II. c' = ±—, yz=±rx, y=±- , 6 = ± c
On voit que le module c' a six valeurs différentes. La fonction y en aura douze, car à chaque valeur de c' répondent deux valeurs différentes de y. Ces formules nous seront utiles pour la solutiou du problème général.
Propriété générale de la fonction rationnelle y, qui satisfait à une équation de la forme:
dy dx
b^y Ajt
Soit pour abréger:
|/((l 3/-)(l f'y)) = A'*/ et K((l — .r^)(l-c^.r^)) = A:r, l'équation (12o) qu'il s'agit de satisfaire, prendra la forme:
127) ^=--^' OÙ y est supposée fonction rationnelle de x.
Soit
128) y = xpx
la fonction cherchée. Si, en réduisant if'^r à sa plus simple expression, les puissances de la variable x qui y entrent s'élèvent jusqu'à la fi"" inclusivement, nous dirons que v\f est une fonction rationnelle de x du degré jw. Sa forme générale sera donc:
129) wx = -^— ^ — -,
le numérateur u'ayaut de diviseur commun avec le dénominateur, et les deux coefficiens A^ et B^ n'étant nuls à la fois.
Cela posé, si l'on considère x comme fonction de y, Téquation y=wx donnera ,</ valeurs différentes à x, nécessaii-ement inégales, en supposant y variable. 11 est évident que toutes ces valeurs de x satisferont également à
l'équation différentielle :
dy ds
à'y Aj
En désignant donc par x et x' deiLX de ces valeurs, on aura en même temps:
dy dx'
A'^ Aj'
Donc, en égalant ces deux valeurs de —, on aura
(Lv dx
Aj' Aj."
Cette relation aura toujours lieu entre deux racines quelconques de l'équation
y = ^px.
11 est facile de tirer de là une équation algébrique entre x' et .r. En elTet l'intégrale complète de cette équation est en vertu de (56):
oii e est une constante. Maintenant x et x' étant tous deux racines dey=\px, «m aura: y = if .r, i/^ipx',
donc:
151) ^'x' = ipx,
et puisque y est variable, cette équation doit nécessairement avoir lieu pour une valeiu" quelconque de x. On aura donc immédiatement ce tbéorème :
Théorème IX. "Si une fonction rationnelle y de x, du degré fj, doit satisfaire à une équation différentielle de la forme
dy dx
il faut que cette fonction reste la même, en mettent pour x, fi valeurs différentes de la forme:
xAe + eAj 1 — c2eV2' e étant constant." .
Ce théorème, nous conduira, comme nous verrons, de la manière la plus simple à l'expression générale de i/. Il s'agit seulement de déterminer les valeurs convenables de la constante e; car celles-ci étant trouvées, rien n'est plus facile que de trouver ensuite toutes les autres conditions nécessaires. Occupons nous d'abord de la recherche de cette constante.
Recherche des racines de l'équation yz^z^x. Soit pour abréger:
nous aurons d'après ce que nous venons de voir (131):
153) if'(e.r) = ipx,
où le signe du radical A*' est évidemment arbitraire. Je remarque que cette équation, ayant lieu pour une valeur quelconque de x, subsistera encore en mettant 6^ au lieu de x. On aura donc:
i/'(ô(9:r)) = -ipi^x) = il'x.
En mettant de nouveau ^x au lieu de x et ainsi de suite, on trouve
y = i/vr = i/'(9.r) = \j>{^''x) = ip{^^x) = . . . = ■^!{^"x) = etc., où Ton a écrit pour abréger:
O^A- =: 69;i-, 0'^ == OO'^.r, . . . etc. 6".r = 09"-'.r. Il suit de là que toutes les quantités de la séi'ie
154) X, dx, {i'^x, . . . rx, . . .
seront des racines de l'équation y = ipx. Maintenant cette équation, n'ayant qu'un nombre limité de racines, savoir //, il faut nécessairement que plusieurs quantités de la série (154) soient égales entre elles. Il s'agit de savoir si cela est possible. Pour cela il faut d'abord avoir l'expression générale de <i"x en fonction de x et e. Supposons pour le moment e indépendamment variable. On aura en vertu de l'équation (152)
1 — c2e2(ô»-»jr)2
d{^"s) (/(9"-' j) | de
A(0"J-) A(9»->jr) ' "Âë"
En mettant dans cette équation successivement n — 1, w — 2, . . . 2, 1 au lieu de n, et supposant, ce qui est permis, que les radicaux A(9".r), A(9"~*.r) . . . A(9.r), Ax conservent leurs signes dans deux équations consécutives, on aura sur le
cliamp :
f/(9"^) ds 1 de
A(0"J^) A.r Ae
Cela posé, cherchons suivant le paragraphe 4 du chapitre J. une fonction rationnelle e„ de e telle que
de„ de ==n — ,
Ae,. Ae '
on aura:
Mais si l'on fait
^(0"^) ds . de„
à.(fi"s) Aj Ae„
J^'Ae, + e, A J 1 — cW^ '
on a:
ds' ds | de.
Ti A.r '
^x' A-r àe, ' donc:
rf(D''j:) ds^
A(9"J') Aj:'
Cette dernière équation donne
.„ j'Ae' + c'Aj'
OÙ e' est une constante.
Pour trouver cette constante, faisons e = 0; on aura ^„ = 0 et \e„= 1. Donc la valeur de x' deviendra x' = x, et par conséquent celle de 9".r.-
.„ jAe' + e'Ajr
Mais puisque ^x = j:, on aura encore ^"x = x, donc :
sle' + e'Aj
Cette équation, devant avoir lieu pour une valeur quelconque de x, ne pourra
subsister à moins qu'on n'ait séparément e' ^0, Ae' = 1 ; donc on aura :
9".r = X', c'est-à-dire :
loo ) 0'':i- = „ . , ■ •
^ 1 — ce^J
Telle sera l'expression de ^"x pour une valeur quelconque du nombre entier n. ■ Elle a en effet, comme on voit, la forme d'une racine quelconque de l'équation y = xpx.
Cela posé, soient 9"^ et 9"+"^: deux quantités de la série (loi), égales entre elles, dont il existera toujours suivant la remarque plus haut. On aura donc:
0'"+"a.- = (j^'x, mais 9"^"ar est évidemment la même cbose que 9"(9'"a:), donc en mettant x pour H^x, il viendra:
156) ' fi"x = X.
