px . Sfx — fx. d(px) = ^x

on obtiendra:

6) /7ar, + /7;r, + . . . + Hx^

= ff ^-» 4- '^ + ... + '> Y

Mais 9^ étaut une fonction entière de x"^ dont le degré est évidemment inférieur à celui de la fonction xpx, le second membre, suivant un théorème connu sur la décomposition des fonctions fractionnaires, se réduira à

c"est-à-dire en substituant la valeur de 9« et celle de V'«» i-

-fa.Soa

(/«)'^-(9«)'HAa)2

Cette intégrale se trouvera facilement; en effet A« étant constant, on aura en intégrant d'après les règles connues: ,

OÙ c est la constante d'intégration. Cette fonction étant mise à la place du second membre de l'équation (G) donnera précisément la formule (2) qu'il s'agissait de démontrer.

La propriété de la fonction IJ{x), exprimée par la formule (2), est d'autant plus remarquable, quelle aura lieu eu supposant la fonction ^x racine carrée d'une fonction quelconque entière et paire de x. Eu effet la démonstration précédente est fondée sur cette seule propriété de la fonction Ax. Donc on a de cette sorte une propriété générale d'une classe très étendue de fonctions transcendantes*).

La formule (2) étant démontrée pour le cas, où les quantités .r^, x^, . . .x^ sont inégales entre elles, il est évident qu'elle aura lieu encore en attribuant aux variables indépendantes des relations quelconques qui pourront aussi rendre plusieurs des quantités x^, x^, . . . x^^ égales entre elles.

Il y a à observer, que les signes des radicaux A-Tj, àx^, . . . \x^ ne sont pas arbitraires. Ils doivent être pris tels qu'ils satisfassent aux équations

") A"i + V -^'i • A-i'i = 0, f.r., + (f X.-. . A.i-., = 0, . . . fx\ 4- (f .r,^ . A-r,^ = 0, (ju'on tire de l'équation (a), en mettant pour x les valeurs .r, , x^, . . . x^^.

*) Voyez les mémoires XV et XX.

La formule (2) exprime une propriété de la fonction de la troisième espèce n{x). Or rien n'est plus facile que d'en déduire des propriétés semblables des fonctions;

D'abord si Ion fait a infini, on a nx=ax; mais il est clair, que la partie looarithniique de la formule (2) s'évanouira dans ce cas; le second membre se réduira donc à une constante, et par conséquent on aura:

Egalement si l'on développe les deux membres de l'équation (2) suivant les puissances ascendantes de —, on aura, en compaiant les coefficiens de — dans

les deux meml)res:

10) xs^x^ + rs^x^ + • • • + ^0^^ = C—p,

où p est une fonction algébrique des variables, savoir le coefficient de — dans le développement de la fonction

« loo- (f^±^^^\

suivant les puissances ascendantes di* — .

En vertu des formules (2. 9. 10) il est clair, qu'en désignant par -ipx une fonction quelconque de la forme:

on aura

2Aai "V/fli— offiAfli/ 2Aa^ " V/«^ — ça^ An^ /

On voit que cette équation a lieu quelle que soit la constante A.

Propriété fondamentale des fonctions elliptiques, tirée des formules précédentes.

Dans ce qui précède les quantités x^, x^, x^, . . . x^, sont regardées comme fonctions des coefficiens variables dans fx et (fx. Supposons maintenant qu'on détermine ces coefficiens de manière qu'un certain nombre des quantités .i,, x^,...x^ prend des valeurs données mais variables.

Soient x^, x^, . . . x„

des variables indépendantes. Alors les coefficiens dans fx, (f>x deviendront des fonctions de ces quantités. En les substituant dans l'équation

le premier membre sera divisible par le produit

^:c'^^x;)ix^ — xl) . . . a-* — :rU et le quotient, égalé à zéro, donnera une équation du degré /( — m par rapport à a.% dont les racines seront les /< — m quantités:

X ,„4.l , X „,4 2 , . . . Xï

n-fl 5 -t m+'2 5 • • • •* |J. 5

qui par suite sont des fonctions algébriques de .r,, x„, . . . .r„,.

