i) if.9 =/> + «^'./■(2?^+l)9.F(2« + l

où p et q sont des fonctions entières de c;(2;/ + l)9.

Pour trouver les degrés de ces fonctions, soit (<p9)''.x9 le terme de ■\i)%

dans lequel ^9 est élevé à la plus haute puissance, on aura, en supposant g)9 infini:

où A est une constante. De même on aura

•V;(co— 9) = ^'.(y9)% et par suite: »,

mais pour ç;9 infini, on a ç(2w+ 1)9 = 5.(^9, où B est une constante. Il suit de là que }> sera du degré v par rapport à y(2rt + l)9. On démontrera de la même manière que la fonction q sera du degré v — 2, tout au plus.

Voilà démontré notre théorème.

Dans le cas où la quantité ^9 ne monte qu'à la première puissance dans V9, on a 1'= 1; pai' conséquent q sera du degré — 1, c'est-à-dire q-=0. Donc on a dans ce cas

lo) i/;9 = ^ + 5.(/.(2h + 1)9,

où ^ et jB sont des quantités constantes, qu'on trouvera facilement en faisant 9 = 0 et ç)9 = i.

Soit par exemple 7r9 le produit d'un nombre quelconque des racines de l'équation (1), et faisons

il est clair qu'on aura ip{e) = '[p{6 -j- a) ■= \p{d -^ ^) en remarquant que

et nlû-{-{2n-\-l)iS-\-mu) = n{0-\-ma).

în en o o "^

Il faut remarquer que l'une des quantités A et B est toujours égale à zéro. On a A=zO, si le nombre des facteurs de nO est un nombre impair, et^=:0, si ce nombre est pair. Donc la quantité ipd est indépendante de la valeur de ô. Dans ce dernier cas, par conséquent, en faisant, 0 = 0 on a :

en 2n 2n la

17) y:^T:n{0+ma-{.f^^) = 2^2JMma + ^i^).

Donc en faisant

on a

où k et k' sont des nombres entiers quelconques, moindres que 2?i-\-l. Cependant on ne peut pas supposer à la fois k = 0, k' = 0. Car cela donne nd = {(fd)^ et par suite v = 2, tandis qu'on doit avoir

De la même manière que nous avons démontré le théorème précédent on pourra encore établir les deux suivants:

Théorème II. Soit i/^Ô une fonction quelconque entière des quantités de la forme f{0-\-niu-{-fi^j), telle que

on aura:

'^i6=zp^q.^[27i-{-\)0.F{2n-\-\)e, où p et q sont des fonctions entières de f{2n-\- 1)6, la première du degré v et la seconde du degré p — 2, tout au plus, en désignant par v le plus grand exposant de fd dans ipd.

Théorème IIJ. Soit ■\\)d une fonction quelconque entière des quantités de la forme F{e-\-mu-\- n(i), telle que

ou aura

où p et q sont des fonctions entières de F{2n-\-l)0, la première du degré v et la seconde du degré v — 2, tout au plus, en désignant par v le plus grand • exposant de Fd dans ipd.

En vertu du premier théorème on voit sans difficulté que la valeur de

qrf^ — —\ exprimée en fonction de (pO, sera:

où p„ et q„ sont deux fonctions entières de (pO, la première impaire et du degré 271 -\-l, la seconde paire et du degré 2« — 2. D'ailleurs ces fonctions sont déterminées par l'équation

p\-q\{f(lf-{POf = (9'Ô-«\r+S où a„ est une constante.

Christiania le 27. Août 1828.

Démonstration d'une propriété générale d'une certaine classe de fonctions

transcendantes.

Théorème. Soit y une fonction de x qui satisfait à une équation quelconque irréductible de la forme:

où Pq, Pi, p^, . . . Pn-i sont des fonctions entières de la variable x. Soit

2) 0 = qo+q^-y + q^y + • • • qn-,.y"-\

une équation semblable, q^, qi, q^,-» • • • qn-i «îtaut également des fonctions entières de X, et supposons variables les coefficiens des diverses puissances de x dans ces fonctions. Nous désignerons ces coefficiens par a, a', a", ... En vertu des deux équations (1) et (2) x sera fonction de a, a', a", ... et on en déterminera les valeurs en éliminant la quantité y. Désignons par:

le résultat de l'élimination, en sorte que p ne contiendra que les variîibles x, a, «', a", . . . Soit /< le degré de cette équation par rapport à x, et désignons par

ses i-i racines, qui seront autant de fonctions de a, a', a!', . . . Cela posé, si l'on fait