Une équation de cette forme doit donc toujours avoir lieu quel que soit x. Si elle a lieu effectivement, il est clair que la série (l.">4) naura que ?i termes diflérents, car, 9''~*.r, passé, les termes se reproduiront dans le même ordre, puisque 9"+^;r = U, 9"+^^: = ()'-x etc. Si l'on suppose, ce qui est permis, que n, dans l'équation (i"x = x, a la valeur la plus petite possible pour la même valeur de e, il est clair également que les n quantités.
137) X, 9^, ô'^^, . . . e"ar
seront nécessairement différentes entre elles. Car si l'on avait par exemple
il en résulterait ^^x ^= x, ce qui est contre l'hypothèse, attendu que // est iiioindi"e que n.
Il s'agit maintenant de satisfaire à l'équation
En y substituant l'expression de Tx, donnée par la formule (15o), il viendi-a:
Or il est impossible de satisfaire îi cette équation pour une valeur quelconque de X, à moins qu'on n'ait séparément les deux équations:
et réciproquement: si ces équations subsistent, il en sera de même de l'équation G".r = X. Or je dis qu'il sera toujours possible de satisfaire à ces deux équations à la fois.
D'abord si w est impair, les deux quantités e„ et — ^ seront des fonctions rationnelles de e, comme nous l'avons va chapitre I. § i. Si donc on désigne par e une racine quelconque de l'éfjuation
il suffit, pour satisfaire à l'équation A^„ = 1, de déterminer le radical Ae de la manière que:
140) Ae=-^,
après avoir mis le second membre sous la iorme d'une fonction rationnelle en e. Ce-ci se fait voir, en remarquant, que si e„ = 0, la quantité àe„ = +y'((l — e-„)l — c^e~„)^ ne pourra avoir que l'une des deux valeurs -)-l, — 1.
Si au contraire ii est un nombre pair, on a \ni que Ae„ sera une fonction
Ae
rationnelle de e, de la même sorte que V^. En la désignant par t„, on
1 — ce^
doit avoir en vertu des équations (158):
Or je dis que si e est une racine quelconque de cette équation, on aura à la fois e„ = 0, Ae„ ^ 1. En effet ayant
Ae.
on en tire en quarrant,
et cela donne:
e„=0, car c* est différent de l'unité. Or ayant p„ =: 0 et f„ = 1, on aura évidemment Af„ = 1 ; donc etc.
Ou pourra donc satisfaire à la fois aux deux équations :
et on aura toujours un nombre w* de valeurs différentes et convenables de e, car en vertu des formules (51. 35) les équations e^^Q, f„=l seront du degré ^^* en e.
Il s'agit maintenant de choisir les valeurs de e qui rendent toutes les n quantités x, ^x, . . . 0"~^r différentes entre elles, car cela est une seconde condition à laquelle doit satisfaire e.
Or pour cela il suffit de rejeter toutes les valeurs de e qui pourraient donner e!^.r = x, où // est moindre que n. On pourra toujours supposer /< facteur de 71. En effet soit k le plus grand comuuin diviseur de /t et v, on pourra trouver deux nombres entiers /<' et 7i' tels que:
Or l'équation ^v-x i=r x donne :
donc : 6" ''+*ar = .r = 9''0'' ";r;
mais en vertu de ^"x = a: on a encore
^"'"x = X, donc enfin:
6*:r = X ; donc, si 9'^.r = x, on aura encore : 6*.r = :r, où A: est diviseur de ?i. Donc il suffit, de rejeter toutes les valeurs de e, qui pourraient satisfaire en même temps à ces deux équations:
^ix = 0, Ae^ = 1, où fi est un facteur de n: et il faut nécessairement les rejeter toutes, car si l'on a Gt^:r = x, on a nécessairement ô".r =z x.
Ainsi on trouvera aisément une équation en e, dont toutes les racines donneront des valeurs convenal)les de cette constante. Si n est un nombre pre-
inier impair, on a // = 1 ; donc la seule racine qu'il faut rejeter de celles de l'éqUation
est celle-ci:
On aura donc un nombre ?i' — 1 de valeurs convenables de e. Car l'équation
e„ = 0 est du degré n\
Il y a une remarque essentielle à faire sur les quantités
Savoir, on aura toujours e?i 7nème temps:
142) 0-:r = ^^^--^^"^^ Qn-n.^ = ^Ag.-e.Ax ^ ' 1 — c°x"e^ 1 — c'x^e^
En effet, on a (i3):
e, Ae„ — e„Ae„
mais e„ = 0, Ae„ = 1,
donc:
On aura également (42)
donc à cause de
on aura:
En substituant ces valeurs de «-„„, Ae^^ dans l'équation
e''-'".r = JAe„„ + g„„Aj 1 — c-e^___j:= '
on aura précisément la seconde des équations (142).
Si l'on multiplie entre elles les valeurs de 0'".r et 0""'".r, le produit sera
rationnel, et on trouvera
On aura de la même sorte:
Ces formules nous seront utiles dans la suite. D'après ce qui précède, les n quantités
sont différentes entre elles et racines de l'équation y •=. ^x. Le degré /t de cette équation est donc égal à n, s'il ne surpasse ce nombre. Nous verrons plus bas, qu'il suffira de considérer le cas, où u = n. Ou pourra même supposer ?/ premier.
Trouver toutes les valeurs de y qui pourront répondre aux valeurs des racines,
lorsqu'on en connaît une seule.