Le cas le plus simple et le plus important est celui, où le nombre fi — m a la moindre valeur possible. Pour avoir ce minimum, il faut donner aux fonctions fx et (fx la forme la plus générale pour laquelle le degré de l'équation {fxf — {(pxf{^xf=0 est égal à ft.

II est facile de voir que le plus grand nombre de coefficiens possible à introduire dans fx et çx, est jli. Mais, puisqu'en vertu de la forme des équations (7) on peut supposer un de ces coefficiens égal à lunité, sans diminuer la généralité, on n'aura réellement qu'un nombre de /< — 1 indéterminées. On pourra donc faire m = u — 1, en sorte que toutes les guautités x^, x^, . . . x^, excepté une seule, seront des variables indépendantes. Par là on aura immédiatement la propriété fondamentale des fonctions elliptiques dont il a été question au commencement du ciiapitre.

Il y a deux cas différents à considérei', savoir /< pair ou impair.

Cas I. // étant j)air et = 2n.

A. Si la fonction fx est paire et (fX impaire, il est clair que fx doit être du degré 2«, et (çx du degré 2n — 3. Faisons donc:

^ \(fx = {b^4- b,x^ 4- b^x* + . . . + b„.x'"-*)x et

où nous avons mis y au lieu de x^», qui sera une fonction des variables x^,

X^, . . . X-in—j^-

Les coefficiens a^, a^, a^, . . . «„i, b^, b^, . . . b„.. seront exprimés en fonctions de x^, .r^,... à l'aide des /( — 1 équations (7), savoir: 45') A'i + 'f^i-AJ^,=0, fx^-\-({X.J,.^x^^=Q, . . .fx■.„l-\-<fX.^„x.^x.^„l=0.,

Ces équations, étant linéaires par rapport aux inconnues, donneront cellesci en fonctions rationnelles des quantités :

Il est clair qu'on pourra donner aux radicaux Ax^, Ax^, . . . Ax^n-i des signes arbitraires.

Pour avoir la valeur de y, faisons dans l'équation (13) x=0. Cela donne

d'où l'on tire:

La quantité y est donc une fonction rationnelle des variables .r^ , x^, ... et des radicaux correspondants.

Si maintenant y a cette valeur et qu'on fait

Ax.^„ = — Ay, les formules (2. 9. 10) donneront:

Îxsx^ -\- ax^ -^ . . . -\- Tsx.2„i = tsy-\-C, «'■. + «'■» + • •; + «--= "^- llï '<><ë^^) + «

Quant aux fonctions oy, ts^y, I7y, il faut bien observer que le signe du radical Ay nest pas toujours le même. Il sera dans tous les cas déterminé par la dernière des équations (7) qui, en mettant pour ^2„ et A.r2n leurs valeurs y et — Ay, deviendra :

On en tire

et cela fait voir que le radical Ay , comme y, est une fonction rationnelle des quantités x^, x^, . . . Ax^ , Ax^ ...

La fonction ^ a la propriété d'être zéro en même temps que les variables x^, x^,. . . A-2„). En effet si l'on fait

X^ X^ . . . Xtin—l U

l'équation (13) ne pourra subsister à moins que tous les coefficiens a„, a^, . . . «n-i ^03 ^i5--'^n-2 ne soient égaux à zéro, donc cette équation se réduit à:

«ionc on aura ^ = 0.

On poiirrait donner le signe contraire au second membre de l'équation (14). Celui que nous avons choisi est tel que le radical ày se réduit à + 1, en supposant x^ = a:^ = .r, = . . . .r2„i = 0, et en même temps Ao^j = A**., = . . . A.r.,„, =-j- 1. Pour démontrer cela, supposons x^, x,^, . . . Xn„i infiniment petits, on aura dans ce cas:

A^Tj = A.r.^ = . . . A.r.2,^1 = 1, et les équations (15') font voir que x^, x\,, . . . x.2„-i satisfont à l'équation:

1 7) x^" + c^i^r*-» + 6,.2 x-"-^ + . . . + ôo-r + «o = 0.

Cette équation étant du degré 2n, doit avoir encore une racine. En la désignant par z, on aura:

donc en vertu de l'équation (li)):

z = — y L'équation est donc satisfaite en faisant x = — y. Or cela donne

/"+ On-.f"-' + . . . + a y + a, = {b, + by + ... + b^.f''-^)y, donc en vertu de (16):

18) Ay = + 1.

