Si la fonction

dont le module c est réel et moindre que l'unité, peut être transformée dans une autre:

«/a(j,c')' dont le module c' est réel ou imaginaire, en mettant pour y une fonction algél)rique quelconque de .r, il faut nécessairement que le module c' soit déterminé par l'une des deux équations:

!>., 1/2 Va (A+lIliLtinSLtlLhi:

i/^- = îzi?i.lz:ij!.lz:ij!

l+îi l + ?i3 l + Çi» .

où ç'j^ç'!^, ^ étant rationnel; ou ce qui revient au même:

/< et //' étant des nombres rationnels quelconques.

8. La théorie de la transformation devient très facile à l'aide des propriétés les plus simples de la fonction /-O. Pour en donner un exemple, soit proposé le problème: satisfaire de la manière la plus générale à l'équation

du dx

en supposant c et c' moindres que l'unité et y fonction rationnelle, réelle ou imaginaire de .t.

Soit .r = '/.(), y ^ /.'O', en désignant par /.' la fonction qui répond au module c'. L'équation différentielle se changera dans ce cas en rf9' = td% d'où

Àé

a étant une constante. Cela posé, soit

ox

on aura ;.'(,ô + «) = ST^. •

En mettant G + 2o, 9 -\- wi au lieu de 6, /.Q ne ebange pas de valeur et par conséfjueut on doit avoir:

}.'{th 4- 2ft3 + ff) = ;.'(é9 + a), ;.'(f9 + ioù -f «) = ).'{iH + fl).

Donc, si l'on désigne par m' et cj' les valeurs de C5 et co qui répondent au module c'. on aura en vertu de (2):

2fa = 2/«ra' -{- juo'i, em^=2m'xs' -]- 7i'a'iy

ce qui donne

donc:

ou bien:

{ = ?n . — + ^ • — ^ = ?^ 2?rt' — ?.

„ tu' , o w o' n , ^'

w' 7/2 t) 4ot' t3

Maintenant, si c est indéterminé, cette équation ne pourra subsister à moins qu'on n'ait ou // = 0, m' = 0, ou /^' = 0, /)i = 0. Dans le premier cas t est réel et

cj' , o'

et dans le second cas t est imaginaire et

— 2'ir'— ^'" présupposons f réel. Alors on aura ce théorème:

"Si deux fonctions réelles peuvent être transformées lune en l'autre il faut qu'on ait entre les fonctions complètes o, w, o', a' cette relation.

rs' n' s

OÙ ?i' et 7u sont des uombres entiers."

On pourra démontrer que si cette condition est remplie, on pourra effectivement satisfaire à Téquatiou

J A(jr,C) o J A(j,r)

Rien n'est plus simple que de trouver l'expression de y. Il suffit pour cela de chercher les racines des deux équations (^x = 0, f.v = 0.

Désignons par ).d et Arf' une racine quelconque de ces deux équations, on aura, pour déterminer fî et ô', ces deux équations:

ce qui donne:

()•= — « + An' +—io<i; ô^ = — fl+lG5' + (A'+|)^i,

c'est-à-dire :

S=. — «+— xs 4- — loi; d'= — a-\ m -\-{k' -\- X)'^ î,

m II m ■* M

k et k' étant des nombres entiers. Pour trouver «, il suffît de remarquer que /.O ne change pas de valeur en mettant o — 0 au lieu de 0. On aura donc

V{tx5 — f Ô + c) = A'(f 9 + «), ce qui donne

a = ^((2// + 1 — m)xs> + n'io'l) Dans le cas où m est impair, on pourra toujours faire « = 0.

Connaissant les valeurs de S et ô', on aura immédiatement les racines des deux équations (fx = 0, fx=z 0, et par suite l'expression des fonctions ffx et fx en factorielles Les formules les plus simples répondent aux cas de m= ]. ou u' = 1, et elles sont les seules dont il s'agit, comme il est aisé

de voir par l'équation — = — ■. — Ou pourra aussi se servir des ex-

pressions de la fonction /.9 en produits infinis rapportées plus haut. Jai fait voir cela dans les mémoires XIII et XIV.

9. Le cas où un des modules c peut être transformé en son complément |/^(1 — c-)^b, mérite une attention particulière. En vertu de l'équation

xs' n a ,

— = — — , on aura dans ce cas

o' ma

Le module c sera déterminé par une équation algébrique qui parait être résoluble par les radicaux; au moins cela aura lieu effectivement si — est un carré

parfait. Dans tous les cas il est facile d'exprimer c par des produits infinis. Eu effet, si — =:l/f— j, on a:

Si deux modules c' et c peuvent être transformés l'un dans l'autre, ils auront entre eux une relation algébrique. Biais généralement il parait impossible d'en tirer la valeur de c' en c à l'aide de radicaux ), mais il est remarquable, que cela a toujours lieu si c peut être transformé en son complément. Par exemple si c^ = ^.

Les équations modulaires jouissent d'ailleurs de la propriété remarquable, que toutes leurs racines peuvent être exprimées ratiounellement par deux entre elles. De même on pourra exprimer toutes les racines par l'une d'elles à l'aide de radicaux.

10. On pourra développer la fonction A9 de la manière suivante:

l + è'9* +6"Ô6 + ...' OÙ le numérateur et le dénominatem- sont des séries toujoui's convergentes. En faisant

qpÔ = e + «6' + «'0* + . . .

/•o=i + 6'e*4-ft"9' + ...

ces deux fonctions auront la propriété exprimée par les deux équations:

g>(9' + e) .ç(0' — 0) = («f e./o'r — ((/Jô' ./"en

*) Dans le cas par ex. où y est de la forme:

c' (l a2j:2)(l — aj2j2) •" l'e'quation entre c' et c est du sixième degré. Or je suis parvenu à démontrer rigoureusement, que si une e'quatioa du sivièrae degré est résoluble à l'aide de radicaux, cette équation sera décomposable ou en deux autres du troisième degré, dont les coefficicns dépendent d'une équation du second degré, ou elle sera décomposable en trois équations du second degré, dont les coefficicns sont déterminés par une équation du troisième degré. L'équation entre c' et c ne parait guère être décomposable de cette sorte.

où 6' et 9 sont deux variables indépendantes. Ainsi p. ex. si l'on fait 6' =9, on a

/■(2o)=(/-or— c%9r.

Ces fonctions jouissent de beaucoup de propriétés remarquables.

11. Les fornuiles présentées dans ce qui préct'de ont lieu avec quelques restrictions, le njodule c étant quelcoucjue, réel ou imaginaire.