Pour simplifier la solution du problème général, voyons si plusieurs valeurs différentes de la fonction y et du module c' pourront répondre aux mêmes racines de l'équation y = ux. Rien n'est plus facile (jue de trouver les valeurs de y et C. En eflet soit '{pf=^ où p et q sont des fonctions entières
de z sans diviseur commun. En désignant par
X, x', x" . . . xf^M-O toutes les racines de l'équation
y = 1^'x, on aura p — qy = [a — by){z — x){z — x'){z — x") . . .{z — .r(!^') ), où a et 6 sont des constantes. Soit maintenant y' une autre valeur de y qui satisfait aux mêmes valeurs de x, x', .r" . . . , on aura en désignant par p' et </' les valeurs correspondantes des fonctions p et q:
p — qy __ a—by
En attribuant à z une valeur constante, il est clair que cette équation donnera pour y' une expression de la forme:
où «, (>, «', ,?' sont des constantes. En désignant maintenant par c" le module
qui répond à y', on îiura en même temps:
dy' , djc dy dx
V[(l— î^'*)(l — c"V")j * 'Âx' Â^ * "ix' donc :
dy' s' dy
En y substituant l'expression de y' en y, on aura les équations nécessaires
pour trouver y\ c", t'. Ce problème est précisément le même que celui du pa-
rasraphe 2. On voit donc, qu'une seule solution de l'équation
dy dx
Ly ' Ax
douuera sur le champ cinq autres qui, généralement, seront différentes entre elles. La fonction y aura toujours deux valeurs correspondantes au même
module c\ savoir y et
Solution complète du problème dmis le cas [j. :=: n.
Supposons maintenant que l'équation y = ipx n'ait d'autres racines que
celles-ci:
ce qui à lieu toujours si /n est un nombre premier, comme nous le verrons l)lus bas. On aura alors, si ^ et ^jr signifient la même chose qu'au paragraphe précédent :
147) 2)—qy=:{a—by){z — x){z—U'){z—^'^x) . . . (z—r-^x). En attribuant à z une valeur particulière, on aura une expression de y, dans laquelle tout est déterminé, excepté trois quantités constantes. Nous allons voir qu'on pourra toujours trouver ces quantités de sorte que l'étjuation différentielle proposée soit satisfaite. Pour cela considérons deux cas: n impair et n pair.
Cas I. Si n est im nombre impair.
Soit dans ce cas n = 2/t -}~ 1 Alors l'équation (147) donne, en attribuant à z la valeur particulière zéro:
a' — % = — {a — by)x.^x.^\v . . . G^i^ar,
et de là:
4^jj-v u' + a.x.^x.^^x..
Remarquant maintenant qu'en vertu de (145):
-el
il est clair que l'expression précédente de y sera une fonction rationnelle de x du degré 2// -\- 1 ; donc, puisque cette fonction ne varie pas, en mettant pour x les 2« -\- 1 valeurs
X, 9.r, 9"^ . . . 9^!^;r, ce qui est évident à cause de ^"^i^+^x = x, on conclura que l'équation (li7) a lieu en mettant au lieu de y cette fonction et pour p et q les valeurs correspondantes en z. Cette équation pourra s'écrire comme il suit :
I-i9) p—qy={a—l>y){:—x){z—^x){z—^'^^x){z—^^x){z—(i^-^-^x) . . .
Cela posé, faisons:
et désignons les valeurs correspondantes de y par
Puisqiion a pour ces valeurs de x, ^x = 0, il suit en vertu des deux équations (142) du paragraphe 4:
6"a; = e-H'+^—ar ^^^'
d'où l'on voit que les facteurs du second membre de l'équation (149) seront égaux deux à deux, en faisant abstraction du premier facteur z — x. On a donc: /p — qu = Cff ^ ba){l —z) . ç%
"* ^ \p — qy = ia — by){l—cz).Q"^
{p~qÔ={a — bd){l + c:) . Q"'% où Q, p', (j", ç" seront des fonctions entières de z du degré /i. Mais puisque
loi) {q'^—p^){q-^ — c'Y) = r^l—z^){l — f^^^),
les équations précédentes font voir que les qtiatre constantes a, j-î, y, â égalent celles-ci:
et si cette condition a lieu, les quatre équations (loO) donneront évidemment une de la forme (loi), et par suite on aura
en vertu de ce qu'on a va dans le paragraphe 1 de ce chapitre.
Puisqu'il sutïït de connaître une seule valeur de y, nous pourrons faire par exemple:
Cela posé, il reste à satisfaire à ces équations. Or si l'on fait pour un moment:
lo4) CfX = x.^x.^-x . . . (^■^^x= ^i,.,.,.)(i,.,.^,.). . .(L-c^e;.^)'
l'expression de y deviendra :
, ijt.\ a' + a. os
loo) M = — j— !— ,
d'où l'on tire, en remarquant que q){ — x) = — (px, et faisant ar= 1, — 1,
a' + a.<a{ — ) a' — a.o\ — ) g' + a .9(1) ^ g' — g. 9(1) ^ V c / . ^Vc/
donc en vertu des équations (153), on aura:
11 est impossible de satisfaire à ces équations à moins que l'une des quantités a', b' ne soit zéro. Faisons donc «' = 0, on aura en même temps 6=0. Donc deux des équation précédentes donneront:
d'où l'on tire la valeur de C, savoir:
La valeur de y deviendra:
Quant aux valeurs de ^(l) et ç. (—Y on aura en vertu de l'expression àe(px:
donc:
et
^ kV) ^^ c2H-+i.9(l) t" = c^i^+».((;(l))'-, ./^(1) =
Enfin, pour avoir la valeur du coefficient f, il suffit de faire x = 0, après avoir différentié l'expression de y. On aura:
Mais comme on a
dx ' àx '
il en résulte, en faisant x = 0.
ds
donc ou pourra faire:
2 2 2 2 Cl^+*
En vertu de ce qui précède on pourra énoncer le théorème suivant:
Théorème X. "Soit e une racine quelconque de l'équation ^'^a+i = 0, mais qui ne puisse être racine d'une autre équation de la même forme fj,^, = 0, où 2?H-)-l est diviseur de 2/< -j- 1. Cela posé, si l'on détermine la fonction y, le module c', et le coefficient f, en vertu des formules:
^^+j j:(e2-x2)(e\— x2)(e23 jr2)...(e^j:2)
y y/c' ' (1 — c2e-ij2)(l — c2eV'2)(l — c'-eV^).. .(1 — c2<j2)'
i..= ,2.+i / (i-e-Ai-nni-nj---i^-v y
.e'.el.e\...el,
'on aura toujours;
dy , dx
en déterminant convenablement le signe du second membre.
Ayant trouvé de cette sorte un système de valeurs de y, c', e, on en aura, d'après ce qu'on a vu dans le paragraphe précédent, cinq autres à l'aide des formules du paragraphe 1. 11 répond six systèmes de valeurs de y, r', * à chaque valeur de e. On trouvera même douze valeurs de y, car à chaque valeur de c' répondent deux valeurs différentes de cette fonction. Nous reviendrons plus bas au problème de trouver le nombre total des solutions qui répondent à la même valeur de fi.