On pourra encore remarquer que y se réduit pour des valeurs infiniment petites ie x^, x,^,. . . Xîn-i à oTj + .r, + . . . + •^■2,.-l• Cela fait voir l'éfjuation (17), qui, n'ayant pas de second terme, donnera la somme des racines égale à zéro, c'est-à-dire :

donc:

B. Si fx est impair et (px pair, fx doit être du degré 2n — 1 et <px du degré 2?i — 2. Donc on aura dans ce cas un nombre de 2n — 1 coeftlciens indéterminés, et on parviendra à des formules sembbiljles aux (l.'>); mais la fonction y aura une valeur différente. On démontrera aisément quelle sera

égale à — la valeur de y étant déterminée par l'équation (14).

Cas II. Si fi est un nombi'C impair et =2n-\-l. A. Si fx est impair et (fx pair, on aura:

2QX fx = («0+ «1^' + «,^* + • . • + o.-xx"-"-'' -\- x^")x, ^ (FX=z b, + b^x^ + b^x'+... + b^,x^-% 2 1 ) ifif — (cfxni — x^){l — c^x^) = (x^ — x\) {x^—xD . . . ix^—xl.){x^—y-').

Les coefiiciens «0, aj,...«„i, b„, b^,...b^i sont déterminés par les 2n équations linéaires:

La fonction y le sera par l'équation :

qu'on obtiendra, en faisant dans (21) x = 0. Enfin de radical A^ est déterminé par 2i) Ay = ^.

Cela posé on aura:

Îv>x^ + a.r.^ -}-...+ ©a^zn = oy + C, ;7., + /z., + . . . + ;/..„ = i/y - ^ '«sCl^lfi^) + c.

Les fonctions 2^ et Ay sont, comme dans le cas précédent, des fonctions rationnelles des variables x^, x^, . . . x.zn et des radicaux A.r^, Ax^, . . . Aav,,, et on démontrera de la même manière, qu'on aura pour des valeui'S infiniment petites

(le .x'j 5 • • • ''-2B5

26) y=x^-\-x^-\-.. .-{-x^„, Ay = +1;

si l'on suppose en même temps que les radicaux ^x^, A.r.^,... Ax^,, se réduisent à -)- 1, y s'évanouira simultanément avec les variables.

Les formules (25) pourront d'ailleurs être déduites sur le cbamp de celles du premier cas, en y faisant x^n-i =0, et changeant ensuite 71 en n-\- 1.

B. Si fx est pair et qx impair, on parviendra à des formules semblables. La valeur qui en résultera pour la fonction y, sera égale à —, où y est

déterminé par la formule (23).

On voit donc par les formules (15. 25), qu'on pourra toujours exprimer la somme d'un nombre donné de fonctions par une seule fonction de la même espèce, en y ajoutant, pour les fonctions de la première espèce, une constante, pour celles de la seconde espèce une certaine fonction algchriqite, et pour celles de la troisième espèce une fonction logarithmique.

En faisant attention qu'une intégrale quelconque de la forme

~Kx '

peut être réduite aux fonctions xsx et cj^ar et à un certain nombre de fonctions de la troisiôme espèce, en y ajoutant une expression algébrique et logaritbnii- (juo, il est clair qu'eu faisant

on aura

27) 'ipx^ + i^'A-^ -\-^x^... = 'ipy-\-v-\- C,

où V est exprimable par des fonctions algébriques et logaritbmiques.

En vertu des formules (15. 25) il est clair que la fonction v ne cbange pas de valeur, si l'on ajoute à la fonction rationnelle ^x une quantité constante quelconque, de sorte qu'on peut supposer également

Je dis maintenant que la fonction i;; est la seule qui puisse satisfaire à l'équation (27). En effet si l'on différentie cette équation par rapport à l'une des variables indépendantes x^, x^,..., par exemple à x^, on aura:

Cela posé, si l'on suppose toutes les quantités x^, x^,...y égales à des constantes déterminées, on aura, en mettant x pour x^, et faisant

A dv du

'^y = '^^d^=P^di;=''i--

tp'x .dx = A. qtlx -f- pdx, d'où l'on tire: