unité, co sera une quantité réelle, m* au contraire sera imaginaire ; car on a
c'est-à-dire, si Ion fait
iO
ou
on aura
13 /• ^ dx
^Jo V/[(1-^^)(1-6'^X'^)]'
où a est une quantité réelle comme m. Cela posé les 2n-\-2 valeurs de «
deviendront :
o ciî + o n32 + (2« + l)o
2«+l' 27i+l ' * ■ ■ ' 2« + l A la place de ces valeurs on pourra aussi mettre celles-ci:
o Gi t3/+2o a?+4o OT + 4«(>)
ou f.
Eu faisant <•=!, e = ~ (formule 189. pag. 217), et mettant ensuite
bco et hrs au lieu de « et es, et enfiu « = 0^" — ôj, on trouvera )A=fa et la formule donnera en vertu de quelcpies réductions faciles :
,^.,, 2 ,V ./. N [l-Veos(Ço).,^][l-2,^cos(^N)^çs]...
12);/V= lA/.Sin(ô)
ts
[l — 2y . cos (— o) + ?2 1— 2?=" cos (^ s) + î* ] •
OU </ = e
Pour avoir la valeur de s (8), il suffit de chercher les valeurs de 7.[^ + «) A (^ -|- 2«j, .../. (^+ ?/«) au moyeu de la formule précédente, et de les
multiplier ensuite entre elles. D'abord si Ton fait « = ^ " ■ on trouvera aisément ^ 2m + 1
De même si l'on fait et pour abréger
ormule :
sin
on parviendra à cette formule:
Donc on voit, que pour avoii' toutes les valeurs tic ^, il sulTiit de substituer dans l'expression
> ^ ^ Vl + o 1 + 93 l + «^'"-i )'
au lieu de q, 2w + 2 valeurs /?*"+S </-"+», d^ ff'+\ d^ tf"+\...ôl".q'^"+\ où 1, dj, d*,...sont les racines de l'équation (5-"+* ^ 1. Deux seulement des valeurs de f sont réelles, savoir celles qui répondent à la substitution de 0^"+*
et ^^"■'"S c'est-à-dire à
(( = et u =
Il suit encore des formules précédentes que toutes les 2n + 2 valeurs de s sont nécessairement diflérentes entre elles, excepté peut-être pour les cas de valeurs particulières du module c. Ayant trouvé les valeurs de s, on aura celles du module c* à l'aide des équations (9). Il y a à remarquer que l'expression (lo) est précisément la valeur de l^c, con)me on peut le voir en faisant 6 = -^- Dans le cas où l'on suppose y de la forme — .«', le module
r*, suivant I. (9) sera égal à t^, donc j/c^ = f. Par conséquent dans ce cas le module c se cliangera successivement dans toutes les valeurs du module c*, si l'on remplace dans la fornuile
271+1 2n-|-t 2n-t-l in+l
q par q^"+\ Vq, (5j/ </, à\V q, . . . à'\^^q.
Ce théorème s'accorde parfaitement avec le théorème énoncé par Mr. Jacobi dans le tome III. pag. 195. du journal de Mr. Crelle. Seulement à l'endroit cité la fonction de q, qui exprime la valeur de |/r, est présentée sous une autre forme. Donc on trouverait immédiatement le théorème de ce géomètre, si l'on pouvait parvenir à démontrer l'identité des deux fonctions
17^ Va (l±^ 1 + ?' y ?Uy^ + /^%... ^ '^-''Vl + y l + çs J l+25-+2ç9+2yi6+...
On pourra encore démontrer qu'on aura les 2w -\- 2 valeurs de f\ en mettant dans la formule
iO ■'
les quantités r'"+\ Yr, dV'r, d'^yr, . . . ()*"|/?-, au lieu de r, la lettre r dé-
sio'naiit la quantité e ° . Donc cette quantité est liée à q par l'équation
Pour avoir la valeur du coeftlcient a il faut connaitre celle de «5 (8). Or on pourra la déduire aisément de la formule (12), en y faisant f) = «, 2«...w«. On trouve de cette manière que les valeurs de d qui répondent respectivement à
o ai zsi+'it) Tst + 4n(ù
" 2«+l' 2n + l' 2h + 1 '"'~~2n + l ' sont égales à la valeur de l'expression
2n+l 2n+l 2n-fl 2n-f-l
en y supposant au lieu de q les valeurs q^''+^, y q, d^q, d\yq, . . . d\"Yq-
Théorème général sur la transformation des fonctions elUptlques de la seconde et de la troisième espèce.