Pour donner un exemple des formules ci-dessusj soit /t = 1. Puisque dans ce cas 2,u -|- 1 r= 3 est un nombre premier, on pourra, en vertu de ce qu'on a vu plus haut, prendre pour e une racine (quelconque de l'équation ^3 = 0, excepté la racine zéro. Cette équation, en vertu de la formule qui donne l'expression de x^, est du huitième degré, savoir:
0 = 3 — 4(14- f2)e» + 6fV* — c*e\ La quantité e étant une racine quelconque de cette équation, on aura:
du , dx ; = + *■
Vl c-2e2/' y \c'J ' «^ v^c' I c2e2x'2
Puisque e** est exprimé en c par une équation du quatrième degré, le module c' le pourra être également. Cette équation est:
{& — cf = AVcc' . (1 — Yccf.
L'expression générale de y, donnée plus haut, est exprimée en forme des produits. On décomposera aisément cette fraction en fractions partielles. En effet, puisque les racines de l'équation
sont les 2;« + 1 quantités suivantes
la somme de ces quantités sera égale au coefficient de z^i>; divisé par celui de
z^i^+^ et pris avec le signe — 1, donc:
donc, en vertu de l'équation
on aura l'expression suivante de y:
Hi- ' "■ " - " •-'.'2---^,x
C«* II. Si n est un nombre pair.
Faisons ?i = 2/ii. Puisqu'on a
on aura, en faisant m=. ^:
x^e,, + e.Ax xAe.. — e..Ax
Cette égalité ne peut subsister à moins que e^ n'ait une des deux valeurs : zéro ou l'infini. Cela donne lieu à considérer séparément ces deux cas:
A. si e^ = i.
On aura : ^^x = + — •
— es
En y substituant 0"*.^ au lieu de x, on aura:
— cS^x
Les racines de l'équation y = i/;a? deviendront donc:
X, +—, e.r, ^^x, . . . ^v--^x, Oi^+^a:, 6i^+»ar, . . . ^^V--^x,
par conséquent on aura:
158) p—qy={a—bj/)(z—x){z+ -!-)(;— ôa?) (2— 9»i^-*.r) . . . (z—^v-'^x) (z—^^+^x).
En désignant par a' et h' les coefficiens de z^^~^ dans les deux fonctions entières p et q, on aura:
a> — h'7jz= — {a — by).(x ±- + ^x-\- ^-^^--^x + . . . + ^^'^x + Gï^+'.r)
L'expression qu'on en tire pour y sera évidemment une fonction rationnelle de X du degré 2/*, et puisqu'elle reste invariable, en mettant pour x les 2/i quantités ")
ar, 9^, e*^, . . . 02t^-*^, l'équation (I08) aura lieu en mettant pour y cette valeur et pour p et q les valeurs correspondantes en z.
Nous allons voir qu'on aura une valeur convenable de y en faisant
, a=rb' = 0.
Cela donne
^~~~b' J 2Ae..r ^^y.-^
expression qui est évidemment de la forme:
lo9) y=iA ; ~ !== = A.(px.
Pour trouver la valeur de A, remarquons que si l'on fait :»; = 1, y doit avoir une des valeurs: 4-1, + — . Soit par exemple y=.\, pour x=^ 1, on aura:
Cela posé, faisons dans l'équation (io8): x=l. En remarquant que « = 0,
on aura
») On a
q-p = (i-z){l + cz).f.
« = ^^ r et O^t^J = X.
b'+b(x + ^x+^'ix...+ ^'^-'^)
où ç est une fonction entière de z, car pour a; ^ 1 on aura :
En changeant le signe de z dans l'équation précédente, on aura, en remarquant que q est une fonction paire et /v une fonction impaire:
q + p={i + z){i±cz).Q'\ Cela donne:
q- ^- = (1 ^".)(1 cV)(^^o')^ Maintenant, puisque
cela fait voir que la fonction q"^ — c''^p'^ doit être un carré parfait Or on pourra toujours déterminer c' de la manière que cette condition soit remplie. Faisons dans l'équation (158)
on aura:
ev-+^x = e'"{ov-x) =: 6'" (+ — ) = 6" (—^\
donc : ■ Oy-+'"x = frx.
Si donc on désigne par a la valeur de y qui réponde à x = ■ , les
racines de l'équation
/? — aq ■= 0, c'est-à-dire les facteurs de p — aq, seront égaux entre eux deux à deux; donc p — aq sera un carré parfait. En cliangeant le signe de z, on aura /> + '«/} qui par conséquent sera également un carré; donc en multipliant, on aura:
où t est une fonction entière de z. En faisant donc
l'équation (161) aura lieu, et par suite
ou aura:
dv dz
-rr~ f • -T- 5
ou ^ =
c'est-à-dire, en changeant z en,x:
ds
' Ax"
Pour déterminer le coelTicient t, on aura d'abord, en vertu de la dernière équation :
Mais l'expression de 1/ donnera:
ds ç(l) '
donc:
9(1) Le numérateur de la fraction qui exprime la valeur de y sera décomposé
en facteurs: savoir si l'on fait y= ^, on aura:
On pourra facilement décomposer de la même manière le dénominateur </', comme on va le voir. *
En divisant les membres de la formule (li7) par y, il \iendra à cause de ti = 0:
^ — q = — b{z — x){z — 6.t)(z — ê-.v) '. . . {z — ft^^-Kr).
Cela posé, soit â une valeur de x, qui rend y infini, c'est-à-dire une des racines de l'équation q' = 0. On aura
q = l,{z — d){z—dô){z — e''ô) . . . (z—O^^-^ô). 11 suffit donc de connaître une valeur de â. Or une telle valeur est r
En effet puisqu^on doit avoir y = i, et remarquant tpie
on aura
r = x-\- Ox -f ffx + . . + d^i'-Kv = 0. Soit pour une valeur quelconque ie x:
;;„ z= e"'x + 6-^^-'"x -\- 0M-+'".-r -f- O^t^-'^x, on aura évidemment, en remarquant que 0^^x = x:
Po + Pi-{-Ih+ •■■ + P21X-1 = 4.r.
