y 0 M-r.r) ' Y-yoAÔM

OÙ b== |/(1 — c') et y^ — 1 := /, on aura :

}.{0 -f- 2g5) = ).0 ; /((9 -f- (oi) = }.0.

2. La fonction '/.O devient égale à zéro et à l'infini, pour une infinité de valeurs réelles et imaginaires de 0, savoir

/.(wm -f- fiioi) = 0, /.(?«c5 -\- {)! -}- 1^) w/) = i, oii 711 et H sont des nombres entiers quelconques, positifs ou négatifs. De même on a

/.O' = /.O, si 6' = ( — 1)'"0 -\- »m -\- moi; mais cette relation est nécessaire.

3. La propriété fondamentale de /.O est exprimée piir l'équation

OÙ 6' et 0 sont des variables quelconques, réelles ou imaginaires.

4. La fonction '/.O pourra se développer en facteurs et en fractions de beaucoup de manières; par exemple si l'on fait pour abréger

-It JI

Cï G)

q=e , p = e , on a:

■,>.^x^l Ya sinf.Tro'^'~^^'-''"^('^^")+9*JI^'~^y'-''"^^^^^^+g'^'^^~^g'-^°^(^^^^+9^'J---

■^ ' Vc -'■ ^' 'il—iq .cos(29-)+9'^][l— 2ç3.cos(207u)+?6][l— 2çS.cos(2Ô7i)+çi*']...

On pourra exprimer dune manière analogue la fonction de seconde et troisième espèce.

5. Une des propriétés les plus fécondes de la fonction ).f) est la suivante:

[On a fait pour abréger: AO r=±y((l — }.^0){i—c^}.^0))] "Si l'équation {).er+ «,.-i(//>)^»-^+ . . . + a,{).Oy-+ a,={bJ.O-\-b,i).er + . . . -j- b„^{?.0r-')A6

est satisfaite, en mettant pour 9, 2n quantités Gj, 92,...02„, telles, que (A9 )', (AGJ^ . . • ('^92,,)^ soient différentes entre elles, on aura toujours :

les coefficiens a^, a^,..., b^, 6,,... pourront être quelconques, et il est facile de voir qu'on pourra les déterminer de sorte que 9i, 92, . . . 92„i sont donnés."

Voilà une autre propriété plus générale:

"Si l'on fait

p2 q^(i X») (1 c'-a:*) = A{x — ;.9,) {x — X^^) ...(x — ;.9^), on p et q sont des fonctions entières quelconques de la quantité indéterminée X, on pourra toujours supposer les quantités 9^, 92, . . • 9(jt de la sorte que l'expression

^(Oi+6, + e3 + ...H-e^)

soit égale à zéro ou à l'infini."

Ainsi p. ex., si

p^ — ff{\ — x"") (1 — c'^x'') = A{x^— /.*9)!% où l'une des fonctions p et q est paire et l'autre impaire; on aura

1) si p est pair:

P.(jU9) = 0, si ^ est pair et P>(/i9) = ^, si ^ est impair;

2) si p est impair:

A(|U9) = 0, si ;U est impair et ;.(/(9) = ^, si /il est pair.

De là il suit encore que, si l'équation ci-dessus a lieu, on aura toujours:

OÙ m et K sont entiers et moindres que fi.

6. Il existe entre les quantités Af"'""^""'^ et les racines (2/i + 1)™«'* de l'unité des relations bien remarquables, savoir si l'on fait pour abréger:

d-= cos + y^ — 1 . siu ,

on aura, quels que soient les nombres entiers ïw et ^:

'V2[j.+ l/~ 'A 2iA+l /' ■ V 2[j.+ l /~""

V 2iJi + l /~ V 2[j.+ l /~ ■ V 21J. + 1 /^

• • • T • \ 2iJ. + 1 / ■

Dailleurs toutes les quantités P.f^'^- — '^ ) . . . sont les racines d'une même * V 2[i.+l /

équation du degré (2u + 1)* *^*^ ^^'"t '^s coefficieus sont des fonctions rationnelles de c^.