5) i|^a: r=J'f{x, y) . dx

où f{x, y) désigne une fonction rationnelle quelconque de x et de y, je dis, que la fonction transcendante '\px jouira de la propriété générale exprimée par l'équation suivante:

6) 'ipX^-i^rpX^-^ ...-\-'i\>x^=.ii-\-J,\\o^v^-[-h\\o^v^-\- ...-\-K\ogv„,

V, «?!, ^2, ...*'„ étant des fonctions rationnelles de a, a', a", . . ., et k^, k^,...k^ des constantes.

Démonstration. Pour prouver ce théorème il suffit d'exprimer la différentielle du premier membre de l'équation (6) en fonction de a, a', a", ... ; car

il se réduira par là à une différentielle rationnelle, comme on le verra. D'abord les deux équations (I) et (2) donneront y en fonction rationnelle de x, a, a', a", . .. De même l'équation (3) : q = 0 donnera pour dx une expression de la forme

ilx = a.da-\-n'.da'-\-a''.da'' -\- • . -, où (e, a', a", . . . sont des fonctions rationnelles de x, a, a', a", , . . De là il suit que la différentielle f{x,y).dx pourra être mise sous la forme;

f{x, i/)dx = (px.da-\-(pyV.da'-^ cf^x . da" -{-..., où (fx, (p^x, . . . sont des fonctions rationnelles de x, a, a', a", ... En intégrant, il viendra:

i/'.r =ij'((px . da -\- f^x . da' + . . .) et de là on tire, en remarquant que cette équation aura lieu en mettant pour x les |U valeurs de cette quantité:

=f{iSf^x + ^^z + • • • + ff-îV)^^« + (Vi.^i + <;Pi^a + • • • + (py'c^)da' + ...). Dans cette équation les coefïïciens des différentielles da, da\ . . . sont des fonctions rationnelles de a, a', «",... et de x^, x^,...x^, mais d'ailleurs ils sont symétriques par rapport à x^, x^, . . x^^; donc, en vertu d'un théorème connu, on pourra exprimer ces fonctions rationnellement par a, a', a", ... et par les coefficiens de l'éfjuation ç = 0; mais ceux-ci sont eux-mêmes des fonctions rationnelles des variables a, a', a",..., donc enfin les coefficiens de da, da', da", ... de l'équation (7) le seront également. Donc, en intégrant, on aura une équation de la forme (6).

Je me propose de développer dans une autre occasion de nombreuses applications de ce théorème, qui jetteront un grand jour sur la nature des fonctions transcendantes dont il s'agit.

Christiania le 6. Janvier 1829.

Précis d'une théorie des fonctions elliptiques.

Introduction.

J^a théorie des fonctions ellipti(jnes, créée par Mr. Legendre, forme une des pai'ties les plus intéressantes de l'analyse. Ayant essayé de donner de nouveaux développeniens à cette théorie, je suis, si je ne nie trompe, parvenu à plusieurs résultats qui me paraissent mériter quelque attention. Surtout j'ai cherché à donner de la généralité à mes recherches, en me proposant des prohlèmes d'une vaste étendue. Si je n'ai été assez heureux de les résoudre complètement, au moins j'ai proposé les moyens pour y parvenir. L'ensemble de mes recherches sur cet objet formera un ouvrage de quelque étendue, mais que les circonstances ne me permettent pas encore de publier. C'est pourquoi je vais donner ici un Précis de la méthode que j'ai suivie, avec les résultats généraux, auxquelles elle m'a conduit. Ce mémoire sera divisé en deux parties. Dans la première je considère les fonctions elliptiques comme intégrales indéfinies, sans rien y ajouter sur la nature des quantités réelles ou imaginaires, qui les composent. Je me servirai des notations suivantes: A(^,r) = + |/((l;c^)(l — cV)),

Il{oc,c,a) =

/' dx

en sorte que

xi>{x,c), vij^x,c), n{x,c,a) désignent respectivement les fonctions de première, de seconde et de troisième espèce.