Or je dis que si l'on fait
on aura : p^ = 0,
pour une valeur quelconque de ?«. En effet on a d'abord:
er^,a:-{-d^i'-"x= ^^■^■^^" , ' 1 — c^e'x^
donc en mettant O^x au lieu de x, et remarquant que ôv-x = 4;
CJ
En faisant maintenant
on aura:
6^x + e2!^-»a;.= ^, .^^f", rr = — {6'^^x + esK.-'-a?),
donc en effet: r„, — 0
On pourra donc faire
En remarquant que g' = 1, pour .r = 0, on q^ura, en mettant dans l'expression de q, X au lieu de zy
D'après ce qui précède on pourra énoncer ce théorème:
Théorème XI. "Soit e une racine quelconque de l'équation e^ = ^, mais qui ue satisfait pas en même temps à deux équations de la forme e„, = 0, A<'„. = 1, où 7)1 est facteur de 2//. Cela posé, si l'on détermine les trois quantités y, c', e en vertu des formules:
s 1 1 ■ 2Ae.j I 2Aga..r ■ ■ ^^Vr^
, /i , 1 I 2Ae , 2Ae2 , , SAg^^ ^ \
162) (± ' — "^ ll±T + I=^^+ ï=^^ "^ • • -"^ 1=^^/ on aura toujours:
rfy t.dx
v/[(l-y')(l-^'V^)J ~ /[(l-^'-)(l-c2jr2)]'
Le cas le plus simple de cette formule est celui où // = 1. On aura:
Après avoir déterminé en vertu du théorème précèdent un système de valeui-s pour y, c', f, ou aura cinq autres solutions à l'aide des formules du paragraphe 2 de ce chapitre.
B. Si e^ = 0.
Si p^ = 0, le radical ù^e^ ne pourra avoir que Tune des deux valeurs -}- 1 ou — 1 ; mais il faut ici supposer ^e^ = — 1, car si l'on avait en même temps ey = 0, AC|ji =1, il en résulterait Oi^x = x, ce qui n'a pas lieu. Mais
Ov-x^ ^ t-
cela donne
ev-x = — x,
et, en mettant 0"x au lieu àe x:
Les racines de l'équation y = ^^x seront égales dans ce cas "■ deux à deux, mais de signe contraire, et par conséquent ipx sera une fonction paire de x. En faisant
V^^ — j, on aura:
161) p—qy=,(a—bi/){z'' — x%z''-{OxY){z'-{^^xr) . . . (z^ —(ôi^-^:,y->j.
Si l'on fait z = 0, et qu'on désigne les valeurs correspondantes de p et q par a' et b', on aura:
a' — b'y = + (c — f>i/){x. 6x.6\v . . . 6v--^xf. Cela donne pour y une expression rationnelle du degré 2.h. Comme dans les deux premiers cas on déniontrera aisément quîil sera toujours possible de déterminer les constantes a, b, a', b' de la sorte que l'équation:
My Lx
sera satisfaite, en attribuant au module c' et au coefficient e des valeurs convenables. Je vais considérer seulement le cas le plus simple, où ^< = 1. On aura dans ce cas
a' — b'y:={—a-\-by)x'^ et par suite:
a' + ax"^
b' + 6^2 En mettant cette valeur dans l'équation:
dy dx
A'y " Ax '
on trouvera facilement une solution, savoir:
Connaissant ainsi une solution, on en déduira, en vertu des formules du § 2, les cinq autres, de sorte que l'éfjuation
dy dx
ù^'y àx
pourra être satisfaite des six manières suivantes:
ji(iR\ r' — l±^ l + y/q-c"-) c+/(c^-l)
Réduction du problème général au cas où le degré de la fonction rationnelle y
est un nombre premier.
Soit maintenant y =: ■x\)x une fonction rationnelle quelconque qui satisfait
à l'équation différentielle:
dy dx
^y ' Ax
Comme on a vu dans le paragraphe 5, l'équation
aura toujours ;/ racines de la forme:
167) X, ex, O'^x, . . . 0"-\ où 0''x = x.
Cela posé, désignons par x' une nouvelle racine, différente de celles-ci, en
soi'te que:
xpx' = '^'x ^= y.
On a
v^((rx) = ipx,
donc aussi
ip{û'^x') = ^)x' = y.
11 suit de là (jue les n quantités
168) X', Ox', e'^x', . . . Ô"-»:r'
qui sont différentes entre elles, seront racines de l'équation dont il sagit. Or toutes ces «racines seront différentes des racines (167). En effet si l'on avait irx' = Ov-x, il en résulterait:
c'est-à-dire :
ce qui est contre l'hypothèse. Le degré fi de l'équation y = i^'x est donc égal à 2??, ou plus grand que ce nombre. Dans le dernier cas, si l'on désigne par x" une racine différente des 2« racines précédentes, on aura en même, temps celles-ci:
x", 6af, O'^x" . . . O'^^x",
qui seront différentes entre elles et des racines (167. 168). Donc /t sera égal
à 3« ou plus grand que ce nombre. En continuant jusqu'à ce qu'on ait épuisé
toutes les racines, on voit que /< doit être un multiple de /i, et si l'on fait en
conséquence :
fi = m.w,
les ^ racines se rangeront en 7n groupes, de 7i termes chacun, savoir:
ix, Ox, O'^x . . . 0"-\v, X', Ox; 6V...0-V, ar'^"'-»), Ox''"-^\ Û-x'''-^'> . . . i9''-»a:'^"-^>. Cela posé, soit
où p et q sont des fonctions entières de z, sans diviseur commun. On aura: 1 70) p — qy = {a — b>/).{z — x){z — Ox){z — 0-x) ..{z — 6"-'x)
X (z — x'){z — fJx%z — e'^x<) ...(z — 0'^\t')
Xiz — x^'^^^){z — dx<'^^>)(z — 0V"'-»') . . . {z — /?"-V'"-"), et d'après ce qui a été exposç dans le paragraphe précédent, on pourra trouver une fonction rationnelle: i/^ = \ii^{x), telle que les racines de l'équation
soient égales à ces ti quantités;
X, Ox, O'^x, . . . 6''-\r, et que yj satisfasse a une équation différentielle de la forme : 171 -v ^^1 __f ^
Faisons
où p' et q' sont des fonctions entières du degré w. On aura:
172) p' — q'y, = {a' — b'j/,)iz — x){z—0:v) . . . (z—O-Kv), où a' et b' sont des constantes.
