Chapitre I

Proprie'tës générales des fonctious elliptiques. Les fonctions elliptiques jouissent comme on sait de cette propriété remarquable, que la somme d'un nombre quelconque de ces fonctions peut être exprimée par une seule fonction de la même espèce, en y ajoutant une certaine expression algébrique et logarithmique. La découverte de cette propriété est diie à M. Legendre. La démonstration que cet illustre géomètre en a donné, est fondée sur l'intégration algébrique de l'équation différentielle:

dy dx

;/ (a + ^i/ + Y^- ^hy"^ + ty*) i/ (a + ^x + yj:* + 8x3+ 6 j.4) '

L'objet de ce chapitre sera de démontrer cette propriété des fonctions elliptiques, mais en s'appuyant sur des considérations différentes de celles de Mr. Legendre.

Démonstration d'un théo'rème fondamental.

Nous commencerons par établir un théorème général qui servira de fondement de tout ce qui va être exposé dans ce mémoire et qui en même temps exprime une propriété très remarquable des fonctions elliptiques.

Théorème I. Soient fx et (fx deux fonctions quelconques entières de .v, l'une paire, l'autre impaire, et dont les coefficiens soient supposés variables. Cela posé, si l'on décompose la fonction entière paire

{fxf-{'ixf{^xf

en facteurs de la forme ^* — x\ , en sorte que

i) if^r — {(f:rnA^f = A.{x^—xi){x^ — .vl)ix''—xl) . . . (.r^-^) où A est indépendant de l'indéterminée x, je dis qu'on aura:

où a désigne le paramètre de la fonction IIx, en sorte que

dx

La quantité C est la constante d'intégration.

Démonstration. Supposons d'abord que tous les coefficiens des diverses puissances de x dans fx et ifx soient des quantités variables indépendantes. Dans ce cas toutes les quantités x.^, .r^, . . . or^ seront évidemment inégales entre elles et fonctions de ces varial)les. En désignant par x l'une quelconque entre elles, l'équation (1) donnera

4) {fxf — {^xY-.{p,xf = % et de là:

5) fx -\- (fX.Lx=.Q.

Cela posé, faisons pour abréger

i^ix = ( fxY — {(px)\^xy,

et désignons par tp'x la dérivée de cette fonction par rapport à x seul. De même désignons par la caractéristique â la différentiation qui se l'apporte aux seules variables indépendantes. Puis en diiférentiant, on tire de l'équation (i):

ip'x . dx -j- 2fx . ôf'^ — 2(f .r . âcpx . (A.r)^ = 0 ; mais en vertu de (5) on a:

fx =■ — qix . \x, cpx{Axy = — fx. A.r, donc en substituant:

ip'x.dx — 2Ax((px . Sfx — fx . âcpx) = 0.

De là, en divisant par (l — ^j.Ax, on tire:

ds 2((px.8/r — /r.8(pj:)

et en intégrant:

jj^. /*2(9J.5/r— /r.5(pj)

Maintenant en faisant x = x^, x^, . . . x^,,, ajoutant les résultats et faisant pour

;d)réger :