Puis je me suis proposé ce problème général : "Trouver tous les cas possibles dans lesquels on peut satisfaire à une équation de la forme: «i.c5(.r„r,) -f- a^.îsix^c^ + . . . + «„.G5(.r,„ c„)

"^ \+ a\.n{.i\, c\, aj + a\.n{x\, c\, «^ 4- . . . + «V/7(^V' ^V«!x) y-=u -f- A^ log ?'i + A„ log l'î + • • • 4- A., log ^J,, on

«"j, «"2, . . .«"p.; -«15 -«2, . . . A^ sont des quantités constantes, a-j, .Tj, . . ..r„; a-'^, .r'^, . . . x\,; x'\, x"^, . . . .%■'' des variables liées entre elles par des équations algébriques, et u,v^,v^,...v., des fonctions algébriques de ces variables."

J'établie d'abord les propriétés fondamentales des fonctions elliptiques, ou ce qui concerne leur sommation, en Aiisant usage d'une méthode particulière, qui en même temps est applicable avec la même facilité à une infinité d'autres transcendantes plus compliquées. En m'appuiant sur ces propriétés fondamentales, je considère ensuite l'équation dans toute sa généralité et je fais le premier pas à mon but en démontrant un théorème général sur la forme qu'on pourra donner à l'intégrale d'une fonction algébrique quelconque, en supposant cette intégrale exprimable par des fonctions algébriques, logarithmiques et elliptiques, théorème qui est d'un grand usage dans tout le calcul intégral, à cause de sa grande généralité.

J'en tire, conmie corollaire, le théorème suivant:

"Si/— — -, où r est une fonction rationnelle quelcoufjue de .r, est exprimable par des fonctions algébricjues et logarithmiques et par les fonctions elliptiques ii', 1/^1, 1/2, ..., on pourra toujours supposer

*) fi^ =M(^,^) + « . « (y) + «'V't(yi) + «". «2(^2) + • • •

OÙ toutes les quantités p, q^, q^, . . .q\, q\, . . .y, y^, y^, . . . sont des fonctions rationnelles de .r")."

♦) Ce théorème a également lien, si A(j',c) est la racine carre'e d'une fonction entière d'un degré quelconque.

De ce théorème je tire ensuite celui-ci:

"Si une équation quelconque de la forme (a) a lieu, et qu'on désigne par e un quelconque des modules qui y entrent, il y en aura parmi les autres au moins un module c' tel, qu'on puisse satisfaire à l'équation dififérentielle :

dy ds

àiy,c') ' A(jr,c)'

en mettant pour y une fonction rationnelle de x, et vice versa."

Ces théorèmes sont très importants dans la théorie des fonctions elliptiques. Ils réduisent la solution du problème général à celle de satisfaire de la manière la plus générale à l'équation

dy ds

où à la transformation des fonctions de première espèce. Je donne la solution complète de ce problème, et j'en tire ensuite la transformation générale des fonctions de première espèce. Je fais voir que les modules doivent nécessairement être liés entre eux par une équation algébrique. On peut se contenter de considérer le cas, où le degré de la fonction y est un nombre premier, en y comprenant l'unité. Si ce degré est désigné par fj, c' pourra avoir 6{fi -\- 1) valeurs différentes, excepté pour /<=1, où ce nombre se réduit à 6. La seconde partie traite les fonctions à modules réels et moindres que l'unité. Au lieu des fonctions ts{x,c), rSf,{x,c), n{x,c,a) j'en introduis trois autres, savoir d'abord la fonction ).{0), déterminée par l'équation

„ /»).9 dx

C'est la fonction inverse de la première espèce. En mettant x = >.d dans les expressions de ^o{x,c), n{x,c,a), elles deviendront de la forme:

vi,{x,c)=f{ldf.dd;

II{x,c,a) =

Mises sous cette forme, les fonctions elliptiques offrent des propriétés très remarquables, et sont beaucoup plus traitables. C'est surtout la fonction ).e, qui mérite une attention particulière. Cette fonction a été l'objet, du mémoire XII. où j'ai démontré le premier quelques-unes de ses propriétés fondamentales. On en trouvera d'avantage dans ce mémoire. Je vais indiquer rapidement quelques-uns des résultats auxquels je suis parvenu:

1. La fonction /.O jouit de la proprit-té remarquable d'être périodique de

deux manic-res diti'érentes, savoir non seulement pour des valeurs réelles de la

variable, mais encore pour des valeurs imaginaires. En effet si l'on fait pour

abréger

a /• * ds o y» 1 ds