En y mettant au lieu de x successivement les 7n valeurs:
et puis multipliant entre elles les équations qui en résultent, on trouvera, eu ayant égard à l'équation (170):
•* / a — by a'—b'yi ' a' — b'y^ '" a' — b'y.
OU
ya j 2^3 j • • • y»
sont les valeurs de la fonction yi, qui répondent aux valeurs
X', X", . . . a;("^*^ de X.
Puis, attribuant à x deux valeurs particulières et, §, telles €[ue
^« = 0, 1/^/? = -^, et désignant par
les valeurs de y^, y^, . . .^m, respectivement correspondantes aux valeurs « et (i de X, l'équation ci-dessus donnera:
{p = A'ip' — «j . q') {p'—u^q') • • • ip' — «m . q%
*^^^ \q'=A"(p' — ti,.q')ip'—M)---iP' — (^'^-9% où ^' et A" sont deux constantes. En divisant p par /^, on voit que
P.=:wz sera fonction rationnelle de ^ = ip^z. En mettant x au lieu de z,
on aura
donc:
J7K\ „// (yi — «iX^i — o^iXyi — «3) • • • (j^i — 'X")
A' ovi A ■= - T- est constant.
On voit donc que y pourra être exprimé par une fonction rationnelle de 7/1 du degré m.
En combinant maintenant l'écpiation (171) avec celle-ci:
dy dx ^
qui doit avoir lieu, on aura:
\Ta\ ^f — A. %. .
' ^[(l-3/^)(l-c'V)] El V\iX~y\)(y-c\y\)V
donc la fonction y, rationnelle en y^ et du degré m, doit satisfaire à cette équation. Réciproquement, si cette équation a lieu, l'équation
dy dx
~bJy ' ^x
subsistera également, car la fonction y, est déterminée en x de la manière à satisfaire à la formule (171). Ainsi le problèiiie général est réduit à satisfaire (le la manriée la plus générale à l'équation (l"6)- Or ce problème est précisément le même que celui que nous traitons actuellement; seulement le degré de la fonction y en y^ sera m, au lieu que y, comme fonction de x, est du degré m. Il, qui est plus grand que m. On pourra donc appliquer à léquation
(ITC) le même procédé dont on s'est servi pour l'équation '^~ = i.—^, et il
est évident qu'on parviendra ainsi à l'expression générale de y, car les degrés des fonctions successives vont toujours en décroissant.
Supposons maintenant que le degré // de la fonction y en x est un nombre premier. Puisque fi = m.n, on a nécessairement m = l, ft = 7i. Par suite:
3'i — ?i On connaît l'expression de y^ en x par les formules du paragrapbe précédent.
En substituant l'expression de y en y^ dans l'équation (176), on trouvera à
l'aide des formules du paragrapbe 2 toutes les solutions possibles.
En vertu de ce qui précède on pourra donc énoncer le théorème suivant:
Théorème XII. Soit y une fonction rationnelle de x d'un degré quelconque /(, qui satisfait à l'équation ditVérentielle:
dy dx
v/[(l-z,2)(l-rV-)] V[{\-s^Kl-c'x"-)]
On pourra toujours décomposer // en deux facteurs ?i et m, dont l'un ?i est un nombre premier, tels qu'on ait:
dy^ ds
V[{i-r-i)ii-c\y\)\. ~ ' ' v'[(i-x^)(i-c*J^^)] et
v/[(i-y^)(i-c'-^i/2)] Si m^-1f^){l-c^y\)y
où y est une fonction rationnelle de y^ du degré ?n, et y^ une fonction rationnelle de .V du degré w.
Si donc on désigne par ?i, v^, n.^,,..7i^ des nombres premiers dont le produit est /j, et qu'on fait, pour abréger:
A(:r, c) = K((l — ^'-)(1 — c^-a^% on pourra faire:
dy ffy-i %v-i dy^ dx^ ,
où y^ est une fonction rationnelle de x du degré n, - y^ Vi - - "i>
■ Vs y^- - »2-
' yt ' ' " " " " " y^-i ' ' ^'-*-j 5 -y y, - - n,.
En vertu de ce tliéorème la solution du problème général sera donc ramenée au cas où le degré de la fonction y est un nombre premier. On trouvera toutes les solutions qui répondent à ce cas par les formules du paragraphe précédent, et le problème que nous nous sommes proposé au commencement de ce chapitre pourra être regardé comme résolu.
Sur la forme de la fonction y.
Désignons pat x, x', x" . . . x'v-^^'' les racines de l'équation
y = 1/vr.
Si l'on fait i}jz=^^, où p et q sont des fonctions entières de z, on aura:
177) 2^ — qy = {a — by){z — x){z — x'){z — x") . . . {z — x<i^-%
où a et b sont des constantes. Cela posé, soit « une racine de l'équation y = 0, on aura en faisant x = c'.:
Soit également ^ une racine de l'équation y = i. Cela donnera, en faisant x = (j, et après avoir divisé les deux membres de l'équation (177) par y:
179) g = l,(z-fi)(z-ft')(z-r^") . . . (^-/i-^n- Ces valeurs de p et q donneront, en mettant x au lieu de z:
180) y = A (•^— oc)(-^-a')---(-r-a^^-'^)
(,i— P)(x-P')---(-x— ^'^-") où A est un coefficient constant, qu'on tiouvera en remarquant que si l'on fait
x^=zl, y doit avoir une des valeurs +1, + —
Mais il y a deux cas: savoir, il pourra arriver que l'une ou l'autre des deux quantités « et ^ soit égale à zéro, et dans ce cas l'une des racines des équations ?/ = 0, y= ^ sera zéro ou infini.
Cas I. Si b=zO.