^i une intégrale algébrique f{y,x)=^0 satisfait à l'équation
dy dx
^/[(l-3/■')(l-c'V-)]~'^■ i/[(l-a-*)(l-c*x^)] ' on aura toujours:
OÙ A, B, n sont des quantités données. A', B', m, k des quantités constantes, fonctions des premières, et p une certaine fonction algébrique de y et x. Il est très remarquable que les paramètres m et n sont liés entre eux par la même équation, que y ai x; savoir /"(?«, n) = 0. Dans le cas où n est infini, le premier membre deviendra seulement une fonction de la seconde espèce et dans ce cas on pouira démontrer que
où V est une fonction algébrique des variables x et y.
Au reste il est aisé de démontrer la fonmile («). 11 n'y a qu'à différentier
l'équation
/dx /» dy
v/[(l-x-^)(l-cV)] —J v^[(l-2/^)(l-c'V)]' par rapport au module c. Je me réserve de donner dans un autre mémoire des développemens plus étendus sur le théorème ci-dessus.
Théorèmes sur les fonctions elliptiqnes.
iia formule donnée par 3Ir. Jacobi dans le tome 111. pag. 86. du journal de M. Crelle peut être établie facilement à l'aide d'un théorème que nous allons démontrer dans ce qui suit.
En faisant if 9 = x, on aura, en vertu de ce qu'on a vu dans le §. 111. du mémoire Xll. pag. lo7,
où R est une fonction rationnelle de x, le numérateur étant du degré {2n-\-Vfet le dénominateur du degré {2n-\-ïf — 1. L'équation (1) est donc du degré {^n-^lf et ses racines peuvent être exprimées par la formule:
en donnant à m et /i toutes les valeurs entières depuis zéro jusqu'à 2rt incl.
Soit pour abréger
l'expression des racines sera:
4) x^ ç?(ô + mu -f- //,')').
Cela posé, nous allons démontrer le tbéorème suivant:
Théorème 1. Soit t/9 une fonction entière quelconque de la quantité <f{^ -\- mu -\- fiij) qui reste la même en cliangeant 6 en 0 + " ^^ <'" ^ ~i~ l^- Soit V le plus grand exposant de la quantité çO dans la fonction ifO on aura toujours
5) i/'9=/> + <?./"(2?î4- 1)0.jP(2«4-1)9
oh p et q sont deux fonctions entières de (f.{2n -\- 1)^, la première du degré
V et la seconde du degré v — 2
Démonstration. En vertu de la foiinule (10) pag. lio. on a
,.(U 1 nn, L- „B\ — 9S -firha. + ^J-^) • F{,na + ;j.g) + 9(;»a + jx^) ./S . Fh <f\^ -f- ma -t- ^,p) i+e*ci'.9^(»na + iJ.p).ç'^9
Cela l'ait voir «pie \p^ pourra s'exprimer ra(ioiineIIpinent en çiO et /O . F^. Or le carré de f^.Fti est rationnel en c^O, savoir
(fi}.FDf= (l — c\'0) (1 + c-'ff^), donc on pourra faire en sorte que l'expression .de \p() ne contienne la quantité /"O./^O qu'à la première puissance. On pourra donc faire
7) v'9=Vi(t0) + V'..M)./-0.F0,
où •V'i(ff^) '^t 1/^2(^6) sont des fonctions rationnelles de çjO.
Si Ion met o) — 0 à la place de 0, on aura, en remarquant que j;(w — 6) = çO, /"(w — 6) = — A ■'^(w — 0) = F9 :
8) i/'(w — 0) = V-'.Cf 0) — 1/^,(7 0) ./'O . FO. Des équations (7 et 8) on tire:
Considérons d'abord la fonction ^/'^(yO). En y mettant 0 + « au lieu de 9, il viendra:
or on a 'i/'(9-|-«) = '/'^j et par conséquent aussi, en mettant w — a — 9 au lieu de 9:
<|'(co — 9) = 'f (« — « — 0) ; donc
n'i(ff{^ + «)) = è (v^9 + v(« — 0)),
c'est-à-dire
On aura de la même manière:
La première de ces équations donne, en mettant successivement 0+«, 0-(-2«,... . . . au lieu de 9 :
11) Ti(9^(9 + WfO) = V'i(']F9), où m est un nombre entier quelconque.
