II
Des transformations différentes qui répondent à un même degré de la fonction y.
Soit
^0 +--/iX+^2x2 + . . . + A^X^
et
Supposons /* premier et d'abord fiz^l. Dans ce cas le module c', en vertu des formules du paraijraplie 2, aura six valeurs différentes et la fonction // en aura douze.
Si fi = 2, on aura toutes les solutions possibles en combinant les deux formules (163, 16o) avec les six formules du paragrapbe 2, ce qui en donne 18 valeurs différentes du module c'.
Si l'on fait
ces 18 valeurs se trouveront en mettant dans les six fonctions:
les trois quantités c^, c^, C3 au lieu de c.
'Si /t est un nombre premier impair 27i-\-l, on aura d'abord 2n-\-2 valeurs du module c', qui répondent à la forme suivante de y.
cn+l J(e2 —x'^){e\ —x-^) . . . (e; — j2)
^ VV~ (1 — c2e-x2)(l — c'^eV-) • • • (1 — c^<-i^'-) '
Or de chaque valeur de y de cette forme on tire en vertu des six formules du paragraphe 2. cinq autres de la forme:
1 + y/— C l+yy/— c' 1 — V/— C ■ 1+S^\/— c" auxquelles répondent respectivement les modules:
J /l — y/c Y /l + y/c'y /!+ y/— C'Y /l — y/— c' Y C ' Vl+Zc'/' Vl— /c'/' Vl — v/c'/' Vl+v/— c'/
On aura donc en totalité un nombre de 6 (2?^ -|- 2) = 6 (,u -f- 1) valeurs différentes pour le module c'. On en aura le double nombre pour la fonction y.
Résolution de l'équation y :=i'\)x.
L'équation algébrique 1/ = if.r, où i/a- est une fonction rationnelle quelconque de X, satisfaisant à une équation différentielle de la forme (205), jouira de la propriété remarquable d'être résoluble par rapport k x k l'aide de radicaux. Cela est facile de démontrer en ayant égard à la forme des racines de cette équation. D'abord si le degré 1.1 est un nombre composé =n.?f^.n^...n.,, on pourra faire comme nous venons de voir dans le § 7:
y = %{y-^% y^ = "P^-iiy-^-i), ■■•y^= ^\{yi), yi = ni-x^),
oii 1/'^, Tf',j, . . . i,"i, "^ désignent des fonctions rationnelles respectivement des degrés w,,, n^-^, ■ • -n^, n, ces derniers nombres étant premiers. On aura donc la valeur de x en y à l'aide de la résolution de v -\- 1 équations des degrés n, n^, . . . ??v respectivement. Donc il suffît de résoudre l'équation y = \px dans le cas où le degré /t est un nombre premier. Si /t = 2, on aura Texpression de x par les règles connues. Si /( est impair, les racines de l'équation y = ^x seront les 2fi -\- 1 quantités suivantes :
X, ÔJr, 6^.r . . . ô'^i\r.
Cela posé, soit d une racine imaginaire de l'équation
et faisons
v' = x-\-d.^^i^x-\-d'^.^'^^-^x-}- . . . + ô^i^.^x. En sul)stituant pour les quantités ^"^x leurs valeurs :
1— c2e;x2 et remarquant que
1 — c'^e'jv'^ ' il est clair qu'on aura: •
V =p -\- q\x, V' = p — qAx, où p et q sont des fonctions rationnelles de x. Cela fait voir que ?; . v' et 7121J.+1 | ?j'2(j.+i sont des fonctions rationnelles de x; or je dis qu'on pourra exprimer ces fjuantités en fonctions rîitionnelles de y. En effet il est clair en vertu de la forme de v et v', que si l'on fait
v.v' = (px, ^'2^^+^ -j- ?;'2(^+i = fx^
les deux fonctions (f.v et f.v ne cliang;eront pas de valeur en mettant pour x les 2fi -\-l quantités :
Donc on aura:
qx — ^-^ (qx + <fU- + . . . + (ffi-i'x) = V.V,
fx = -l— (fx 4- A-r + . . . + O^i^.r) = ?;2h.+i l.^,-2[i+i Ces expressions des quantités v.v\ t^^ii+i | ^(2(i.+i ^^^jj^^ jgg fonctions rationnelles et symèfH(fif6&, des racines de l'équation y= V'-ï^; donc on pourra les exprimer rationnellement par fes coefllciens de cette équation, c'est-à-dire en y.
Faisons donc:
S ci t seront des fonctions rationnelles de y. On en tire
On connaît donc la fonction v. Maintenant si Ion désigne par Vç,, z\, v^, . . . i'2ji les valeurs de r qui répondent respectivement aux racines 1, â, ô^, d^, . . . d*H- de l'équation d^^'^^ = 1, on aura sur le champ:
qui est l'expression générale des racines.
On aura par l;i une classe très étendue d'équations algébriques de tous les degrés, résolubles algébriquement Nous n'entrerons pas ici dans des détails sur ce sujet, mais nous renvoyons nos lecteurs à la seconde partie de ce mémoire, où nous en donneront des développements étendus et remarqu.ibles à cause des belles propriétés des fonctions elliptiques qu'on en peut tirer.
On pourra encore remarquer comme cas particulier l'équation: où x^ désigne la fonction rationnelle de x du degré fi% qui satisfera à l'équation :
'— = tl . .
On en pourra toujours tirer la valeur de x en 1/ à l'aide des radicaux. Si w est un nombre impair, on pourra donner aux racines cette forme très .
simple ;
il i
x = -.(a.y + {p,+ qAyY-\-iP^ + 1^^Vy + • • • + (Pv-'-i + V-i^y)")'
(,,-, «^ j p^^ Pa- ■ • sont des fonctions eiitièi'es impaires de y du degré /» et ^j, ^2, ^3-. . des fonctions paires de y du degré /t — 3. /?„ et g'^ seront déterminés par l'équation
p-^ - q\ (1 — y^){i - cY) = iy"" - e\)^ où e„, est une constante, savoir une racine de l'équation a-^ = 0.