On aura dans ce cas
181) p~qy = a{z — x){z—x') . . {z—a;(v--% et p sera du degré /<, et (/ seulement du degré /< — 1. En égalant le coefficient de z^~^ dans les deux membres, on aura:
•182) a'— h' Il = — a (.r + .r' -f .r" + . . . -j- a:(^--')), où a' et b' sont des constantes. Maintenant si
, xAe + els
est une racine de y = i/^a:, la quantité
j-Ae — eAj
le sera également: donc si ces deux (quantités sont différentes entre elles pour toutes les valeurs de e, /< sera un nombre impair, et en faisant fi = 2n-\-l, on aura:
MO-\ , j,, ( \ 2j'Ac, , 1x\e„ , , 2xAe. \
Maintenant si Ton fait .r=H- 1, + — , on aura y = + 1, ^==+"7» ^"^^ '^
est facile de conclure que a' sera égal à zéro. Donc y sera une fonction impaire de x, et de la forme:
Cela fait voir que
Pour avoir p, il suffit de faire dans l'équation (181) x = 0, et cela donne
p = „z(z'' — e'l) . . . {z-—p\), donc on aura:
O) y a. ^j^2g.2^j.2)(i ffle\x^) . . . (1 — c2e;j:2) '
Telle est donc la forme de la fonction y dans le cas où le degré de son numérateur est impair et plus grand que celui du dénominateur.
Si pour quelque valeur de e les deux quantités
jAe + elx jAe — cAj 1— c^e^Ax ' 1— c2e2j2
étaient égales, on aui'ait:
e = 0, où e = ^.
Soit dabord e = i, on aura x' = -\ , et par suite le second membre de
— ex
l'équation (182) serait une fonction impaire de x, dont le degré serait un nombre pair. On trouve seulement que cela donne a' = 0 ; donc en faisant /i, = 2» :
186) y^=A\xA, \- J 4-...-f- ^-^-^J,
/ -^ \ — ex 1 — c^e\x^ 1 — c^e^jX^/
et par suite y sera exprimé en factorielle comme il suit:
a(l-5V^)(l-5V')...(l-5>^) 187; y ^(i c2eijj-2)(i c'2eV^)---(l— c'X',-a^'')'
Si au contraire e = 0, on aura en même temps:
Donc dans ce cas y sera une fonction paire de x. Mais le degré du numérateur doit être le même que celui du dénonnuateur, comme il est facile de voir; donc l'expression (187) appartient à y toutes les fois que le degré du numérateur est un nombre pair et en même temps plus grand que celui du dénominateur.
Cas n. Si a = 0.
On aura:
p — qy^=Jrlnj{x — z){x' — z) . . . (.r^(^-^> — z).
En raisonnant comme ci-dessus on trouvera aisément que dans le cas où
/t est un nombre impair, y sera une fonction impaire de x de la forme :
(1 c2e\ j:2) (1 — c^e^^ j2) . . . (l —c^e^jï)
Si fi est pair, y sera une fonction impaire de x de la forme :
j;(l c2e2jj>2) . , . (l — c2e^,x2)
De la foîiction -Tj
Nous avons vu chapitre I. paragraphe 4. qu'à l'écjuation différentielle
^ = (2/, + !).^ ày ^ ' ' '^ Ax
on peut satisfaire, en mettant au lieu de y une fonction impaire de x du degré (2(f -|- If, qui s'évanouit avec x. En la désignant comme nous l'avons fait à l'endroit cité par x.2^j+i, et faisant pour abréger (2,n -f lf—l=2)t, cette fonction, en vertu de ce que nous venons de voir dans le paragraphe précédent, doit avoir la forme suivante:
t't OU aura eu même temps:
Pour déterminer les coefficiens a et ^, faisons x = ^. On trouvera:
^,c'*".ej .e^ . . . e\ = a.
Si Ton suppose x infiniment petit, la preniiore formule donne:
mais léquation difl'érentielle donne dans ce cas: par suite:
Si l'on suppose x infiniment grand, la seconde expression de araj^+i doiuie X2f^^i=A.x, mais dans le même cas l'équation difTérentielle donne:
donc :
Connaissant A, on aura :
Les quantités ^j, é?^,. . . e„ ont entre elles des l'elations remai'quables que nous allons développer.
Considérons l'équation
^2|ji+i =y- Les racines de cette éipiation seront les (2|U -\- \^ quantités suivantes :
xAe, +e,Aj: jAe^ + CaAj: j;'Ae„+e„Ax
or.
Soit â.r=: ^ ., ^ une quelconque de ces racines, les 2/( -{- 1 quantités:
X, Oa-, 0*.r , . . 0-1^07 seront encore des racines et en même temps différentes entre elles, en prenant pour e une quantité qui n'est pas racine d'une équation
oîi 2m + 1 est facteur de 2/t + 1. Soit
. xAe' + c'Aj
une autre racine, on aura encore les racines suivantes:
e^ar, ^Ix, . . . Ô^!^.r, qui seront différentes entre elles.
Cela posé, faisons
on aura en général:
quels que soient les nombres entiers m et k. En mettant 0"^ au lieu de x,
on aura:
'V)(9^0"'.r) = ■[p{^^'"x) = a:2^+i ; donc toute quantité de la forme
fik
sera racine de l'équation y = xpx. Je dis maintenant que si l'on attribue à k et m toutes les valeurs entières possibles, moindres que 2// + 1, les valeurs qui en résultent pour la fonction e\0"'a:, seront toutes différentes entre elles. En effet, si l'on avait
il en résulterait, en mettant 6''i^+^~"'';r au lieu de a:, et remarquant que O'i^+^r^r.r:
où n' = 7)1 -\- 2iii -\- 1 — m'.
Cela donne:
où k" = 2," + 1 — k-{- k', c'est-à-dire :
6"' a: = ^\x, et de là:
6"» = e'^jl^'.r.
Maintenant, puisque 2// -\- 1 est un nombre premier, on pourra faire
A>' = (2/<-|-l),^-f 1, donc:
e[2ix+i)P0j^.r =z ^^x = 6">'a:,
c'est-à-dire O^a: serait une des quantités:
et cela est contre l'hypothèse.
L'expression 0''j^ii"'x a donc un nombre (2;W -j- 1^ de valeurs différentes et par conséquent ces valeurs seront les racines de l'équation
Soit niaintonant
tx? = e''i^, .r" = f}''if)'"x, X'" = d'^x. On aura en regardant e et e' comme variables:
dx' ds 1^ , de'
dj;"' dx | de
^x"' ~Kx ' * le '
En mettant dans la première formule x'" au lieu de .r, x' se changera en x", donc:
donc:
et si l'on fait
dx" dx"' I , de'
Aj» ^x"' ' Ae'
<ir* dx , , rfe' i de
Ax» Ax ' Ae' ' Ae
7 rfe' </e'* de de.
Ae' Ae't ' Ae Ae„ '
dx" dx . de'k , </e»
Aj* Ax Ae'* Ae,
Si donc on fait:
e„Ae'» + e'*Ae,
1 — c'^eV; '
on aura:
dx" dx | ''®„,»
Ax» Âj^ "•" Ae '
et de là, en supposant que e,„ et e'k, s'évanouissent avec e:
x\e + e . Ax
Toutes les racines de l'équation y = x.^l+i pourront donc être exprimées par cette même formule.
Donc pour trouver toutes les racines, il suffît d'avoir la valeur des deux quantités e et e', qui sont deux racines de l'équation
Toutes les racines de cette équation
qui, par ce qui précède, sont les (2/< -f- 1)^ quantités suivantes
0' ±^ij ±^25- ••+<'»
sont donc exprimées par la formule
en donnant à îii et k toutes les valeurs moindres que 2// -j- 1. Il est facile de voir qu'on pourra exprimer e„,^i en fonction rationnelle des deux quantités e, e', donc on voit que toutes les racines de l'équation x.2,^^1 = 0, pourront s'exprimer rationnellement par deux entre elles et par le module c.
Si l'on veut exprimer x.i^i,^i à l'aide des fonctions ^^x et 6ar, on pourra faire cela d'une manière fort simple. En effet, en remarquant que le dernier terme d'une équation est le produit de toutes ses racines, on aura sur le champ :
X0,.r.0i0.i:.f)i0''.r...Gi9^i^:F
On a aussi:
X ^l^x. Of M-Ga;. 6f f^Ô^r . . . G'^s'G-i^ar.
De l' équation x^nrO.
D'après ce qui précède les racines de l'équation x^^^+i = 0 sont exprimées par e^^k fiu donnant à în et k toutes les valeurs possibles moindres que 2/<-)-l. Une de ces valeurs est zéro, savoir e^^^.
En divisant le numérateur de la fraction aVjjl+i par x, on aufa, en égalant le quotient à zéro, une équation:
du degré Aft^-\-4fi. Je dis que cette équation peut être résolue à l'aide d'éijuations du degré 2ii -f- 2 et du degré 2//.
Soit 2> une fonction (juelconque symétrique et rationnelle des quantités Cj, ^2) • • . e2ix- En mettant au lieu de e^, e^, . . . e.^^^ leurs expressions en fonctions rationnelles de e^, p deviendra une fonction rationnelle de cette racine. Faisons :
199) P = ve„ on aura évidemment:
200) ye, := ^^2 = 9^3 = • • • = 9"<'2(Ji ^
équations qui auront lieu quelle que soit la racine e. Cela posé, mettons e,„^i au lieu de e, il est clair que
se ciiangeront respectivement en:
"2ni,25 '^3ni,35'' ''i [Xm, 2 fl •
Donc on aura:
201) (/^f,,,,! = f/f'in.,. =:... = ?<?2,jLm,2(l-
Formons l'équation :
' '^ \ = p"-^^^ — q^^^, .p^v.^^ + q^^.j,"-^ — ... - <7,/, + ^„==0, î'o' 9'i> • • • (?2[ji+i seront des fonctions symétriques et rationnelles de 9^1, (fe^,^, ■ ■ ■ <f<'ni.,i- Or on pourra les exprimer rationnellement en c. En effet il suffit d'avoir la valeur de:
205) {cfe,f + (cfe,,,)" + . . . + (qe,^, ,f = ç,.
En vertu des équations (200, 201) cette quantité pourra s'écrire comme il suit: 2^1. ç, = (cpe,f + (ife^f + (cfe,)" + . . . + {cfe.,^f
+ (^/''0,l)'+('f^0,2)'+('?^0,3)'-f • • • +{Veo,^.^r + ('/'^I,l)'+(y^2,2)'+('?^3,3)''+ • • • +(<f e2^,2^)«^
Or le second membre de cette équation est une fonction rationnelle et sjTnétrique des racines de l'équation P = 0 ; donc on pourra exprimer ç^ rationnellement par les coefficiens de cette équation, c'est-à-dire par r.
On voit donc que les coefficiens de l'équation (202)j q^, q^, q.^, . . . seront des fonctions rationnelles en c. Donc une fonction symétrique quelconque des racines:
Cj , 6*2 J ^^3 > • • * ^2 |i
pourra être déterminée par le module c, à l'aide d'une éfjuation du degré 2ii-\-2. Cela posé, faisons:
ooi) (e-e,){e-e^ . . . (e — e,^) =
Les coefficiens p^, P2,---PiL~i seront des fonctions rationnelles et sjTné-
triques de e^, e^, . . . e^^i,; donc, comme nous venons de voir, on pourra les
déterminer à l'aide d'équations du degré 2^ -j- 2. xVinsi pour avoir les racines
de l'équation P = 0, il suflTira de résoudre des équations du degré £/i et 2,w-f-2.
Ce qui précède est susceptible d'une application importante. Le niodule c\ exprimé par la formule (lo6), est comme on voit une fonction rationnelle et symétrique de e, e^, e^, , . . e^^. Donc, en vertu de la propriété démontrée précédemment, on pourra trouver le module c' en c h l'aide d'une équation du degré 2/t -\- 2. Cette équation ne parait guère résoluble algébriquement, excepté lorsque 2fi -\- 1 =■ 3. Dans ce cas elle sera du quatrième degré.
En appliquant le théorème XII. à l'équation :
on aura en remarquant que le degré de la fonction .^2^+1 est (2/< + l)*, et 2/< + l un nombre premier:
où y est une fonction de x du degré 2,a-)-l, et x^^^+i une fonction de y du même degré. On aura:
et
Vl — c2e3 1— c2e2„ ■ • * l c2eV 1— c'2e'2 l c'2e'2, ' ■ ■ l c'2e'=/ '
e' est déterminé de la même manière en c' que e l'est en <■. Donc si l'on
change c en c'; e se changera en e'. De là il suit que l'équation entre les
modules c' et c doit rester la même si l'on change simultanément c en c' et c' en c.
Puisque c' dépend d'une équation du degré 2// -\- 2, on pourra donner ;i la fonction y, 2(1 -\- 2, valeurs ditterentes.
