V.r =f{Aq + 2})dx
La fonction i/'.r ne pourra donc renfermer qu'une seule constante indéterminée A, et par conséquent:
,^x=fiA+,x)^
est son expression générale.
Les propriétés exprimées par les formules de ce paragraplie appartiennent donc exclusivement aux fonctions elliptiques C'est pourquoi je les ai nommées fondamentales.
Dans les formules que nous avons données, y a une valeur unique, mais on pourra satisfaire aux mêmes formules, en mettant au lieu de y une expression algébrique contenant une constante arbitraire. Eu effet, pour avoir une telle expression, il suffit de supposer une des varibles x^, x^, x^, . . . égale à une constante arbitraii-e, et la valeur de y qu'on obtiendra par là, sera la plus
générale possible, comme on sait par la théorie de l'intégration des équations différentielles du premier ordre, dont l'intégrale complète ne contient qu'une seule constante arbitraire.
A l'aide des formules (1d. 2o) on pourra exprimer la somme d'un nombre quelconque de fonctions par une seule fonction. 11 est facile den tirer les formules suivantes:
^^nx^+^nx^+ . . . +J^/7.r„=/7v— -^logf-^î^l^^^ + c,
OÙ /i/j^, /'25 • • • fin, H désignent des nombres entiers quelconques, et 1/ est une fonction algébrique des variables x^, x^, . . . x„, de même que les coefficiens dans fa et (pa. Pour avoir ces formules, il suffit de supposer dans (13) et (21) un certain nombre des (juantités x^, x^,...y égales entre elles. Pour déterminer y, fx, cpx, on aura cette équation: 29) ifxf — {ff x)%l — x^-){l— c^r^)
qui doit avoir lieu pour une valeur quelconque de x.
Application au cas, oii deux fonctions sont données. Pour réduire deux fonctions à une seule, il suffit de supposer dans les formules (25):
Cela donne
fx = a^^x -\- x^, (fx ■=. bg, et pour déterminer les deux constantes «^ et b^, on aura les deux équations:
«0-^1 +K + K^^x = 0' «0*2 + K -f *o^^-2 = 0qui donnent:
o'jAj'^ — x.^^x^ JjAJo — J'oAxj
Connaisant b^, on aura la valeur de y par la fonnule (23), savoir pour /i^l:
donc :
a'jAxj — JT.^AXj
ou bien en multipliant en haut et en bas par xAx„4-xAx,:
Ol) y— > - 2 1
Si l'on exprime a^ et b^ en x^, x^, y, on aura ces expressions très simples:
32) h, = x^.x,.y,a,=\(,\v^^xly'^-x\-xl-y'^). L'expression de a^ se tire de l'équation
(«.,r + .r='f i^(l a:^)(l — r^^^) = (:r* — :r^)(x*;r^)(;r»y«), en égalant entre eux les coefllciens de a;* dans les deux membres.
Les fonctions a^ et y étant déterminées comme on vient de voir, les formules (2o) donneront, en faisant ?/=l:
Înj-, -f cj^a = oy -f C, /Zr + /Zr., = //y - JL logf "■>« + «' + ^.-^^ --y^") -I- g Quant à la valeur du radical Ay, elle est donnée par l'équation (24):
c'est-à-dire :
Pour réduire la diflTérence de deux fonctions à une seule, il suflit de changer le signe de x^ dans les formules précédentes. La valeur de y deviendra par là:
_____ S^^Xn Sty\S-^
1 — c^x\x\ j^jAj., + XoAJj
Si dans les formules (33) on fait .r^ égal à une constante arbitraire, on aura la condition qui doit avoir lieu entre les variables de deux fonctions si elles doivent être réductibles Tune à l'autre. En faisant x^=ze, x^ = x, on aura:
'^^^ y ^ l-c-^-e^x^ ^^ oa: = C37/ + C.
En différentiant, il viendra
m^\ du dx
' A^ Aj
L'intégrale complète de cette équation est donc exprimée par l'équation algébrique (36), e étant la constante arbitraire. Parmi les intégrales particulières il y a à remarquer les suivantes:
1) y ^ X, qui répond à e=0, Ay = Ar,
2) y = ±-, qu' répond à e = 1, Ay =+ ^,
•^) ^ = /(î^J 1"' '-éP^-' '«''-- 1' ^2/=-^^ et ^) ^ = 1- VQ^y ^"' -pond à . = 1, A, = ^^.
application au cas, où toutes les fonctions doïinées sont égales. Si l'on fait dans les formules (15. 2o).
a^i =-^2 = ^3 = . . . = a:, Aa:^= Aa^jj = A^r, = . . . = Aar, on aura celles-ci:
Î^cîa; = xsy -\- C, "^ 2A« ''\fa — <r,a.\a/' '
oii
39) (A^r-(y2r(l-^^)(l-cV)=(^^-:rXi'-2/'), 5: étant l'indéterminée.
La fonction y est déterminée par les équations (14. 23) :
La première a lieu si iii = 2n — 1, la seconde si /ii = 2n. Les équations (13'. 22) qui doivent déterminer les coeffîciens a„, a^, a^, . . ., b^, b^, b^,... se réduiront dans le cas que nous considérons à une seule, savoir
fx -f- (px.Ax = 0, mais en vertu des principes du calcul différentiel, cette équation doit avoir encore lieu, en la différentiant par rapport à x seule un nombre quelconque de fois moindre que //. On aura donc en totalité fi équations linéaires entre les fi inconnus, d'où l'on tire leurs valeurs en fonctions rationnelles de la variable X et du radical A.r. Connaisant a^, a^, a^,. .., b,,, b^, b^,..., on aura la valeur de A^ à l'aide de l'équatiou:
On pourrait déterminer de cette sorte toutes les quantités nécessaires, mais pour mieux approfondir les propriétés de la fonction i/, nous allons entamer le problème d'une autre manière, qui conduira successivement aux valeurs de y, correspondentes aux valeurs 1, 2, 3 etc. de //.
Désignons par x^, la valeur de y qui répond à //. On aura
îB.I'jj^ = C-j- fiXSX,
donc : o(ar^4.„) =zC -{- viXy -\- isx„,
mais si l'on fait
j Ax +j Ax y= ^ — t ,
- 1^ on aura, en vertu de (25):
donc:
il) oa:^+„ = C+î3y.
La valeur la plus générale de a*^+m, qui satisfera à cette équation est:
yàe + eA^
où c est une constante. Pour la déterminer, soit x infiniment petit; on aura
x„=ïnx, Xy.=:fix, x^L+,^ = {m-j^/ii)x, Ax„=Ax^^=ll',
y = {m-\-fi)x, Ai/z=l L'équation (il') donnera:
{m -|- /()^ = ("* + 1')-^ .^e-{-e, donc e = 0, Ae=l et par suite x„^^=i/, c'est-à-dire:
j7 Aj: + X Ax,,
[Jl+m-
1 — c-^lx^
On aura de la même manière:
,. x„Ax — X Ax,^
La première de ces formules servira à trouver ;r,j,+„, lorsqu'on connaît x„, et x^^•, on pourra donc former successivement les fonctions
en remarquant que x^ = x, Ax^ = Ax.
Si 1)1= 1, en trouvera:
2x Ax
44) ;r^^^ = ^^^+ii__.
En remarquant que
cette formule fait voir que x^ est une fonction rationnelle de x, si /n est un nombre impair, et que Xy est de la forme p.Ax, où/; est rationnel, si fi est un
Ax
nombre pair. Dans le premier cas — ~ est rationnel, et A.r^ l'^st dans le
second. On voit également que x^^ s'évanouira en même temps que àx, si /t
est un nombre pair. Les quantités
sont donc des fonctions rationnelles de x.
Si l'on multiplie entré elles les deux formules (12, 43) il viendra :
équation qui parait exprimer la plus simple relation qui puisse être établie entre
les fonctions ^^.
En y faisant »i = // — 1, on aura
De même si l'on fait m = //, on aura
-•^jL,
Lr^
Ces deux formules semblent être les plus commodes pour le calcul des fonctions x^, x^, x^, . , .
Pour trouver les expressions les plus simples de Xy, supposons:
OÙ p"^, q^ sont des fonctions entières de x, n'ayant pas de diviseur commun. En mettant ces valeurs dans l'équation (46), on aura:
iV — ^Mi^^.
Or il est évident que la fraction du second membre est réduite à sa plus simple expression; donc on aura séparément:
48) /^2M. = 2/?^<7,x?-^, '7-2ix = (?'î— t'>J-
En faisant les mêmes substitutions dans l'équation (4o), on obtiendra
P.-HL-. pl-il^x—rv.-?^
Or je dis que la fraction du second membre est réduite à sa plus simple expression. En effet si l'on avait pour une même valeur de x:
pIqI-i — qlpl-i = Oj ilq^-i — c-pl-pl-i =o,
on aurait encore:
Mais on a en général
tl'n "^LL— 1 5 J- ^ *^\L • **^IJ.— 1 ^'
donc aussi:
ou bien:
.r^(l - .r^-0(l - ^'•*-;i-i) = 0 = 4,(1 — a-^){l — c^r^), ce qui est impossible, car ou doit avoir:
Cela posé, l'équation (49) donnera:
Si donc on détermine successivement les fonctions
P par les équations (48. 50), — sera toujours réduit à sa plus simple expression.
On pourra faire 2^^ ^= x, qi^= !• D après la forme des expressions (48. 50), il est clair que
^) /'aji-i PSt une fonction entière et impaire de x du degré (2/i — 1)% 2) p2ii.=P'-àx, où p' est une fonction entière et impaire du degré (2/»)'' — 3, 5) q^i est une fonction entière et paire du degré /^" — 1 ou /<% selon que fi est impair ou pair.
Les fonctions x^^.-! et .r.,^j auront donc la forme suivante:
Ol ) ^2U.-1 ~, TT; ,