La seconde équation donne également
d'où, en mettant ^ -\- mu au lieu de 0, et ayant égard à l'équation (II) on tire:
12) rp^(cp{(i-{-ma-\-f,fi)) = ^■^{,f^).
Donc la fonction i/'i(ffO) reste la même, en y substituant au lieu de ^9 une autre racine quelconque de l'équation (1). En attribuant à m et /i toutes les valeurs entières depuis zéro jusqu'à 2n et puis ajoutant, la formule (12) donne:
15) t/.,(7 0) = (2^^, . f »f ^^^ • ('He + »î« + //,'?)).
Le second membre de cette équation est une fonction rationnelle et symétrique des racines de l'équation (1), donc on pourra l'exprinier rationnellement par les coefficiens de cette équation, c'est-à-dire en 7(2«-f 1)9. Soit
la quantité p sera une fonction rationnelle de (p(2n-\-\)^. Or je dis que p
sera toujours entier. En effet soit y(2«+l)9 = ?/ et]j=^, où p' et q' sont
des fonctions entières de i/ sans diviseur coninuin. Soit y = (f(2n -j- î)â une racine de l'équation q' = 0: la quantité p = ^ (x^i^ -{- 'ip{co — 0)) sera infime en faisant 6 = fV, donc on aura i/^(5 -f- ^'(« — f5) = ^; maintenant il est évident par la forme de la fonction if'Q, que cette équation ne peut subsister à moins qu'une quantité de la forme
cf{â-\-ma-\-fi^) ou cp{o} — fT-|-?rt«-}-/(/j) n'ait une valeur infinie. Soit donc cf(â-\-mrc-\-fi^) = L, on aura en vertu de l'équation (50) pag. 155:
Ô = {m' -j- \yo + ('*' + î)a** — ^" — /'/^' où îM' et »' sont des nombres entiers; or cette valeur de d donne:
g)(2M+l)(5~=(p(((2»+ !)?«• + «— 2/rt)" + ((2'* + lK + '* — 2/'>^+ |-+ îO' c'est-à-dire (26. pag. loi.):
Mais cela est impossible, car une racine quelconque de l'équation q' = 0 doit être finie. On trouvera également que «y(w — c) -[-?«« -|- /</?)= i donne (p[2n-\- l)()r=l. La quantité p est donc une fonction entière de (p{2n-\ 1)0.
Considérons maintenant l'équation (10). En divisant les deux membres par f{2n -f 1)9 .F{2n + 1)0, on aura :
En vertu de ce qu'on a vu (45) pag. 157, on aura f(2n + 1)9 = f^ . u, F(2n-\-l)^ = F^.v, où 11 etv sont des fonctions rationnelles de r/;9; donc le second membre de l'équation précédente sera une fonction rationnelle de gjô. En la désignant par x{(p^)^ on aura:
/V f ''J — 2 • y(2„ + ] )6 . ii-Ci/j + 1)9
En mettant ^ -\- a au lieu de 9, il viendra i/'(9 -f- ct) = ip% i/;(to — (9 + «)) = xp{{û — 9),
f{2n + 1)(9 -h a) = f{{^n + 1)9 + 2w(« + 2//Gii) = /-(aw + 1)9, F(2« + 1)(0 + a) = F{{2n +1)9 + 2?Hœ + 2//G5i) = F(2/^ + 1)9, donc on aura
X(«]P(9 + «)) = x(<ip9).
De la même manière on trouvera
On en tire, comme plus haut, à l'égard de la fonction '^\{(fi^), que ;f(ç^9) peut être exprimé par une fonction entière de 9(2?2+l)9. Soit donc
X(ç9) = q, on aura:
.f',(.]p9)./^ . F9 = ^.A2?<+ 1)9. F(2«+ 1)9, et enfin:
